Mathématiques financières exercices corrigés

Mathématiques financières exercices corrigés

Mathématiques financières exercices corrigés.(Sciences économiques)

Exercice 1 (les intérêts simples)

Un particulier a versé au cours de l’année 1991 sur compte d’épargne (compte sur livret) les sommes suivantes :

  • 2 500 dh le 23 avril
  • 11 000 dh le 11 juillet
  • 4 200 dh le 10 octobre
    • Calculer le montant des intérêts perçus en fin d’année. Taux 8,5% l’an.
Exercice 2 (les intérêts simples)

Une personne au choix entre les deux placements suivants :

  • Placement 1 à intérêts simples de 7%;
  • Placement 2 à intérêts simples précomptés de 6,8%.
    • Quel est le placement le plus intéressant ?
    • Pour quel taux annuel d’intérêts simples précomptés le placement 2, est-il équivalent au placement 1 ?
Exercice 3 (les intérêts composés)

Une personne effectue les placements suivants pendant 4 ans :

  • 10 000 dh à 7% ;
  • 25 000 dh à 7,5% ;
  • 55 000 dh à 9%.
  1. Calculer la valeur acquise globale.
  2. Donner le taux de rendement moyen de ces placements.
Exercice 4 (les intérêts composés)

Une personne peut placer une somme d’argent suivant deux modalités de placement pendant (n) années.

Modalités A : 7,5% par an à intérêts composés

Modalités B : 9,3 % par an à intérêts simples

  1. Que doit-il choisir si n = 6 ?
  2. Que doit-il choisir si n = 7 ?
  3. Quelle est approximativement, la valeur de (n), pour laquelle les deux modalités sont équivalentes ?
Exercice 5 (les emprunts indivis)

On dispose de quelques éléments du tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par le versement d’annuités constantes la 1ère étant payable un an après la date du contrat :

PériodeCDPIAmortAnnuité
1………………72 000…………..106 190,50
2…………………………..…………..………………
3…………………………..42 888,56………………
…………………………..…………..………………
  1. Déterminer le taux d’intérêt.
  2. Calculer le nominale de l’emprunt
  3. Quelle est la durée de l’emprunt ?
Exercice 6 (les emprunts indivis)

Une personne emprunte le 01/10/95 la somme de 320 000 dh et s’engage à verser pendant 10 ans les intérêts de la dette. Le capital emprunté est remboursé en bloc à la fin de la 10éme année. Taux : 12% l’an. Par ailleurs, et dans le but de préparer l’échéance de ce paiement l’emprunteur convient avec un organisme de capitalisation d’effectuer des versements constants. Date du 1 ér versement 01/10/96. Date du dernier versement : 01/10/2004. Taux : 9% l’an.

  1. Calculer l’annuité de placement.
  2. Combien l’emprunteur perd-il en capital, par rapport au système d’amortissement par annuités constantes ?
Exercice 7 (les emprunts obligataires)

Pour le remboursement d’un emprunt la société émettrice s’engage à racheter les nombres d’obligations suivants :

  • 3595 à la fin de la 1ère année
  • 3999 à la fin de la 2ème année
  • 4450 à la fin de la 3ème année

Le taux de l’emprunt est alors T% l’an (T étant entier)

A la fin de la 1ère année l’amortissement s’élève à 16 177 500 dh, le remboursement à 17 256 000 dh et enfin l’annuité effective à 29 406 000 dh.

  1. Quel est le système d’amortissement qui est adopté ici ?
  2. Déterminer le taux T et le nominale de la dette.
  3. Calculer la durée de l’emprunt.
Exercice 8 (les emprunts obligataires)

Un emprunt de 41 250 000 dh est divisé une 15 000 obligation Taux : 12% l’an. Durée de l’emprunt : 5 ans. Valeur de remboursement de l’obligation : 3 000 dh. Déterminer le taux réel de l’emprunt dans chacune des situations suivantes :

  • Amortissements constants
  • Anuités constantes (intérêts + remboursement constants).
Exercice 9 (la rentabilité des investissements)

Une entreprise envisage l’achat d’un équipement pour accroitre sa production. Elle hésite entre deux propositions :

  • L’investissement A, coûtant 900 000 dh devrait être utilisé pendant 5 ans. Cet investissement permettrait de réaliser des recettes supplémentaires de 1 440 000 dh par an pendant 5 ans. Les charges relatives à cet investissement sont estimées, à 1 200 000 dh par an.
  • L’investissement B, acheté 960 000 dh augmentait le chiffre d’affaire annuel de 1 920 000 dh les 2 premières années, puis 1 200 000 dh les 3 années suivantes. Les charges relatives à cet investissement sont estimées à 1 440 000 dh les 2 premières années, puis 1 020 000 dh les années suivantes.
  • Les charges comprennent l’amortissement du matériel (180 000 dh par an pour l’investissement A et 192 000 dh par an pour l’investissement B). L’entreprise est soumises à l’impôt sur les sociétés de 36% et utilise habituellement un taux d’actualisation de 12%. Les deux types de matériels ont des valeurs résiduelles nulles.
    1. Calculer les valeurs actuelles nettes pour chaque investissement. Quel investissement doit-on choisir ?
    2. Déterminer les délais de récupération.
    3. Déterminer les taux internes de rentabilité pour les deux types d’investissement.
Exercice 10 (les annuités)

