Limites d'une fonction résumé 1 bac

Limites d’une fonction résumé 1 bac

Limites d’une fonction résumé 1 bac. (1 ère année bac/première s)

Fonctions élémentaires

Limite en +∞ et −∞
Limite en 0
Exemple 1

Calculer la limite suivante : limx→−2 2x−1/x+2.

On détermine le signe de l’expression : x + 2

Comme : limx→−2 2x − 1 = −5. Donc, on déduit :

limx→−2x−2 2x−1/x+2 = −∞ et limx→−2x−2 2x−1/x+2 = +∞

Opérations sur les limites et formes indéterminée

Somme de fonctions
Produit de fonctions
Quotient de fonctions

Polynômes et fonctions rationnelles

Fonction polynôme
Règle 2

Un polynôme a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus haut degré.

Si P(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0, alors limx→+∞ P(x) = limx→+∞ anxn et limx→−∞ P(x) = limx→−∞ anxn

Exemple 3
  • limx→+∞ x4 − 2x3 + x2 + x − 1 = limx→+∞ x4 = +∞ et limx→−∞ x4 − 2x3 + x2 + x − 1 = limx→−∞ x4 = +∞
  • limx→+∞ −3x2 − 2x − 1 = limx→+∞ −3x2 = −∞ et limx→−∞ −3x2 − 2x − 1 = limx→−∞ −3x2 = −∞

Fonction rationnelle

Règle 4

Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.

ƒ(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0/bmxm + bm−1xm−1 + … + b1x + b0 , alors :

limx→+∞ ƒ(x) = limx→+∞ anxn/bmxm et limx→−∞ ƒ(x) = limx→−∞ anxn/bmxm

Exemple 5
  • limx→+∞ 3x−x2/x3+1 = limx→+∞ −x2/x3 = limx→+∞ −1/x = 0.
  • limx→−∞ (1−√2)x3+x2+1/2x2+1 = limx→−∞ (1−√2)x3/2x2 = limx→−∞ 1−√2/2 x = +∞, car : 1−√20.

Limite d’une fonction irrationnelle

Règle 6
  • Si limx→+∞ ƒ(x) = l0, alors : limx→+∞ƒ(x) = √l
  • Si limx→+∞ ƒ(x) = +∞, alors : limx→+∞ ƒ(x) = +∞
Exemple 7

Calculer les limites suivantes :

limx→+∞ √x2+x+3 , limx→−∞ √x2+x+3 + 2x

  • On a : limx→+∞ x2 + x + 3 = limx→+∞ x2 = +∞. Donc : limx→+∞ √x2+x+3 = +∞.



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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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