Les applications cours 1 bac sm

Les applications cours 1 bac sm

Les applications cours 1 bac sm. (1ère année bac sm)

Généralités sur les applications (Les applications cours 1 bac sm)

Définition d’une application
Définition 1

Soit ƒ une fonction d’un ensemble non vide E vers un ensemble non vide F.

ƒ est une application de E vers F si et seulement si tout élément de l’ensemble de départ E a une et une seule image dans l’ensemble d’arrivée F par ƒ.

Avec des quantificateurs, cela donne

Soit ƒ une fonction d’un ensemble E vers un ensemble F.

ƒ application ⇔  (∀x E) , ((∃!yF) / y = ƒ(x))

Remarque 2

L’ensemble des applications de E vers F se note A(E, F) ou plus fréquemment FE.

Égalité de deux application
Définition 3

Deux applications ƒ, g : E → F sont égales si et seulement si pour tout xE, ƒ(x) = g(x). On note alors ƒ = g.

Image directe, image réciproque d’une partie par une application
Image directe
Définition 4

Soient E et F eux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit A une partie de E. L’image directe de la partie A par l’application ƒ. notée ƒ(A), est l’ensemble des images des éléments de A par ƒ.

ƒ(A) = {ƒ(x), x A}.

Avec des quanticateurs, cela donne :

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ FE. Soit AE.

(∀yF) , ∀y ∈ ƒ(A) ⇔  ∃x A/ y = ƒ(x)

Exemple 5

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : → 

x →  x2 + 2x

Montrer que : ƒ([−1, 1]) = [−1, 3].

On montre les doubles inclusions.

  • ⊂) Soit y ∈ ƒ([−1, 1]) , il existe x de [−1, 1] tel que ƒ(x) = y.

On a :

ƒ(x) = x2 + 2x = (x2 + 2x + 1) − 1 = (x + 1)2 − 1

comme −1 x 1, alors : 0x + 12, donc : −1 ≤ (x + 1)2 − 13.

Donc : y ∈ [−1, 3] , c’est-à-dire : ƒ([−1, 1]) ⊂ [−1, 3].

  • ⊃) Soit y ∈ [−1, 3]. Résolvons l’équation ƒ(x) = y dans [−1, 1] .

Soit x ∈ [−1, 1].

ƒ(x) = y ⇔ x2 + 2x = y

⇔ (x + 1)2 = y + 1

x + 1 = √y+1 , x + 1 0 et y + 1 0

x = √y+1 − 1

comme y ∈ [−1, 3], alors : −1√y+1 − 11, d’où : y ∈ ƒ([−1, 1]). Ce qui signifie que : [−1, 3] ⊂ ƒ([−1, 1]).

Finalement :

ƒ([−1, 1]) = [−1, 3]

Exemple 6

On considère deux ensembles non vides E et F . Soit ƒ : E → F une application.

Soient A et B deux éléments de P(E).

Montrer que si A B alors ƒ(A) ⊂ ƒ(B).

  • Soit y ∈ ƒ(A) , il existe xA tel que y = ƒ(x).

Puisque AB, on a xB donc ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire : y ∈ ƒ(B) . Donc :

ƒ(A) ⊂ ƒ(B)

Théorème 7

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

  1. ∀(A, B) ∈ (P(E))2 , ƒ(AB) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)
  2. ∀(A, B) ∈ (P(E))2 , ƒ(AB) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)
Démonstration 8
  1. On procède par double inclusion.
  • Soit y ∈ ƒ(AB), il existe xAB tel que y = ƒ(x).

Si x A alors y ∈ ƒ(A). Si xA, c’est alors que xB et donc y ∈ ƒ(B).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B).

  • Soit y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B). Si y ∈ ƒ(A), alors il existe xA tel que y = ƒ(x). Mais alors xA B et donc y ∈ ƒ(AB).

Si y ∉ ƒ(A), alors y est nécessairement dans ƒ(B) et il existe xB tel que y = ƒ(x). Or dans ce cas, on a aussi xAB et de fait y ∈ ƒ(AB).

Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(AB). D’où

ƒ(AB) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)

2. Soit y ∈ ƒ(AB), alors il existe x A B tel que y = ƒ(x).

Comme xAB, alors x A ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(A), c’est-à-dire y ∈ ƒ(A).

De même xB, ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire y ∈ ƒ(B).

Donc y ∈ ƒ(A) et y ∈ ƒ(B), alors y ∈ ƒ(A) ∩ƒ(B). D’où

ƒ(AB) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)

Image réciproque
Définition 9

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.

Soit B une partie de F. L’image réciproque de la partie B par l’application ƒ, notée ƒ−1(B), est l’ensemble des antécédentes des éléments de B par ƒ.

ƒ−1(B) = {x E/ ƒ(x) ∈ B}

Avec des quantificateurs, cela donne

Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ FE . Soit BF.

(∀xE), x ∈ ƒ−1(B) ⇔ ƒ(x) ∈ B

Exemple 10

Soit ƒ l’application définie par :

ƒ : → 

x → 2x/x2+1

Montrer que : ƒ−1([−1, 1]) = .

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Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm

Exercice 1
  1. Montrer que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.
  2. On considère l’application suivante :

ƒ : [−1, 0] → [1, 2]  

x2√x+1 − x

a) Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ(x) = 2 − (√x+1 − 1)2.

b) Montrer que l’application ƒ est bijective et donner sa bijection réciproque ƒ−1.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : → 

x →  2x/x2+1

    1. Vérifier que : (∀x*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
    2. L’application ƒ est-elle injective ? Justifier- votre réponse.
  1. Montrer que : (∀x) , ∣ƒ(x)∣ ≤ 1. L’application ƒ est-elle surjective ?
Exercice 3
  1. Montrer que : (∀x ∈ [0, 1]) , 0√x/√x+√1−x1.
  2. On considère l’application :

ƒ : [0, 1] → [0, 1]  

x√x/√x+√1−x

Montrer que ƒ est bijective et expliciter ƒ−1 sa bijection réciproque.

Exercice 4

Soit ƒ l’application définie de dans *+ .

ƒ(x) = 1/x2−2x+2

  1. Montrer que ƒ n’est pas injective.
  2. Montrer que : ƒ() = ]0, 1].
  3. L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
  1. Montrons que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.

Soit x ∈ [−1, 0].

12√x+1 − x2

⇔ x + 12√x+1x + 2

⇔ (x + 1)2 ≤ (2√x+1)2≤ (x + 2)2 

⇔ (x + 1)2 − 4(x + 1) ≤ 0 et 0 ≤ (x + 2)2 (2√x+1)2

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2 + 4x + 4 − 4x − 4

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2

Comme (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2 pour tout x de [−1, 0] . Alors :

(∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.

2. On considère l’application suivante :

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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