Exercices sur le produit scalaire et ses applications

Exercices sur le produit scalaire et ses applications 1 bac. (1ère s/1ère année bac)

Dans tout ce qui suit le plan est rapporté à un repère orthonormé ( O , i , j ).

Exercice 1 (Exercices sur le produit scalaire et ses applications)

On considère les points : A(1, √5) ; B(−1, 1) et C(3, −1).

1. Calculer le produit scalaire AB. AC puis en déduire la nature du triangle ABC.
2. Soit H le projeté orthogonal du point A sur (BC).
   1. Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites (AH) et (BC).
   2. Déterminer le couple de coordonnées de H.
   3. En déduire la distance de A à la droite (BC).

Exercice 2 (Exercices sur le produit scalaire et ses applications)

On considère le cercle (C) d’équation cartésienne : x² + y² − 2x + 4y = 0 et la droite (D) d’équation cartésienne 3x − 4y + m = 0 où m ∈ ℝ.

1. Déterminer le centre Ω et le rayon R du centre (C).
2. Calculer d(Ω, (D)) puis déterminer les valeurs de m pour lesquelles (D) est tangente au cercle (C).

Exercice 3 (Exercices sur le produit scalaire et ses applications)

On considère les points : A(−1, 0) ; B(2, 0) ; C(0, 3) et M(x, y).

1. Calculer MA² et MB² en fonction de x et y.
2. Montrer que : 4MB² = MA² ⇔  x² + y² − 6x + 5 = 0.

{ x² + y² − 6x + 5 ≻ 0 et √5∣y∣ < 2x

Exercice 4 (Exercices sur le produit scalaire et ses applications)

On considère les points : A(√3/2, 1/2) , B(1/2, −√3/2) et C(1+√3/2, 1−√3/2).

1. Vérifier que les points A et B appartiennent au cercle trigonométrique associé au repère ( O, i , j ).
   1. Vérifier que les segments [OC] et [AB] ont le même milieu.
   2. Calculer : OA.AC et OA et AC.
   3. En déduire que OACB est un carré.
   1. Vérifier que π/6 est une mesure de ( i , OA ).
   2. Déterminer une mesure de l’angle ( OC , i ).
   3. En déduire la valeur de sin π/12 et cos π/12.

Exercice 5 (Exercices sur le produit scalaire et ses applications)

On considère le cercle (C) d’équation cartésienne : x² + y² + 2x − 6y + 2 = 0.

1. Déterminer Ω le centre et le rayon du cercle (C).
2. On considère la droite (∆_m) d’équation cartésienne : x + y + m = 0 où m ∈ ℝ.

a) Calculer en fonction de m la distance d(Ω, (∆_m)).

b) Déterminer les valeurs de m pour lesquelles (D) est tangente au cercle (C).

3. On considère la droite (∆) d’équation cartésienne : x + y − 6 = 0.

Déterminer : (D) ∩ (C).

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Correction de la série

Exercice 2

On considère les points : A(2, 0) , B(0, 2) et la droite (D) d’équation : x + y + 2√2 = 0.

1. a) On cherche une équation cartésienne de la droite (∆) médiatrice de [AB].

La droite (∆) passe par le point I(1, 1) milieu du segment [AB], et le vecteur AB(−2, 2) son vecteur normal.

Soit M(x, y) un point du plan, on a

M(x, y) ∊ (∆) ⇔ IM.AB = 0

⇔ −2(x − 1) + 2(y − 1) = 0

⇔ −2x + 2 + 2y − 2 = 0

⇔ −2x + 2y = 0

⇔ −x + y = 0

Donc (∆) : −x + y = 0.

b) Vérifions que : (D) ⊥ (∆)

On a u(−1, 1) est un vecteur normal de la droite (∆), et le vecteur v(1, 1) est un vecteur normal de la droite (D). et comme

u. v = − 1 × 1 + 1 × 1 = 0

alors les vecteurs u et v sont orthogonaux. Donc (D) ⊥ (∆).

c) On a C(−√2, −√2) et comme x_C + y_C + 2√2 = −√2 − √2 + 2√2 = 0 alors C ∈ (D). D’autre part, on a − (−√2) + (−√2) = 0 alors C ∈ (∆) donc

C ∈ (D) ∩ (∆).