Soit une suite de 12 annuités constantes, dont la valeur est égale à :

  • 159 448,39 dh deux ans avant le premier versement
  • 622 059,49 dh deux ans après le dernier versement
  1. Calculer la valeur de cette suite un an avant le premier versement
  2. Calculer l’annuité.
  3. Remplacer la suite par un versement unique de 300 000 dh.
Exercice 11 (les annuités)

Une personne s’engage à verser auprès d’un organisme de capitalisation, 8 annuités constantes de montant a chacune. La valeur acquise un an après le dernier versement est de 350 000 dh. Taux : 9%.

  • Calculer a
  • Sachant qu’en cas de remboursement anticipé le taux est ramené à 8% (soit une pénalité d’un point) calculé le capital disponible 5 mois après le 4ème versement.

Donner un autre mode de pénalisation (à l’occasion, le taux peut augmenter ou diminuer d’un point suivant le sens qui pénalise le client).

Exercice 12 (les annuités)

Calculer la valeur actuelle un an avant le premier versement et la valeur acquise un an après le dernier versement, d’une suite de 12 annuités en augmentation de 5% par an le première étant de 35 000 dh. Taux : 10,5% l’an.

Exercice 13

Un particulier doit régler trois dettes :

  • 20 000 dh dans un an ;
  • 25 000 dh dans 3 ans ;
  • 30 000 dh dans 4 ans ;

Le taux d’intérêt est de 10,5%.

  1. Ce particulier peut-il se libérer par un seul paiement de 75 500 dh? De 75 000 dh ? de 74 500 dh ? A quelle époque aurait lieu chacun de ces paiements ?
  2. Si le particulier désirerait se libérer au moyen de deux versements A et B, le premier étant égal au triple su second et payables respectivement dans 4 ans et 5 ans, quelles sommes débourserait-il ?
Exercice 14

Le 5 mars 1994 vous achetez un fonds de commerce pour 300 000 dh et le vendeur vous demande de régler en 3 versements :

  • 50 000 dh immédiatement,
  • 160 000 dh dans 90 jours et le reste dans 6 mois.
  1. Cependant, vous préféreriez payer le montant globale en une seule fois. A quelle date devriez-vous régler les 300 000 dh pour que votre proposition et la sienne soit équivalentes ?
  2. Vous préférez payer en 3 versements égaux de 100 000 dh. Quelle sera l’échéance du 3ème effet, si le 1er est payable immédiatement et le second dans 2 mois.

Les calculs sont faits à un taux d’escompte 13%.

Exercice 15

Un individu détient de son client 2 lettres de change 20 000 dh payable le 15 juillet et 50 000 dh à échéance le 3 août.

Le 15 mai, le créancier, lui propose le paiement suivant 4 versements égaux de 18 000 dh chacun le premier ayant lieu le 22 juin, le 2ème le 15 septembre, le 3ème le 22 octobre.

Quelle serait l’échéance du 4ème versement pour que les 2 modes de paiements soient équivalents, sachant que le taux d’escompte est de 12%

Correction de l’exercice 1 (Mathématiques financières exercices corrigés)

L’unité de temps étant la quinzaine civile entière l’intérêt I est :

Exercices corrigés sur les intérêts simples pdf
Exercices corrigés sur les intérêts simples pdf
Correction de l’exercice 2 (Mathématiques financières exercices corrigés)
  1. Le placement 2 correspond à un taux effectif (ie) sur un an tel que :
Exercices corrigés sur les intérêts simples pdf

soit  7,296%

On choisit donc le placement 2 car le taux d’intérêt correspondant est supérieur à celui du placement 1

2. Si (i) est le taux d’intérêt simple précompté du placement 2. Il faut que le taux effectif correspondant soit égal à 7% d’où :

  Exercices corrigés sur les intérêts simples pdf         donc    Exercices corrigés sur les intérêts simples pdf

i = 0,07(1 − i)

i = 0,07 − 0,07i

Exercices corrigés sur les intérêts simples pdf

i = 0,06542        donc    t = 6,542%

Correction de l’exercice 3 (Mathématiques financières exercices corrigés)
  1. La valeur acquise globale est :

