Les ensembles 1 bac sm

Les ensembles 1 bac sm cours

Les ensembles 1 bac sm cours. C’est un cours complet sur les ensembles (1ère année bac sm)

Ensembles (Les ensembles 1 bac sm cours)

Vocabulaire et notations usuelles (Les ensembles 1 bac sm cours)
Définition 1

Un ensemble est une collection d’objets.

On peut définir un ensemble de deux manières :

  • en extension : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent, par exemple E = {1, 2, 3} est l’ensemble contenant les trois éléments 1 , 2 et 3 . Il faut noter pour écrire un ensemble, on utilise conventionnellement des accolades et pas des parenthèses. Dans ce cas, l’ordre dans lequel on donne les éléments n’a aucune importance.
  • en compréhension : on donne les propriétés que doivent posséder les éléments de l’ensemble. Par exemple, l’ensemble E des réels supérieurs ou égaux à 1 peut s’écrire E = {x, x1}.
Appartenance 2

Quand un objet appartient à un ensemble, on dit que cet objet est élément de cet ensemble. Si x est élément d’un ensemble E, on écrit xE.

Ensemble vide 3

C’est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Il se note ∅, ou aussi {} mais se note pas { ∅ }.

Singletons, paires 4

Un ensemble qui contient un et un seul élément s’appelle un singleton.

Un ensemble qui contient deux éléments (distincts) s’appelle une paire. La paire {a, b} est la paire {b, a}.

Sous-ensembles

Inclusion
Définition 5 (Sous-ensembles)

L’ensemble A est un sous-ensemble de B si tous les éléments de A sont des éléments de B (autrement dit x A ⇒ xB). On dit aussi que A est inclus dans B, on le note AB.

Remarque 6

On peut dire aussi que A est une partie de B pour dire que A est un sous-ensemble de B.

Exemple 7

Si E = {0, 2, 4, 6, 8, 10} et F = {10, 2, 8} , alors : F E.

Remarque 8
  • Pour tout ensemble A, on a : ∅ ⊂ A, l’ensemble vide est une partie de A.
  • Si AB et B C , alors A C.
  • AA.
Egalité d’ensembles
Définition 9 (Egalités – d’ensembles)

Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, autrement dit si AB et BA.

Exemple 10

On considère l’ensemble

H = {(m, n) ∈ 2/ mn + 2 − 3n = 7}

Écrire l’ensemble H en extension.

Exemple 11

On considère l’ensemble

A = {x / x+1/2x+1}

Écrire l’ensemble A en extension.

Ensemble des parties
Définition 12 (Ensemble des parties)

Soit A un ensemble, l’ensemble des parties de A, noté P(A), est l’ensemble des sous-ensembles de A.

Exemple 13

Si A = {1, 2, 3} alors P(A) = {∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {2, 3} ; {1, 2, 3}}.

Opérations sur les ensembles

On présente ici des opérations sur les ensembles qui permettent de construire de nouveaux ensembles.

Union et Intersection
Définition 14 (Union).

Soient A et B deux parties d’un ensembles E. L’union de A et de B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A ou dans B. On le note A B.

AB = {xE/ x A ou xB}

Définition 15 (Intersection)

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. L’intersection des parties A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A et dans B. On le note AB.

AB = {xE/ xA et xB}

Exemple 16

Si A = {2, 5, 7} et B = {1, 5, 7, 9}, alors : AB = {1, 2, 5, 7, 9} et AB = {5, 7}.

Exemple 17

On considère les ensembles :

A = {2n+1/4 / n} et B = {5m+4/3 / m}

Montrer que : AB ≠ ∅ et B ≠ ∅.

  • On suppose par l’absurde que : AB ≠ ∅. Alors il existe x AB tel que :

∃(n, m) ∈ 2, x = 2n+1/4 = 5m+4/3

donc

6n + 3 = 20m + 166n − 20m = 133n − 10m = 13/2

ce qui est absurde car 3n − 10m. Donc

AB = ∅

  • On a : 3B et 3, alors : B ≠ ∅.
Exemple 18

On considère les ensembles :

A = {x/ ∣x − 1∣ < 3/2} et B = {x/ 2x+3/2 4}

Déterminons en extension AB et AB.