2. On considère le point Ω (a, b) du plan.

On cherche a et b tels que : Ω ∈ (∆) et AΩ = CΩ.

On a Ω ∈ (∆) c’est-à-dire −a + b = 0, et on a

AΩ = CΩ ⇔ √(a − 2)²+b² = √(a+√2)²+(b+√2)²

⇔ (a − 2)² + b² = (a + √2)² + (b + √2)²

⇔ a² − 4a + 4 + b² = a² + 2a√2 + 2 + b² + 2b√2 + 2

⇔ −4a − 2a√2 − 2b√2 = 0

⇔ −2a − a√2 − b√2 = 0

Donc

Ω ∊ (∆) et AΩ = CΩ ⇔  { −a + b = 0 et −2a − a√2 −b√2 = 0

⇔ { b = a et −2a − a√2 −a√2 = 0

⇔ { b = a et −2a − 2a√2 = 0

⇔ { b = 0 et a = 0

Donc Ω(0, 0).

3. Une équation cartésienne du cercle (C) de centre Ω(0, 0) et de rayon AΩ = √(−2)² +0 = 2 est :

x² + y² = 4

4. Montrons que la droite (D) est tangente au cercle (C).

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Devoir surveillé sur l’analytique du produit scalaire

On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O , i , j ).

Exercice 1 (Exercices sur le produit scalaire et ses applications)

On considère les points : A(5, −2) et B(2, 1).

Soit (C) l’ensemble des points M (x, y) du plan tels que : MA/MB = 2.

1. Montrer que : M(x, y) ∈ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0.
2. Prouver que (C) est un cercle dont on déterminera le centre Ω et le rayon R.

Exercice 2

On considère les points : A(2, √3) ; I (4, √3) et J (5, 0).

Soit (τ) l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que : x² + y² − 6x + 5 = 0.

1. Prouver que (τ) est un cercle dont on déterminera le centre Ω et le rayon R puis dessiner (τ).
   1. Vérifier que le point A appartient à (τ).
   2. Donner une équation cartésienne de la tangente (D) au cercle (τ) en A.
   1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (∆) passant par I et perpendiculaire à (D).
   2. Montrer que (∆) et (τ) sont sécantes en I et J.
2. Calculer cos ( AI, AJ ) et sin (AI, AJ ) puis en déduire la mesure principale de l’angle ( AI, AJ ).

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère les deux points : A(5, −2) et B(2, 1). Soit (C) l’ensemble des points M du plan tel que : MA/MB = 2.

1. a) Montrons : M(x, y) ∈ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0.

M(x, y) ∊ (C) ⇔  MA/MB = 2

⇔  MA = 2MB

⇔  MA² = 4MB²

⇔ (5 − x)² + (2 + y)² = 4(2 − x)² + 4(1 − y)²

⇔  (x² − 10x + 25) + (y² + 4y + 4) = 4(x² − 4x + 4) + 4(y² − 2x + 1)

⇔  x² − 4x² + y² − 4y² − 10x + 16x + 4y + 8y + 25 + 4 − 20 = 0

⇔  −3x² − 3y² + 6x + 12y + 9 = 0

⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0

Donc

M(x, y) ∈ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0.

b) On a

M(x, y) ∊ (C) ⇔  x² + y² − 2x − 4y − 3 = 0

⇔  (x − 1)² + (y − 2)² − 1 − 4 − 3 = 0

⇔  (x − 1)² + (y − 2)² = 8

Donc (C) est un cercle de centre Ω(1, 2) et de rayon R = 2√2.

2. On considère la droite (∆) d’équation (2 + √3)x + y − (8 + 5√3) = 0.

a) Vérifions que : A ∈ (∆) .