10 000(1,07)4 = 13 107,96 dh

25 000(1,075)4 = 33 386,73 dh

55 000(1,075)4 = 77 636,99 dh

124 131,68 dh

Si iR est le taux de rendement moyen, l’égalité s’écrit :

124 131,68 = (10 000 + 25 000 + 55 000)(1 + iR)4

Ce qui donne :

(1 + iR)4 = 1,37924

iR = 1, 379240,25 − 1

iR = 0,0837 soit un taux annuel de 8,37%

Correction de l’exercice 4 (Mathématiques financières exercices corrigés)

Soit C0 le capital placé

  1. Si n = 6 ans

→ La modalité A : C0(1,075)6 = 1,54333C0

→ La modalité B : \inline \fn_jvn \textrm{C0}~+\frac{\textrm{C}\times 9,3\times 6}{100} = 1,5580C0

On choisit la modalité B

2. n = 7 ans

→ La modalité A : C0(1,075)7 = 1,6590C0

→ La modalité B : \inline \fn_jvn \textrm{C0}~+\frac{\textrm{C0}\times 9,3\times 7}{100} = 1,651C0

On choisit la modalité A

3. On sait que l’équivalence se situe entre 6 et 7 ans. Pour qu’il y ait équivalence il faut que l’égalité suivante soit vérifiée :

\inline \fn_jvn C_{0}(1,075)^{n}=C_{0}+\frac{\left [ C_{0}\times 9,3\times n \right ]}{100}

C0(1,075)n = C0 [1 + 0,093n]

(1,075)n = 1 + 0,093n

Ce qui nous donne :

(1,075)n − 1 − 0,093n = 0

On sait que 6 < n < 7

On utilise l’interpolation linéaire

Exercices corrigés sur les intérêts composés
\inline \fn_jvn \frac{n-6}{7-6}=\frac{0+0,0146985}{0,0080491+0,0146985}=0,646156

Donc n = 6,646156 années

Soit 6 ans 7 mois 23 jours

Correction de l’exercice 5 (Mathématiques financières exercices corrigés)

a. Le premier amortissement se calcule aisément :

M1 = 106 190,50 − 72 000 = 34 190,50 dh

Or : M3 = M1(1 + i)2

D’où :  \inline (\mathbf{1 + i})^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{M_{3}}}{\mathbf{M_{1}}}

Ce qui donne :  \inline \mathbf{i=}(\frac{\mathbf{M_{3}}}{\mathbf{M_{1}}})^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathbf{-1=0,12}

Soit 12 % l’an.

b.  \inline \mathbf{C=}\frac{\mathbf{72~000}}{\mathbf{0,12}}\mathbf{=600~000~dh}

c.  \inline \mathbf{a=C}\frac{\mathbf{i}}{\mathbf{1-(1+i)^{-n}}}          \inline \mathbf{M_{1}=C}\frac{\mathbf{i}}{(\mathbf{1+i)^{n}-1}}

D’où \inline \frac{\mathbf{M_{1}}}{\mathbf{a}}\mathbf{=(1+i)^{-n}}\mathbf{=3,105~848}

Par logarithme on trouve  n = 10

Correction de l’exercice 6 (Mathématiques financières exercices corrigés)

a. Ici on a 9 annuités de placement, le capital de 320 000 dh doit être constitué un an après le dernier versement : 

\inline \mathbf{320~000=a}\frac{\mathbf{1,09^{9}-1}}{\mathbf{0,09}}\times \mathbf{1,09}\Rightarrow \mathbf{a=22~546,44~dh}

b. L’emprunteur verse :

  • 38 400 dh (320 000 × 0,12) pendant 10 ans à l’organisme de crédit;
  • et 22 546,44 dh pendant 9 ans à l’organisme de capitalisation.

En actualisant ces versements au taux de 12% on obtient :

\inline \mathbf{\mathbf{}A_{0}=(38~400+22~546,44)}\frac{\mathbf{1-1,12^{-9}}}{\mathbf{0,12}}\mathbf{+38~400}\times \mathbf{1,12^{-10}}
\inline \mathbf{A_{0}=337~101,63~dh}

C’est le montant du crédit qui correspond aux engagements de l’emprunteur. Nous avons donc une différence de 17 101,63 dh. il s’agit ici de montrer à tel point le système américain pénalise l’emprunteur.

Correction de l’exercice 7 (Mathématiques financières exercices corrigés)
  1. Ici les nombres d’obligations amorties ne sont pas constants. Ils ne sont pas non plus en progression arithmétique ; en effet :

m2 − m1 = 404 et m3 − m2 = 451

L’écart est trop grand.

