Les ensembles et les applications

Les ensembles et les applications.(Bac +1)

Généralités sur les applications (Les ensembles et les applications)

Définition d’une application (Les ensembles et les applications)

Définition 1 (Les ensembles et les applications)

Soit ƒ une fonction d’un ensemble non vide E vers un ensemble non vide F.

ƒ est une application de E vers F si et seulement si tout élément de l’ensemble de départ E a une et une seule image dans l’ensemble d’arrivée F par ƒ.

Avec des quantificateurs, cela donne

Soit ƒ une fonction d’un ensemble E vers un ensemble F.

ƒ application ⇔  (∀x ∈ E) , ((∃!y ∈ F) / y = ƒ(x))

Remarque 2

L’ensemble des applications de E vers F se note A(E, F) ou plus fréquemment F^E.

Égalité de deux application

Définition 3

Deux applications ƒ, g : E → F sont égales si et seulement si pour tout x ∈ E, ƒ(x) = g(x). On note alors ƒ = g.

Image directe, image réciproque d’une partie par une application

Image directe

Définition 4

Soient E et F eux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit A une partie de E. L’image directe de la partie A par l’application ƒ. notée ƒ(A), est l’ensemble des images des éléments de A par ƒ.

ƒ(A) = {ƒ(x), x ∈ A}.

Avec des quanticateurs, cela donne :

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ F^E. Soit A ⊂ E.

(∀y ∈ F) , ∀y ∈ ƒ(A) ⇔  ∃x ∈ A/ y = ƒ(x)

Exemple 5

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : ℝ →  ℝ

x →  x² + 2x

Montrer que : ƒ([−1, 1]) = [−1, 3].

On montre les doubles inclusions.

• ⊂) Soit y ∈ ƒ([−1, 1]) , il existe x de [−1, 1] tel que ƒ(x) = y.

On a :

ƒ(x) = x² + 2x = (x² + 2x + 1) − 1 = (x + 1)² − 1

comme −1 ≤ x ≤ 1, alors : 0 ≤ x + 1 ≤ 2, donc : −1 ≤ (x + 1)² − 1 ≤ 3.

Donc : y ∈ [−1, 3] , c’est-à-dire : ƒ([−1, 1]) ⊂ [−1, 3].

• ⊃) Soit y ∈ [−1, 3]. Résolvons l’équation ƒ(x) = y dans [−1, 1] .

Soit x ∈ [−1, 1].

ƒ(x) = y ⇔ x² + 2x = y

⇔ (x + 1)² = y + 1

⇔ x + 1 = √y+1 , x + 1 ≥ 0 et y + 1 ≥ 0

⇔ x = √y+1 − 1

comme y ∈ [−1, 3], alors : −1 ≤ √y+1 − 1 ≤ 1, d’où : y ∈ ƒ([−1, 1]). Ce qui signifie que : [−1, 3] ⊂ ƒ([−1, 1]).

Finalement :

ƒ([−1, 1]) = [−1, 3]

Exemple 6

On considère deux ensembles non vides E et F . Soit ƒ : E → F une application.

Soient A et B deux éléments de P(E).

Montrer que si A ⊂ B alors ƒ(A) ⊂ ƒ(B).

• Soit y ∈ ƒ(A) , il existe x ∈ A tel que y = ƒ(x).

Puisque A ⊂ B, on a x ∈ B donc ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire : y ∈ ƒ(B) . Donc :

ƒ(A) ⊂ ƒ(B)

Théorème 7

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

1. ∀(A, B) ∈ (P(E))² , ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)
2. ∀(A, B) ∈ (P(E))² , ƒ(A ∩ B) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)

Démonstration 8

1. On procède par double inclusion.

• Soit y ∈ ƒ(A ∪ B), il existe x ∈ A ∪ B tel que y = ƒ(x).

Si x ∈ A alors y ∈ ƒ(A). Si x ∉ A, c’est alors que x ∈ B et donc y ∈ ƒ(B).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B).

• Soit y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B). Si y ∈ ƒ(A), alors il existe x ∈ A tel que y = ƒ(x). Mais alors x ∈ A ∪ B et donc y ∈ ƒ(A ∪ B).

