Les applications cours 1 bac sm. (1ère année bac sm)
Généralités sur les applications (Les applications cours 1 bac sm)
Définition d’une application
Définition 1
Soit ƒ une fonction d’un ensemble non vide E vers un ensemble non vide F.
ƒ est une application de E vers F si et seulement si tout élément de l’ensemble de départ E a une et une seule image dans l’ensemble d’arrivée F par ƒ.
Avec des quantificateurs, cela donne
Soit ƒ une fonction d’un ensemble E vers un ensemble F.
ƒ application ⇔ (∀x ∈ E) , ((∃!y ∈ F) / y = ƒ(x))
Remarque 2
L’ensemble des applications de E vers F se note A(E, F) ou plus fréquemment FE.
Égalité de deux application (Les applications cours 1 bac sm)
Définition 3
Deux applications ƒ, g : E → F sont égales si et seulement si pour tout x ∈ E, ƒ(x) = g(x). On note alors ƒ = g.
Image directe, image réciproque d’une partie par une application
Image directe
Définition 4
Soient E et F eux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.
Soit A une partie de E. L’image directe de la partie A par l’application ƒ. notée ƒ(A), est l’ensemble des images des éléments de A par ƒ.
ƒ(A) = {ƒ(x), x ∈ A}.
Avec des quanticateurs, cela donne :
Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ FE. Soit A ⊂ E.
(∀y ∈ F) , ∀y ∈ ƒ(A) ⇔ ∃x ∈ A/ y = ƒ(x)
Exemple 5
Soit ƒ l’application définie par :
ƒ : ℝ → ℝ
x → x2 + 2x
Montrer que : ƒ([−1, 1]) = [−1, 3].
On montre les doubles inclusions.
- ⊂) Soit y ∈ ƒ([−1, 1]) , il existe x de [−1, 1] tel que ƒ(x) = y.
On a :
ƒ(x) = x2 + 2x = (x2 + 2x + 1) − 1 = (x + 1)2 − 1
comme −1 ≤ x ≤ 1, alors : 0 ≤ x + 1 ≤ 2, donc : −1 ≤ (x + 1)2 − 1 ≤ 3.
Donc : y ∈ [−1, 3] , c’est-à-dire : ƒ([−1, 1]) ⊂ [−1, 3].
- ⊃) Soit y ∈ [−1, 3]. Résolvons l’équation ƒ(x) = y dans [−1, 1] .
Soit x ∈ [−1, 1].
ƒ(x) = y ⇔ x2 + 2x = y
⇔ (x + 1)2 = y + 1
⇔ x + 1 = √y+1 , x + 1 ≥ 0 et y + 1 ≥ 0
⇔ x = √y+1 − 1
comme y ∈ [−1, 3], alors : −1 ≤ √y+1 − 1 ≤ 1, d’où : y ∈ ƒ([−1, 1]). Ce qui signifie que : [−1, 3] ⊂ ƒ([−1, 1]).
Finalement :
ƒ([−1, 1]) = [−1, 3]
Exemple 6
On considère deux ensembles non vides E et F . Soit ƒ : E → F une application.
Soient A et B deux éléments de P(E).
Montrer que si A ⊂ B alors ƒ(A) ⊂ ƒ(B).
- Soit y ∈ ƒ(A) , il existe x ∈ A tel que y = ƒ(x).
Puisque A ⊂ B, on a x ∈ B donc ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire : y ∈ ƒ(B) . Donc :
ƒ(A) ⊂ ƒ(B)
Théorème 7
Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.
- ∀(A, B) ∈ (P(E))2 , ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)
- ∀(A, B) ∈ (P(E))2 , ƒ(A ∩ B) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)
Démonstration 8
- On procède par double inclusion.
- Soit y ∈ ƒ(A ∪ B), il existe x ∈ A ∪ B tel que y = ƒ(x).
Si x ∈ A alors y ∈ ƒ(A). Si x ∉ A, c’est alors que x ∈ B et donc y ∈ ƒ(B).
Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B).
