Les ensembles et les applications

Les ensembles et les applications

Les ensembles et les applications.(Bac +1)

Généralités sur les applications (Les ensembles et les applications)

Définition d’une application (Les ensembles et les applications)
Définition 1 (Les ensembles et les applications)

Soit ƒ une fonction d’un ensemble non vide E vers un ensemble non vide F.

ƒ est une application de E vers F si et seulement si tout élément de l’ensemble de départ E a une et une seule image dans l’ensemble d’arrivée F par ƒ.

Avec des quantificateurs, cela donne

Soit ƒ une fonction d’un ensemble E vers un ensemble F.

ƒ application ⇔  (∀x E) , ((∃!yF) / y = ƒ(x))

Remarque 2

L’ensemble des applications de E vers F se note A(E, F) ou plus fréquemment FE.

Égalité de deux application
Définition 3

Deux applications ƒ, g : E → F sont égales si et seulement si pour tout xE, ƒ(x) = g(x). On note alors ƒ = g.

Image directe, image réciproque d’une partie par une application
Image directe
Définition 4

Soient E et F eux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit A une partie de E. L’image directe de la partie A par l’application ƒ. notée ƒ(A), est l’ensemble des images des éléments de A par ƒ.

ƒ(A) = {ƒ(x), x A}.

Avec des quanticateurs, cela donne :

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ FE. Soit AE.

(∀yF) , ∀y ∈ ƒ(A) ⇔  ∃x A/ y = ƒ(x)

Exemple 5

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : → 

x →  x2 + 2x

Montrer que : ƒ([−1, 1]) = [−1, 3].

On montre les doubles inclusions.

  • ⊂) Soit y ∈ ƒ([−1, 1]) , il existe x de [−1, 1] tel que ƒ(x) = y.

On a :

ƒ(x) = x2 + 2x = (x2 + 2x + 1) − 1 = (x + 1)2 − 1

comme −1 x 1, alors : 0x + 12, donc : −1 ≤ (x + 1)2 − 13.

Donc : y ∈ [−1, 3] , c’est-à-dire : ƒ([−1, 1]) ⊂ [−1, 3].

  • ⊃) Soit y ∈ [−1, 3]. Résolvons l’équation ƒ(x) = y dans [−1, 1] .

Soit x ∈ [−1, 1].

ƒ(x) = y ⇔ x2 + 2x = y

⇔ (x + 1)2 = y + 1

x + 1 = √y+1 , x + 1 0 et y + 1 0

x = √y+1 − 1

comme y ∈ [−1, 3], alors : −1√y+1 − 11, d’où : y ∈ ƒ([−1, 1]). Ce qui signifie que : [−1, 3] ⊂ ƒ([−1, 1]).

Finalement :

ƒ([−1, 1]) = [−1, 3]

Exemple 6

On considère deux ensembles non vides E et F . Soit ƒ : E → F une application.

Soient A et B deux éléments de P(E).

Montrer que si A B alors ƒ(A) ⊂ ƒ(B).

  • Soit y ∈ ƒ(A) , il existe xA tel que y = ƒ(x).

Puisque AB, on a xB donc ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire : y ∈ ƒ(B) . Donc :

ƒ(A) ⊂ ƒ(B)

Théorème 7

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

  1. ∀(A, B) ∈ (P(E))2 , ƒ(AB) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)
  2. ∀(A, B) ∈ (P(E))2 , ƒ(AB) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)
Démonstration 8
  1. On procède par double inclusion.
  • Soit y ∈ ƒ(AB), il existe xAB tel que y = ƒ(x).

Si x A alors y ∈ ƒ(A). Si xA, c’est alors que xB et donc y ∈ ƒ(B).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B).

  • Soit y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B). Si y ∈ ƒ(A), alors il existe xA tel que y = ƒ(x). Mais alors xA B et donc y ∈ ƒ(AB).

Si y ∉ ƒ(A), alors y est nécessairement dans ƒ(B) et il existe xB tel que y = ƒ(x). Or dans ce cas, on a aussi xAB et de fait y ∈ ƒ(AB).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(AB). D’où

ƒ(AB) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)

2. Soit y ∈ ƒ(AB), alors il existe x A B tel que y = ƒ(x).

Comme xAB, alors x A ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(A), c’est-à-dire y ∈ ƒ(A).

De même xB, ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire y ∈ ƒ(B).

Donc y ∈ ƒ(A) et y ∈ ƒ(B), alors y ∈ ƒ(A) ∩ƒ(B). D’où

ƒ(AB) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)

Image réciproque
Définition 9

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit B une partie de F. L’image réciproque de la partie B par l’application ƒ, notée ƒ−1(B), est l’ensemble des antécédentes des éléments de B par ƒ.

ƒ−1(B) = {x E/ ƒ(x) ∈ B}

Avec des quantificateurs, cela donne

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ FE . Soit BF.

(∀xE), x ∈ ƒ−1(B) ⇔ ƒ(x) ∈ B

Exemple 10

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : → 

x → 2x/x2+1

Montrer que : ƒ−1([−1, 1]) = .

Cliquer ici pour télécharger Les ensembles et les applications (cours sur les applications)

Ensembles (Les ensembles et les applications)

Vocabulaire et notations usuelles (Les ensembles et les applications)
Définition 1 (Les ensembles et les applications)

Un ensemble est une collection d’objets.