On a

(2 + √3)x_A + y_A − (8 + 5√3) = (2 + √3) × 5 − 2 − (8 + 5√3)

= 10 + 5√3 − 2 − 8 − 5√3

= 0

Donc A ∈ (∆) .

Vérifions que (∆) est tangente au cercle (C).

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Analytique du produit scalaire 1 bac cours

Dans tout la suite du chapitre. On considère que le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, i , j ).

Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

Propriété 1

Soit u (x, y) et v (x′, y′) deux vecteurs du plan, on a u . v = x.x′ + y.y′ .

Exemple 2

Dans un repère orthonormé ( O , i , j ) , u (6, 3); v ( 3, −1) et w (−2, 2).

Calculer u . v ; u . w ; et v . w.

∎ u . v = 6 × 3 + 3 × (− 1) = 15.

∎ u . w = 6 × (−2) + 3 × 2 = − 6.

∎ v . w = 3 × (−2) + (−1) × 2 = − 8.

Propriété 3

Deux vecteurs u (x, y) et v (x′, y′) sont orthogonaux si et seulement si xx′ + yy′ = 0.

Exemple 4

On considère dans le plan, les points suivants :

A(3, 2) ; B(−1/2, 0) et E(1, −1)

Montrer que le triangle ABE est rectangle en E.

∎ On montre que AE et BE sont orthogonaux, c’est-à-dire : AE.BE = 0.

On a AE(−2, −3) et BE(3/2, −1). D’où :

AE.BE = (−2) × 3/2 + (−3) × (−1)

= 0

Donc AE et BE sont orthogonaux. Ceci signifie que le triangle ABE est rectangle en E.

Exemple 5

Déterminer la valeur du nombre réel m pour que les vecteurs u (3, −1 + m) et v (2 − m, 5) soient orthogonaux.

∎ On a

u . v = 3 × (2 − m) + (−1 + m) × 5

= 6 − 3m − 5 + 5m

= 2m + 1.

D’autre part, u et v sont orthogonaux si et seulement si u . v = 0, c’est équivaux à

2m + 1 = 0 ⇔ m = −1/2.

D’où u et v sont orthogonaux si et seulement si m = −1/2.

Norme d’un vecteur – distance entre deux points

Norme d’un vecteur

Soit u (x, y) un vecteur du plan. La norme du vecteur u est : ∥ u ∥ = √x²+y².

Distance entre deux points

Soit A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B) deux du plan. La distance AB est : AB = √(x_B−x_A)²+(y_B−y_A)².

Expression de cos θ et sin θ.

Propriété 6

Soit u (x, y) et v (x′, y′) deux vecteurs non nuls du plan et θ une mesure de l’angle orienté ( u , v ).

On a

cos θ = u.v/∥u∥.∥v∥ = xx′+yy′/√x′²+y′² et sin θ = det(u.v)/∥u∥.∥v∥ = xx′−yy′/√x′²+y′²

Exemple 7

Déterminer une mesure de l’angle orienté

( AB, AC ) où A (3, 3), B (1, 1) et C (1, 3)

∎ On a AB = (−2, −2) et AC (−2, 0) donc : AB = √4+4 = 2√2 et AC = √4+0 = 2, et AB.AC = 4. Donc

cos ( AB, AC ) = AB.AC/∥ AB ∥.∥ AC ∥ = 4/4√2 = √2/2 (1)

∎ On a det (AB, AC) = −4. Donc

sin (AB, AC ) = det ( AB.AC )/∥AB∥.∥AC∥ = −4/4√2 = −√2/2 (2)

D’après (1) et (2), on en déduit que −π/4 est une mesure de l’angle orienté ( AB.AC ) .

Droite dans le plan (Étude analytique)

Vecteur normale à une droite

Définition 8

Soit (D) une droite dans le plan.

Tout vecteur non nul et orthogonal à un vecteur directeur de la droite (D) est appelé vecteur normal à la droite (D).

Propriété 9

∎ Une droite de vecteur normal n (a, b) a une équation de la forme ax + by + c = 0 avec c ∈ ℝ.