- Soit y ∈ ƒ(A) ∪ ƒ(B). Si y ∈ ƒ(A), alors il existe x ∈ A tel que y = ƒ(x). Mais alors x ∈ A ∪ B et donc y ∈ ƒ(A ∪ B).
Si y ∉ ƒ(A), alors y est nécessairement dans ƒ(B) et il existe x ∈ B tel que y = ƒ(x). Or dans ce cas, on a aussi x ∈ A ∪ B et de fait y ∈ ƒ(A ∪ B).
Dans les deux cas, on a bien y ∈ ƒ(A ∪ B). D’où
ƒ(A ∪ B) = ƒ(A) ∪ ƒ(B)
2. Soit y ∈ ƒ(A ∩ B), alors il existe x ∈ A ∩ B tel que y = ƒ(x).
Comme x ∈ A ∩ B, alors x ∈ A ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(A), c’est-à-dire y ∈ ƒ(A).
De même x ∈ B, ce qui signifie que ƒ(x) ∈ ƒ(B), c’est-à-dire y ∈ ƒ(B).
Donc y ∈ ƒ(A) et y ∈ ƒ(B), alors y ∈ ƒ(A) ∩ƒ(B). D’où
ƒ(A ∩ B) = ƒ(A) ∩ ƒ(B)
Image réciproque
Définition 9
Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ une application de E vers F.
Soit B une partie de F. L’image réciproque de la partie B par l’application ƒ, notée ƒ−1(B), est l’ensemble des antécédentes des éléments de B par ƒ.
ƒ−1(B) = {x ∈ E/ ƒ(x) ∈ B}
Avec des quantificateurs, cela donne
Soient E et F deux ensembles non vides puis ƒ ∈ FE . Soit B ⊂ F.
(∀x ∈ E), x ∈ ƒ−1(B) ⇔ ƒ(x) ∈ B
Exemple 10
Soit ƒ l’application définie par :
ƒ : ℝ → ℝ
x → 2x/x2+1
Montrer que : ƒ−1([−1, 1]) = ℝ.
Cliquer ici pour télécharger Les applications cours 1 bac sm
Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm
Exercice 1
- Montrer que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.
- On considère l’application suivante :
ƒ : [−1, 0] → [1, 2]
x → 2√x+1 − x
a) Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ(x) = 2 − (√x+1 − 1)2.
b) Montrer que l’application ƒ est bijective et donner sa bijection réciproque ƒ−1.
Exercice 2
On considère l’application :
ƒ : ℝ → ℝ
x → 2x/x2+1
- Vérifier que : (∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
- L’application ƒ est-elle injective ? Justifier- votre réponse.
- Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ∣ƒ(x)∣ ≤ 1. L’application ƒ est-elle surjective ?
Exercice 3
- Montrer que : (∀x ∈ [0, 1]) , 0 ≤ √x/√x+√1−x ≤ 1.
- On considère l’application :
ƒ : [0, 1] → [0, 1]
x → √x/√x+√1−x
Montrer que ƒ est bijective et expliciter ƒ−1 sa bijection réciproque.
Exercice 4
Soit ƒ l’application définie de ℝ dans ℝ*+ .
ƒ(x) = 1/x2−2x+2
- Montrer que ƒ n’est pas injective.
- Montrer que : ƒ(ℝ) = ]0, 1].
- L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.
Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm
Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- Montrons que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.
Soit x ∈ [−1, 0].
1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2
⇔ x + 1 ≤ 2√x+1 ≤ x + 2
⇔ (x + 1)2 ≤ (2√x+1)2≤ (x + 2)2
⇔ (x + 1)2 − 4(x + 1) ≤ 0 et 0 ≤ (x + 2)2 − (2√x+1)2
⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x2 + 4x + 4 − 4x − 4
⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x2
Comme (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x2 pour tout x de [−1, 0] . Alors :
(∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.
2. On considère l’application suivante :
Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir
Vous pouvez aussi consulter :
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
Bonjour Professeur !
Je suis très ému de lire vos publications. Qu’Allah vous accompagne partout.
وعليكم السلام
Merci et tu es le bienvenu👋