Règles de calculs
Propriété 19

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

  • AB = BA.
  • A ⋂ (BC) = (AB) ⋂ C.
  • A ⋂ ∅ = ∅ et AA = A.
  • ABA et ABB.
  • A BAB = A.
  • AB = B A.
  • A AB et BAB.
  • A ∪ ∅ = A et AA = A.
  • AB A B = B.
Démonstration 20

Les démonstrations sont pour l’essentiel une reformulation des opérations logiques. On en démontre un exemple pour fournir un modèle de démonstration d’égalités ensemblistes.

x A ⋂ (BC) ⇔ xA et x ∈ (BC)

⇔ xA et (x B et xC)

⇔ (xA et xB) et x C

⇔ x ∈ (A B) et x C

⇔ x ∈ (A B) ⋂ C

Propriété 21 (Lois de Morgan).

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

  • A ⋂ (BC) = (AB) ∪ (A C).
  • A ∪ (BC) = (AB) ⋂ (AC).
Démonstration 22

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. Montrons que : A ⋂ (BC) = (AB) ∪ (A C).

Démontrons par équivalence.

xA ⋂ (BC) ⇔  xA et x ∈ (B C)

xA et (xB ou xC)

⇔ (x A et x B) ou (x A et xC)

x ∈ (A B) ou x ∈ (AC)

x ∈ (AB) ∪ (AC)

  • Même démarche pour l’autre égalité.

On expose quelque exemple pour familiariser par les démonstrations ensemblistes

Exemple 23

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E.

Montrer que :

{ AB = AC et AB = A CB = C

On suppose que : A B = AC et AB = AC, et on montre que : B = C.

Soit xB, alors : xA B donc : x A C c’est-à-dire xA ou xC.

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Devoir surveillé sur les ensembles 1 bac sm

Exercice 1 (4 pts)

On considère dans les sous-ensembles suivants : A = ]−∞, 3], B = ]−2, 7] et C = ]−5, +∞[.

  1. Déterminer AB et B A, puis déduire AB.
  2. Déterminer A C et AC, puis en déduire AC.
  3. Déterminer (A B) ∩ C (le complémentaire de (AB) ∩ C de ).
Exercice 2 (6 pts)

On considère les ensembles :

E = {π/6 + kπ/3 / k} et F = {π/3 + kπ/6 / k}

  1. Déterminer E ∩ [− π/2, π].
  2. Montrer que : EF.
    1. Montrer que : π/3E.
    2. L’inclusion FE est-elle satisfaite ? Justifier
Exercice 3 (6 pts)

Déterminer en extension les ensembles :

F = { x / 2x+1/x+1} et C = {(x, y) ∈ (*)2 / 1/x + 1/y = 1/5}

On considère les ensembles :

B = { x / ∣x∣ < 3} , E = { x/ −5 < x 5} et A = E*

Déterminer en extension les ensembles suivants :

A ∩ B , C(AB)E , AB et ( AB ) ∩ C(AB)E

Exercice 4 (4 pts)

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E.

  1. Montrer que : AB ⇔  (AB) ∪ B = A.
  2. Montrer que : A = B ⇔ (A B) ∪ (BA) = ∅.
  3. Montrer que : A = ∅ ⇔ (AB) ∪ (AB) = B.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1

On considère dans les sous-ensembles suivants :

A = ]−∞, 3], B = ]−2, 7] et C = ]−5, +∞[

  1. ∎On cherche AB c’est-à-dire les éléments de qui appartiennent à A et n’appartiennent pas à B.
Méthode 01

AB = ]−∞, 3] ∖ ]−2, 7] = ]−∞, −2]

Méthode 02
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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