∎ Réciproquement, la droite (d) d’équation cartésienne ax + by + c = 0 admet le vecteur n (a, b) pour vecteur normal.

Démonstration 10

∎ Soit (D) une droite de vecteur normal n (a, b) et soit A(x₀, y₀) ∈ (d).

Soit M (x, y) un point du plan, on a AM (x − x₀, y − y₀).

M (x, y) ∊ (d) ⇔  AM. n = 0

⇔  a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0

⇔  ax + by + c = 0, avec c = − ax₀ − by₀ .

∎ Si ax + by + c = 0 est une équation cartésienne de (d) alors u (−b, a) est un vecteur directeur de (d). Le vecteur n (a, b) vérifie :

− b × a + a × b = 0

Donc les vecteurs u et n sont orthogonaux.

Déterminer une équation de droite connaissant un point et un vecteur normal

Exemple 11

Déterminons une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(1, 1) de vecteur normal n (2, 3).

Soit M (x, y) un point du plan.

M (x, y) ∊ (d) ⇔  AM. n = 0

⇔  (x − 1) × 2 + (y − 1) × 3

⇔  2x + 3y − 5 = 0

Donc, une équation cartésienne de (d) est : 2x + 3y − 5 = 0.

Exemple 12

On considère les points A(1, 1) , B(−2, 0) et C(3, 5). Déterminer une équation de la droite (D), médiatrice du segment [AC].

La médiatrice du segment [AC] est la droite (D) passant par le point I milieu du segment [AC] et perpendiculaire à (AC) donc AC est un vecteur normal à (D).

On a I(2, 3) et AC (2, 4) est un vecteur normal à (D), donc une équation cartésienne de (D) s’écrit sous la forme :

2x + 4y + c = 0 où c ∈ ℝ.

Puisque I ∈ (D), alors : 4 + 12 + c = 0, d’où c = − 16. Donc x + 2y − 8 = 0 est une équation de la médiatrice du segment [AC] .

Orthogonalité de deux droites  

Propriété 13

Soit (D) et (D′) deux droites d’équations respectives : ax + by + c = 0 et a′x + b′y + c′ = 0. (D) et (D′) sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, c’est-à-dire :

aa′ + bb′ = 0

Distance d’un point à une droite

Soit (D) une droite du plan. Soit A un point du plan, H son projeté orthogonal sur (D) .

Si M est point quelconque de (D), AM² = AH² + HM², donc AM² ≥ AH² c’est-à-dire AM ≥ AH. Ainsi la distance AH est le minimum des distances de A aux points de (D).

On obtient la définition suivante.

Définition 14

Soit (D) une droite du plan. Soit A un point du plan, H son projeté orthogonal sur (D). Le nombre réel AH est appelé la distance du point A à la droite (D) ; on le notera d(A; (D)).

Propriété 15

Soit (D) une droite d’équation : ax + by + c = 0 et A(x_A, y_A) un point du plan.

La distance du point A à la droite (D) est :

d(A, (D)) = ∣ax_A + by_A + c∣/√a²+b².

Démonstration 16

Soit (D) une droite d’équation : ax + by + c = 0. On a le vecteur n (a, b) est normal à (D). D’autre part , H appartient à (D) , alors

ax_H + by_H + c = 0

D’où

Exemple 17

On considère la droite (D) d’équation : x + y + 2 = 0 et les points A(1, −1) et B(0, −2).

On a

d(A, (D)) = ∣1 − 1 + 2∣/√1+1 = √2 et d(B, (D)) = ∣0 − 2 + 2∣/√1+1 = 0

Équation cartésienne d’un cercle

Équation d’un cercle défini par son centre et son rayon

Propriété 18

Une équation cartésienne du cercle (C) de centre Ω(a, b) et de rayon R est :

(x − a)² + (y − b)² = R²

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Vous pouvez aussi consulter :

• Barycentre dans le plan exercices corrigés
• Le barycentre dans le plan cours 1 bac