par La dérivation 1ère s exercices. (1ère année bac)
Exercice 1 (La dérivation 1ère s exercices)
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
ƒ(x) = √2−3x , g(x) = √1−x/1+x , h(x) = √x2+2x+3 et φ(x) = 3x−5/√x2+2
Exercice 2 (Étude d’une fonction)
Soit la fonction ƒ définie sur ]−∞, 1] par :
ƒ(x) = 2x√1−x
- Calculer : limx→−∞ ƒ(x).
- Sur quelle intervalle la fonction ƒ est-elle dérivable ? Déterminer la dérivée de la fonction ƒ sur cet intervalle.
- Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ. On donnera la valeur exacte de l’extremum de la fonction.
Exercice 3 (Étude d’une fonction)
Soit la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = √x2−x−2
- Déterminer Dƒ.
- Calculer : limx→−∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)
Exercice 4
Montrer les inégalités suivantes :
(∀x ∈ [0, π/2]) , sin x ≤ x
(∀x ∈ [0, π/2[) , x ≤ tan x
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Correction des exercices sur la dérivabilité
Exercice 1
- Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = √2−3x.
On pose la fonction u définie par u : x → 2 − 3x.
u est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et surtout sur ]−∞, 2/3[, et pour tout x de ]−∞, 2/3[ : u(x) ≻ 0. Donc, la fonction ƒ = √u est dérivable sur ]−∞, 2/3[.
Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ]−∞, 2/3[ ,
ƒ′(x) = (√2−3x)′
= (√2−3x)′/2√2−3x
= −3/2√2−3x
- Soit g la fonction définie par : g(x) = √1−x/1+x
On pose la fonction u définie par u : x→ 1−x/1+x.
u est une fonction rationnelle dérivable sur son ensemble de définition et surtout sur ]−1, 1[, et pour tout x de ]−1, 1[ : u(x) ≻ 0. Donc, la fonction g = √u est dérivable sur ]−1, 1[ .
Calculons g′(x) pour tout x ∈ ]−1, 1[
- Soit h la fonction définie par : h(x) = √x2+2x+3.
On pose la fonction u définie par : u : x → x2 + 2x + 3.
u est une fonction polynôme dérivable sur ℝ, et pour tout x de ℝ : u(x) ≻ 0. Donc, la fonction h = √u est dérivable sur ℝ.
Calculons h′(x) pour tout x ∈ ℝ
h′(x) = ( √x2 + 2x + 3)′
= (x2 + 2x + 3)′/2√x2+2x+3
= 2x+2/2√x2+2x+3
= x+1/√x2+2x+3
- Soit φ la fonction définie par : φ(x) = 3x−5/√x2+2.
La fonction φ s’écrit comme le quotient de deux fonctions u : x → 3x − 5 et v : x→ √x2+2.
u est une fonction polynôme dérivable sur ℝ.
On pose la fonction w : x → x2+ 2.
w est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et ne s’annule pas sur ℝ, et pour tout x de ℝ : w(x) ≻ 0. Donc la fonction v = √w est dérivable sur ℝ.
Par suite la fonction φ est dérivable sur ℝ comme le quotient de deux fonctions dérivables sur ℝ.
Calculons φ′(x) pour tout x de ℝ.
Exercice 2
Soit ƒ la fonction définie sur ]−∞, 1] par :
ƒ(x) = 2x√1−x
- Calculons : limx→−∞ ƒ(x)
limx→−∞ ƒ(x) = limx→−∞ 2x√1−x = −∞ car : limx→−∞ √1−x = +∞ et limx→−∞ 2x = −∞
2. On cherche l’intervalle de dérivation de la fonction ƒ.
La fonction ƒ s’écrit comme le produit de deux fonctions u : x → 2x et v : x → √1−x
- u est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et surtout sur ]−∞, 1[.
On pose la fonction w : x → 1 − x.
- h est une fonction dérivable sur ℝ et surtout sur ]−∞, 1[, et pour tout x ∈ ]−∞, 1[ : w(x) ≻ 0. Donc la fonction v = √w est dérivable sur ]−∞, 1[.
Par suite, la fonction ƒ est dérivable sur ]−∞, 1[ comme le produit de deux fonctions dérivables sur ]−∞, 1[.
Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ]−∞, 1[.
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Devoir surveillé sur la dérivation 1ère s (La dérivation 1ère s exercices)
Exercice 1
- Calculer la dérivée de la fonction : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).
- Déduire la valeur de la limite suivante :
limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1
Exercice 2
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2
- Vérifier que : Dƒ = [0, 2] .
- Montrer que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.
- La fonction ƒ est-elle dérivable à gauche en x0 = 2 ? justifier votre réponse puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
- Montrer que ƒ est dérivable sur l’intervalle ]0, 2[ et que :
(∀x ∈ ]0, 2[) , ƒ′(x) = 2x2−4x+1/√2x−x2
4. Dresser le tableau de variations de ƒ.
5. On considère un demi cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] avec AB = 2. M est un point variable du segment [OA] avec M ≠ O et M ≠ A.
N et P sont deux points du demi cercle (C) et Q un point du segment [OB] tels que le quadrilatère MNPQ est un rectangle. On pose : x = AM et on désigne par S (x) la surface du rectangle MNPQ.
Montrer que :
(∀x ∈ ]0, 1[) , S(x) = 2ƒ(x)
puis en déduire la position du point M pour la quelle du rectangle MNPQ est maximale.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- Calculons la dérivée de la fonction suivante : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).
La fonction ƒ est dérivable sur ℝ comme la somme de deux fonctions dérivables sur ℝ. u : x → sin (πx) et v : x → 3 cos (π/2x).
Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ℝ.
ƒ′(x) = (sin (πx) + 3 cos (π/2x))′
= (sin (πx))′ + (3 cos (π/2x))′
= π cos (πx) − 3 × π/2 sin(π/2x)
= π cos (πx) − 3π/2 sin(π/2x)
Calculons la valeur de la limite suivante : limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1
limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = limx→−1 ƒ(x)−ƒ(−1)/x+1 = ƒ′(−1)
Calculons ƒ′(−1)
ƒ′(−1) = π cos (−π) − 3π/2 sin(−π/2) = −π + 3π/2 = π/2
Donc
limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = π/2
Exercice 2
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2
- Vérifions que : Dƒ = [0, 2].
Dƒ = {x ∈ ℝ/ 2x − x2≥ 0}
= {x ∈ ℝ/ x(2 − x) ≥ 0}
Le tableau de signe de l’expression : x(2 − x) .
2. a) Montrons que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞.
limx→0+ ƒ(x)/x = limx→0+ (1 − x)√2x−x2/x
= limx→0+ (1 − x)x√2/x−1/x
= limx→0+ (1 − x)√2/x−1 = +∞
D’où on obtient
limx→0+ ƒ(x)−ƒ(0)/x−0 = +∞
La fonction ƒ n’est pas dérivable à droite de 0. La courbe (Cƒ) admet une demi-tangente verticale vers le haut à droite de 0.
b) La dérivabilité de la fonction ƒ à gauche de 2.
Vous pouvez aussi consulter :
