La dérivation 1ère s exercices

La dérivation 1ère s exercices

La dérivation 1ère s exercices.(1ère année bac/première s)

Exercice 1 (La dérivation 1ère s exercices)

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

ƒ(x) = √2−3x , g(x) = √1−x/1+x , h(x) = √x2+2x+3 et φ(x) = 3x−5/√x2+2

Exercice 2 (Étude d’une fonction)

Soit la fonction ƒ définie sur ]−∞, 1] par :

ƒ(x) = 2x√1−x

  1. Calculer : limx→−∞ ƒ(x).
  2. Sur quelle intervalle la fonction ƒ est-elle dérivable ? Déterminer la dérivée de la fonction ƒ sur cet intervalle.
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ. On donnera la valeur exacte de l’extremum de la fonction.

Exercice 3 (Étude d’une fonction)

Soit la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = √x2−x−2

    1. Déterminer Dƒ.
    2. Calculer : limx→−∞ ƒ(x) et limx→+∞ ƒ(x)
  1. Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ sur les deux points : x0 = −1 et x1= 2.
  2. Étudier les variations de ƒ.

Exercice 4

Montrer les inégalités suivantes :

(∀x ∈ [0, π/2]) , sin xx

(∀x ∈ [0, π/2[) , x ≤ tan x

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Correction des exercices sur la dérivabilité

Exercice 1

  • Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = √2−3x.

On pose la fonction u définie par u : x2 − 3x.

u est une fonction polynôme dérivable sur et surtout sur ]−∞, 2/3[, et pour tout x de ]−∞, 2/3[ : u(x) ≻ 0. Donc, la fonction ƒ = √u est dérivable sur ]−∞, 2/3[.

Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ]−∞, 2/3[ ,

ƒ′(x) = (√2−3x)′

= (√2−3x)′/2√2−3x

= −3/2√2−3x

  • Soit g la fonction définie par : g(x) = √1−x/1+x

On pose la fonction u définie par u : x→ 1−x/1+x.

u est une fonction rationnelle dérivable sur son ensemble de définition et surtout sur ]−1, 1[, et pour tout x de ]−1, 1[ : u(x) ≻ 0. Donc, la fonction g = √u est dérivable sur ]−1, 1[ .

Calculons g′(x) pour tout x ∈ ]−1, 1[

  • Soit h la fonction définie par : h(x) = √x2+2x+3.

On pose la fonction u définie par : u : x → x2 + 2x + 3.

u est une fonction polynôme dérivable sur , et pour tout x de : u(x) ≻ 0. Donc, la fonction h = √u est dérivable sur .

Calculons h′(x) pour tout x

h′(x) = ( √x2 + 2x + 3)′

= (x2 + 2x + 3)′/2√x2+2x+3

= 2x+2/2√x2+2x+3

= x+1/√x2+2x+3

  • Soit φ la fonction définie par : φ(x) = 3x−5/√x2+2.

La fonction φ s’écrit comme le quotient de deux fonctions u : x → 3x − 5 et v : x→ √x2+2.

u est une fonction polynôme dérivable sur .

On pose la fonction w : x → x2+ 2.

w est une fonction polynôme dérivable sur et ne s’annule pas sur , et pour tout x de : w(x) ≻ 0. Donc la fonction v = √w est dérivable sur .

Par suite la fonction φ est dérivable sur comme le quotient de deux fonctions dérivables sur .

Calculons φ′(x) pour tout x de .

Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur ]−∞, 1] par :

ƒ(x) = 2x√1−x

  1. Calculons : limx→−∞ ƒ(x)

limx→−∞ ƒ(x) = limx→−∞ 2x√1−x = −∞ car : limx→−∞ √1−x = +∞ et limx→−∞ 2x = −∞

2. On cherche l’intervalle de dérivation de la fonction ƒ.

La fonction ƒ s’écrit comme le produit de deux fonctions u : x → 2x et v : x → √1−x

  • u est une fonction polynôme dérivable sur et surtout sur ]−∞, 1[.

On pose la fonction w : x → 1 − x.

  • h est une fonction dérivable sur et surtout sur ]−∞, 1[, et pour tout x ∈ ]−∞, 1[ : w(x) ≻ 0. Donc la fonction v = √w est dérivable sur ]−∞, 1[.

Par suite, la fonction ƒ est dérivable sur ]−∞, 1[ comme le produit de deux fonctions dérivables sur ]−∞, 1[.

Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ]−∞, 1[.

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Devoir surveillé sur la dérivation 1ère s (La dérivation 1ère s exercices)

Exercice 1

  1. Calculer la dérivée de la fonction : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).
  2. Déduire la valeur de la limite suivante :

limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2

  1. Vérifier que : Dƒ = [0, 2] .
    1. Montrer que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.
    2. La fonction ƒ est-elle dérivable à gauche en x0 = 2 ? justifier votre réponse puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  2. Montrer que ƒ est dérivable sur l’intervalle ]0, 2[ et que :

(∀x ∈ ]0, 2[) , ƒ′(x) = 2x2−4x+1/√2x−x2

4. Dresser le tableau de variations de ƒ.

5. On considère un demi cercle (C) de centre O et de diamètre [AB] avec AB = 2. M est un point variable du segment [OA] avec M ≠ O et M ≠ A.

N et P sont deux points du demi cercle (C) et Q un point du segment [OB] tels que le quadrilatère MNPQ est un rectangle. On pose : x = AM et on désigne par S (x) la surface du rectangle MNPQ.

Montrer que :

(∀x ∈ ]0, 1[) , S(x) = 2ƒ(x)

puis en déduire la position du point M pour la quelle du rectangle MNPQ est maximale.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

  • Calculons la dérivée de la fonction suivante : ƒ : x → sin (πx) + 3 cos (π/2x).

La fonction ƒ est dérivable sur comme la somme de deux fonctions dérivables sur . u : x → sin (πx) et v : x3 cos (π/2x).

Calculons ƒ′(x) pour tout x .

ƒ′(x) = (sin (πx) + 3 cos (π/2x))′

= (sin (πx))′ + (3 cos (π/2x))′

= π cos (πx) − 3 × π/2 sin(π/2x)

= π cos (πx) − 3π/2 sin(π/2x)

Calculons la valeur de la limite suivante : limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1

limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = limx→−1 ƒ(x)−ƒ(−1)/x+1 = ƒ′(−1)

Calculons ƒ′(−1)

ƒ′(−1) = π cos (−π) − 3π/2 sin(−π/2) = −π + 3π/2 = π/2

Donc

limx→−1 sin (πx)+3 cos (π/2x)/x+1 = π/2

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = (1 − x)√2x−x2

  1. Vérifions que : Dƒ = [0, 2].

Dƒ = {x/ 2x − x2≥ 0}

= {x/ x(2 − x) ≥ 0}  

Le tableau de signe de l’expression : x(2 − x) .

2. a) Montrons que : limx→0+ ƒ(x)/x = +∞.

limx→0+ ƒ(x)/x = limx→0+ (1 − x)√2x−x2/x

= limx→0+ (1 − x)x√2/x−1/x

= limx→0+ (1 − x)√2/x−1 = +∞

D’où on obtient

limx→0+ ƒ(x)−ƒ(0)/x−0 = +∞

La fonction ƒ n’est pas dérivable à droite de 0. La courbe (Cƒ) admet une demi-tangente verticale vers le haut à droite de 0.

b) La dérivabilité de la fonction ƒ à gauche de 2.

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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