Si y ∉ ƒ(A), alors y est nécessairement dans ƒ(B) et il existe x ∈ B tel que y = ƒ(x). Or dans ce cas, on a aussi x ∈ A ∪ B et de fait y ∈ ƒ(A ∪ B).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A ∪ B). D’où

ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)

2. Soit y ∈ ƒ(A ∩ B), alors il existe x ∈ A ∩ B tel que y = ƒ(x).

Comme x ∈ A ∩ B, alors x ∈ A ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(A), c’est-à-dire y ∈ ƒ(A).

De même x ∈ B, ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire y ∈ ƒ(B).

Donc y ∈ ƒ(A) et y ∈ ƒ(B), alors y ∈ ƒ(A) ∩ƒ(B). D’où

ƒ(A ∩ B) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)

Image réciproque

Définition 9

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit B une partie de F. L’image réciproque de la partie B par l’application ƒ, notée ƒ⁻¹(B), est l’ensemble des antécédentes des éléments de B par ƒ.

ƒ⁻¹(B) = {x ∈ E/ ƒ(x) ∈ B}

Avec des quantificateurs, cela donne

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ F^E . Soit B ⊂ F.

(∀x ∈ E), x ∈ ƒ⁻¹(B) ⇔ ƒ(x) ∈ B

Exemple 10

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : ℝ → ℝ

x → 2x/x²+1

Montrer que : ƒ⁻¹([−1, 1]) = ℝ.

Cliquer ici pour télécharger Les ensembles et les applications (cours sur les applications)

Ensembles (Les ensembles et les applications)

Vocabulaire et notations usuelles (Les ensembles et les applications)

Définition 1 (Les ensembles et les applications)

Un ensemble est une collection d’objets.

On peut définir un ensemble de deux manières :

• en extension : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent, par exemple E = {1, 2, 3} est l’ensemble contenant les trois éléments 1 , 2 et 3 . Il faut noter pour écrire un ensemble, on utilise conventionnellement des accolades et pas des parenthèses. Dans ce cas, l’ordre dans lequel on donne les éléments n’a aucune importance.

• en compréhension : on donne les propriétés que doivent posséder les éléments de l’ensemble. Par exemple, l’ensemble E des réels supérieurs ou égaux à 1 peut s’écrire E = {x ∈ ℝ, x ≥ 1}.

Appartenance 2

Quand un objet appartient à un ensemble, on dit que cet objet est élément de cet ensemble. Si x est élément d’un ensemble E, on écrit x ∈ E.

Ensemble vide 3

C’est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Il se note ∅, ou aussi {} mais se note pas { ∅ }.

Singletons, paires 4

Un ensemble qui contient un et un seul élément s’appelle un singleton.

Un ensemble qui contient deux éléments (distincts) s’appelle une paire. La paire {a, b} est la paire {b, a}.

Sous-ensembles

Inclusion

Définition 5 (Sous-ensembles)

L’ensemble A est un sous-ensemble de B si tous les éléments de A sont des éléments de B (autrement dit x ∈ A ⇒ x ∈ B). On dit aussi que A est inclus dans B, on le note A ⊂ B.

Remarque 6

On peut dire aussi que A est une partie de B pour dire que A est un sous-ensemble de B.

Exemple 7

Si E = {0, 2, 4, 6, 8, 10} et F = {10, 2, 8} , alors : F ⊂ E.

Remarque 8

• Pour tout ensemble A, on a : ∅ ⊂ A, l’ensemble vide est une partie de A.

• Si A ⊂ B et B ⊂ C , alors A ⊂ C.

• A ⊂ A.

Egalité d’ensembles

Définition 9 (Egalités – d’ensembles)

Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, autrement dit si A ⊂ B et B ⊂ A.

Exemple 10

On considère l’ensemble

H = {(m, n) ∈ ℤ²/ mn + 2 − 3n = 7}

Écrire l’ensemble H en extension.

Exemple 11

On considère l’ensemble

A = {x ∈ ℤ/ x+1/2x+1 ∈ ℤ}

Écrire l’ensemble A en extension.

Ensemble des parties

Définition 12 (Ensemble des parties)

Soit A un ensemble, l’ensemble des parties de A, noté P(A), est l’ensemble des sous-ensembles de A.

Exemple 13

Si A = {1, 2, 3} alors P(A) = {∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {2, 3} ; {1, 2, 3}}.

