Devoir surveillé sur l’analytique du produit scalaire

Devoir surveillé sur l’analytique du produit scalaire 1 bac. (1ère année bac/ 1ère s)

On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j ).

Exercice 1

On considère les points : A(5, −2) et B(2, 1).

Soit (C) l’ensemble des points M (x, y) du plan tels que : MA/MB = 2.

1. Montrer que : M(x, y) ∈ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0.
2. Prouver que (C) est un cercle dont on déterminera le centre Ω et le rayon R.

Exercice 2

On considère les points : A(2, √3) ; I (4, √3) et J (5, 0).

Soit (τ) l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que : x² + y² − 6x + 5 = 0.

1. Prouver que (τ) est un cercle dont on déterminera le centre Ω et le rayon R puis dessiner (τ).
   1. Vérifier que le point A appartient à (τ).
   2. Donner une équation cartésienne de la tangente (D) au cercle (τ) en A.
   1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (∆) passant par I et perpendiculaire à (D).
   2. Montrer que (∆) et (τ) sont sécantes en I et J.
2. Calculer cos ( AI, AJ ) et sin (AI, AJ ) puis en déduire la mesure principale de l’angle ( AI, AJ ).

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Correction du devoir surveillé sur l’analytique du produit scalaire

Exercice 1

On considère les deux points : A(5, −2) et B(2, 1). Soit (C) l’ensemble des points M du plan tel que : MA/MB = 2.

1. a) Montrons : M(x, y) ∈ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0.

M(x, y) ∊ (C) ⇔  MA/MB = 2

⇔  MA = 2MB

⇔  MA² = 4MB²

⇔ (5 − x)² + (2 + y)² = 4(2 − x)² + 4(1 − y)²

⇔  (x² − 10x + 25) + (y² + 4y + 4) = 4(x² − 4x + 4) + 4(y² − 2x + 1)

⇔  x² − 4x² + y² − 4y² − 10x + 16x + 4y + 8y + 25 + 4 − 20 = 0

⇔  −3x² − 3y² + 6x + 12y + 9 = 0

⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0

Donc

M(x, y) ∈ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0.

b) On a

M(x, y) ∊ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0

⇔  (x − 1)² + (y − 2)² − 1 − 4 − 3 = 0

⇔  (x − 1)² + (y − 2)² = 8

Donc (C) est un cercle de centre Ω(1, 2) et de rayon R = 2√2.

2. On considère la droite (∆) d’équation (2 + √3)x + y − (8 + 5√3) = 0.

a) Vérifions que : A ∈ (∆) .

On a

(2 + √3)x_A + y_A − (8 + 5√3) = (2 + √3) × 5 − 2 − (8 + 5√3)

= 10 + 5√3 − 2 − 8 − 5√3

= 0

Donc A ∈ (∆) .

Vérifions que (∆) est tangente au cercle (C).

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