On peut définir un ensemble de deux manières :

  • en extension : on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent, par exemple E = {1, 2, 3} est l’ensemble contenant les trois éléments 1 , 2 et 3 . Il faut noter pour écrire un ensemble, on utilise conventionnellement des accolades et pas des parenthèses. Dans ce cas, l’ordre dans lequel on donne les éléments n’a aucune importance.
  • en compréhension : on donne les propriétés que doivent posséder les éléments de l’ensemble. Par exemple, l’ensemble E des réels supérieurs ou égaux à 1 peut s’écrire E = {x, x1}.
Appartenance 2

Quand un objet appartient à un ensemble, on dit que cet objet est élément de cet ensemble. Si x est élément d’un ensemble E, on écrit xE.

Ensemble vide 3

C’est l’ensemble qui ne contient aucun élément. Il se note ∅, ou aussi {} mais se note pas { ∅ }.

Singletons, paires 4

Un ensemble qui contient un et un seul élément s’appelle un singleton.

Un ensemble qui contient deux éléments (distincts) s’appelle une paire. La paire {a, b} est la paire {b, a}.

Sous-ensembles

Inclusion
Définition 5 (Sous-ensembles)

L’ensemble A est un sous-ensemble de B si tous les éléments de A sont des éléments de B (autrement dit x A ⇒ xB). On dit aussi que A est inclus dans B, on le note AB.

Remarque 6

On peut dire aussi que A est une partie de B pour dire que A est un sous-ensemble de B.

Exemple 7

Si E = {0, 2, 4, 6, 8, 10} et F = {10, 2, 8} , alors : F E.

Remarque 8
  • Pour tout ensemble A, on a : ∅ ⊂ A, l’ensemble vide est une partie de A.
  • Si AB et B C , alors A C.
  • AA.
Egalité d’ensembles
Définition 9 (Egalités – d’ensembles)

Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, autrement dit si AB et BA.

Exemple 10

On considère l’ensemble

H = {(m, n) ∈ 2/ mn + 2 − 3n = 7}

Écrire l’ensemble H en extension.

Exemple 11

On considère l’ensemble

A = {x / x+1/2x+1}

Écrire l’ensemble A en extension.

Ensemble des parties
Définition 12 (Ensemble des parties)

Soit A un ensemble, l’ensemble des parties de A, noté P(A), est l’ensemble des sous-ensembles de A.

Exemple 13

Si A = {1, 2, 3} alors P(A) = {∅; {1} ; {2} ; {3} ; {1, 2} ; {1, 3} ; {2, 3} ; {1, 2, 3}}.

Opérations sur les ensembles

On présente ici des opérations sur les ensembles qui permettent de construire de nouveaux ensembles.

Union et Intersection
Définition 14 (Union).

Soient A et B deux parties d’un ensembles E. L’union de A et de B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A ou dans B. On le note A B.

AB = {xE/ x A ou xB}

Définition 15 (Intersection)

Soient A et B deux parties d’un ensemble E. L’intersection des parties A et B est l’ensemble des éléments de E qui sont dans A et dans B. On le note AB.

AB = {xE/ xA et xB}

Exemple 16

Si A = {2, 5, 7} et B = {1, 5, 7, 9}, alors : AB = {1, 2, 5, 7, 9} et AB = {5, 7}.

Exemple 17

On considère les ensembles :

A = {2n+1/4 / n} et B = {5m+4/3 / m}

Montrer que : AB ≠ ∅ et B ≠ ∅.

  • On suppose par l’absurde que : AB ≠ ∅. Alors il existe x AB tel que :

∃(n, m) ∈ 2, x = 2n+1/4 = 5m+4/3

donc

6n + 3 = 20m + 166n − 20m = 133n − 10m = 13/2

ce qui est absurde car 3n − 10m. Donc

AB = ∅

  • On a : 3B et 3, alors : B ≠ ∅.
Exemple 18

On considère les ensembles :

A = {x/ ∣x − 1∣ < 3/2} et B = {x/ 2x+3/2 4}

Déterminons en extension AB et AB.

Règles de calculs
Propriété 19

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

  • AB = BA.
  • A ⋂ (BC) = (AB) ⋂ C.
  • A ⋂ ∅ = ∅ et AA = A.
  • ABA et ABB.
  • A BAB = A.
  • AB = B A.
  • A AB et BAB.
  • A ∪ ∅ = A et AA = A.
  • AB A B = B.
Démonstration 20

Les démonstrations sont pour l’essentiel une reformulation des opérations logiques. On en démontre un exemple pour fournir un modèle de démonstration d’égalités ensemblistes.

x A ⋂ (BC) ⇔ xA et x ∈ (BC)

⇔ xA et (x B et xC)

⇔ (xA et xB) et x C

⇔ x ∈ (A B) et x C

⇔ x ∈ (A B) ⋂ C

Propriété 21 (Lois de Morgan).

Soient A, B et C des parties d’un ensembles E.

  • A ⋂ (BC) = (AB) ∪ (A C).
  • A ∪ (BC) = (AB) ⋂ (AC).
Démonstration 22

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E. Montrons que : A ⋂ (BC) = (AB) ∪ (A C).

Démontrons par équivalence.

xA ⋂ (BC) ⇔  xA et x ∈ (B C)

xA et (xB ou xC)

⇔ (x A et x B) ou (x A et xC)

x ∈ (A B) ou x ∈ (AC)

x ∈ (AB) ∪ (AC)

  • Même démarche pour l’autre égalité.

On expose quelque exemple pour familiariser par les démonstrations ensemblistes

Exemple 23

Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E.

Montrer que :

{ AB = AC et AB = A CB = C

On suppose que : A B = AC et AB = AC, et on montre que : B = C.

Soit xB, alors : xA B donc : x A C c’est-à-dire xA ou xC.

Cliquer ici pour télécharger Les ensembles et les applications (cours sur les ensembles)

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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