Opérations sur les ensembles

On présente ici des opérations sur les ensembles qui permettent de construire de nouveaux ensembles.

Union et Intersection

Définition 14 (Union).

Soient A et B deux parties d’un ensembles E. L’union de A et de B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A ou dans B. On le note A ∪ B.

A ∪ B = {x ∈ E/ x ∈ A ou x ∈ B}

Définition 15 (Intersection)

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. L’intersection des parties A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A et dans B. On le note A ⋂ B.

A ⋂ B = {x ∈ E/ x ∈ A et x ∈ B}

Exemple 16

Si A = {2, 5, 7} et B = {1, 5, 7, 9}, alors : A ∪ B = {1, 2, 5, 7, 9} et A ⋂ B = {5, 7}.

Exemple 17

On considère les ensembles :

A = {2n+1/4 / n ∈ ℤ} et B = {5m+4/3 / m ∈ ℤ}

Montrer que : A ⋂ B ≠ ∅ et B ⋂ ℕ ≠ ∅.

• On suppose par l’absurde que : A ⋂ B ≠ ∅. Alors il existe x ∈ A ⋂ B tel que :

∃(n, m) ∈ ℤ², x = 2n+1/4 = 5m+4/3

donc

6n + 3 = 20m + 16 ⇒ 6n − 20m = 13 ⇒ 3n − 10m = 13/2 ∉ ℤ

ce qui est absurde car 3n − 10m ∈ ℤ. Donc

A ⋂ B = ∅

• On a : 3 ∈ B et 3 ∈ ℕ, alors : B ⋂ ℕ ≠ ∅.

Exemple 18

On considère les ensembles :

A = {x ∈ ℤ/ ∣x − 1∣ < 3/2} et B = {x ∈ ℕ/ 2x+3/2 ≤ 4}

Déterminons en extension A ⋂ B et A ∪ B.

Règles de calculs

Propriété 19

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

• A ⋂ B = B ⋂ A.
• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C.
• A ⋂ ∅ = ∅ et A ⋂ A = A.
• A ⋂ B ⊂ A et A ⋂ B ⊂ B.
• A ⊂ B ⇔ A ⋂ B = A.
• A ∪ B = B ∪ A.
• A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B.
• A ∪ ∅ = A et A ∪ A = A.
• A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.

Démonstration 20

Les démonstrations sont pour l’essentiel une reformulation des opérations logiques. On en démontre un exemple pour fournir un modèle de démonstration d’égalités ensemblistes.

x ∈ A ⋂ (B ⋂ C) ⇔ x ∈ A et x ∈ (B ⋂ C)

⇔ x ∈ A et (x ∈ B et x ∈ C)

⇔ (x ∈ A et x ∈ B) et x ∈ C

⇔ x ∈ (A ⋂ B) et x ∈ C

⇔ x ∈ (A ⋂ B) ⋂ C

Propriété 21 (Lois de Morgan).

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

• A ⋂ (B ∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C).

• A ∪ (B ⋂ C) = (A ∪ B) ⋂ (A ∪ C).

Démonstration 22

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. Montrons que : A ⋂ (B ∪ C) = (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C).

Démontrons par équivalence.

x ∈ A ⋂ (B ∪ C) ⇔  x ∈ A et x ∈ (B ∪ C)

⇔ x ∈ A et (x ∈ B ou x ∈ C)

⇔ (x ∈ A et x ∈ B) ou (x ∈ A et x ∈ C)

⇔ x ∈ (A ⋂ B) ou x ∈ (A ⋂ C)

⇔ x ∈ (A ⋂ B) ∪ (A ⋂ C)

• Même démarche pour l’autre égalité.

On expose quelque exemple pour familiariser par les démonstrations ensemblistes

Exemple 23

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E.

Montrer que :

{ A ⋂ B = A ⋂ C et A ∪ B = A ∪ C ⇒ B = C

On suppose que : A ⋂ B = A ⋂ C et A ∪ B = A ∪ C, et on montre que : B = C.

Soit x ∈ B, alors : x ∈ A ∪ B donc : x ∈ A ∪ C c’est-à-dire x ∈ A ou x ∈ C.

Cliquer ici pour télécharger Les ensembles et les applications (cours sur les ensembles)

Vous pouvez aussi consulter :

• Étude de la fonction arctangente
• Théorème de Rolle et des accroissements finis