Devoir surveillé sur l'analytique du produit scalaire

Devoir surveillé sur l’analytique du produit scalaire

Devoir surveillé sur l’analytique du produit scalaire 1 bac. (1ère s/ 1ère année bac)

On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j ).

Exercice 1

On considère les points : A(5, −2) et B(2, 1).

Soit (C) l’ensemble des points M (x, y) du plan tels que : MA/MB = 2.

    1. Montrer que : M(x, y) ∈ (C) ⇔  x2 + y2 − 2x − 4y − 3 = 0.
    2. Prouver que (C) est un cercle dont on déterminera le centre Ω et le rayon R.
  1. On considère la droite (∆) d’équation (2 + √3)x + y − (8 + 5√3) = 0.
    1. Vérifier que : A ∈ (∆) , puis montrer que (∆) est tangente au cercle (C).
    2. Montrer que (∆) est tangente au cercle (C) en E(2 + √3, 1 + √3).
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite (∆′) passant par E et perpendiculaire à (AB).
  3. La droite (∆′) coupe le cercle (C) en autre point F.
    1. Déterminer les coordonnées du point F.
    2. Montrer que la droite (AF) est tangente au cercle (C).
Exercice 2

On considère les points : A(2, √3) ; I (4, √3) et J (5, 0).

Soit (τ) l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que : x2 + y2 − 6x + 5 = 0.

  1. Prouver que (τ) est un cercle dont on déterminera le centre Ω et le rayon R puis dessiner (τ).
    1. Vérifier que le point A appartient à (τ).
    2. Donner une équation cartésienne de la tangente (D) au cercle (τ) en A.
    1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (∆) passant par I et perpendiculaire à (D).
    2. Montrer que (∆) et (τ) sont sécantes en I et J.
  2. Calculer cos ( AI, AJ ) et sin (AI, AJ ) puis en déduire la mesure principale de l’angle ( AI, AJ ).
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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère les deux points : A(5, −2) et B(2, 1). Soit (C) l’ensemble des points M du plan tel que : MA/MB = 2.

  1. a) Montrons : M(x, y) ∈ (C) ⇔  x2 + y2 − 2x − 4y − 3 = 0.

M(x, y) ∊ (C) ⇔  MA/MB = 2

⇔  MA = 2MB

⇔  MA2 = 4MB2

⇔ (5 − x)2 + (2 + y)2 = 4(2 − x)2 + 4(1 − y)2

⇔  (x2 − 10x + 25) + (y2 + 4y + 4) = 4(x2 − 4x + 4) + 4(y2 − 2x + 1)

⇔  x2 − 4x2 + y2 − 4y2 − 10x + 16x + 4y + 8y + 25 + 4 − 20 = 0

⇔  −3x2 − 3y2 + 6x + 12y + 9 = 0

⇔  x2 + y2 − 2x − 4y − 3 = 0

Donc

M(x, y) ∈ (C) ⇔  x2 + y2 − 2x − 4y − 3 = 0.

b) On a

M(x, y) ∊ (C) ⇔  x2 + y2 − 2x − 4y − 3 = 0

⇔  (x − 1)2 + (y − 2)2 − 1 − 4 − 3 = 0

⇔  (x − 1)2 + (y − 2)2 = 8

Donc (C) est un cercle de centre Ω(1, 2) et de rayon R = 2√2.

2. On considère la droite (∆) d’équation (2 + √3)x + y − (8 + 5√3) = 0.

a) Vérifions que : A ∈ (∆) .

On a

(2 + √3)xA + yA (8 + 5√3) = (2 + √3) × 5 − 2 − (8 + 5√3)

= 10 + 5√3 − 2 − 8 − 5√3

= 0

Donc A ∈ (∆) .

Vérifions que (∆) est tangente au cercle (C).

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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