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

Ainsi            \inline \frac{\mathbf{m_{2}}}{\mathbf{m_{1}}}~~~~\neq ~~~~\frac{\mathbf{m_{3}}}{\mathbf{m_{2}}}

Les nombres d’obligations amorties semblent être en progression géométrique (on retiendra comme raison q = 1,1125). Le système adopté ici est celui de l’amortissement par annuités constantes.

2. Ici on a :

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires
Exercices corrigés sur les emprunts obligataires
Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

Soit 12%

L’intérêt de la première année s’écrit :

I1 = a1 − m1R = 29 406 000 − 17 256 000

I1 = 12 150 000 dh

D’où

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

3. Le nombre total d’obligation est égal à :

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

On sait que  \inline \mathbf{m_{1}=N}\frac{\mathbf{{i}'}}{\mathbf{(1+{i}')^{n}-1}}

Ce qui donne  1,1125n = 1,7041

Par logarithmes, on trouve n = 5

Correction de l’exercice 8 (Mathématiques financières exercices corrigés)

Comme le remboursement se fait à une valeur (3 000 dh par obligation) supérieure à la valeur nominale (2 750 dh par obligation), l’emprunt va revenir à la société plus cher qu’il ne devrait l’être. Le taux réel sera donc supérieur à 12%. Le taux réel de l’emprunt est celui qui égalise le capital perçu par la société et les engagements actualisés de celui-ci. Il est important donc de calculer les annuités de remboursement.

a. Amortissements constants :

Le tableau d’amortissement se présente comme suit (en milliers de dh) :

PériodeCDPINOAAMORTREMBANNUCFP
141 2504 9503 0008 2509 00013 95033 000
233 0003 9603 0008 2509 00012 96024 750
324 7502 9703 0008 2509 00011 97016 500
416 5001 9803 0008 2509 00010 9808 250
58 2509903 0008 2509 0009 9900

À  la date 0 on a :

13 950(1 + t)−1 + 12 960(1 + t)−2 + 11 970(1 + t)−3 + 10 980(1 + t)−4 + 9 900(1 + t)−5 = 41 250

Par tâtonnement puis par interpolation linéaire, on trouve : t = 0,1478 soit 14,78%

b. Annuités constants :

Le tableau d’amortissement devient : (en milliers de dh)

PériodeCDPINOAAMORTREMBANNUCFP
141 2504 9502 4096 6257 22712 17734 625
234 6254 1552 6737 3518 01912 17427 275
327 2753 2732 9688 1628 90412 17719 113
419 1132 2943 2949 0599 88212 17610 054
510 0541 2063 65610 0541098612 1740

À  la date 0 on a :

12 177(1 + t)−1 + 12 174(1 + t)−2 + 12 177(1 + t)−3 + 12 176(1 + t)−4 + 12 174(1 + t)−5 = 41 250

On trouve : t = 0,1455 soit t = 14,55%

Remarque : ce taux est légèrement inférieur au précédent, cela tient au fait que les annuités sont, ici, moins fortes les premières années, par rapport au cas précédent. On démontre aisément que l’annuité effective est sensiblement égale à :

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

Ici on a          \mathbf{a=15~000}\times \mathbf{3~000}\frac{\mathbf{0,11}}{\mathbf{1-1,11^{-5}}}

a = 12 175 663,93 dh

À  la date 0 on a : 

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

D’où :        \frac{\mathbf{1-(1+t)^{-5}}}{\mathbf{t}}\mathbf{=3,3879056}

Ce qui donne : t = 0,1455                   soit : 14,55%

Correction de l’exercice 9

a. Investissement A

Le tableau ci-dessous donne les flux nets de trésorerie

Année12345
Recette
− Charges
1 440 000
1 200 000
1 440 000
1 200 000
1 440 000
1 200 000
1 440 000
1 200 000
1 440 000
1 200 000
= Résultat avant impôts
− IS à 36%
240 000
86 400
240 000
86 400
240 000
86 400
240 000
86 400
240 000
86 400
= Résultat après impôts
+ Amortissements
153 600
180 000
153 600
180 000
153 600
180 000
153 600
180 000
153 600
180 000
FNT333 600333 600333 600333 600333 600

Le VAN de ce projet est donc égale à :

La rentabilité des investissements exercices corrigés

Investissement B

Année12345
Recette
− Charges
1 920 000
1 440 000
1 920 000
1 440 000
1 200 000
1 020 000
1 200 000
1 020 000
1 200 000
1 020 000
= Résultat avant impôts
− IS à 36%
480 000
172 800
480 000
172 800
180 000
64 800
180 000
64 800
180 000
64 800
= Résultat après impôts
+ Amortissements
307 200
192 000
307 200
192 000
115 200
192 000
115 200
192 000
115 200
192 000
FNT499 200499 200307 200307 200307 200
L’attribut alt de cette image est vide, son nom de fichier est inve-exercice-3-pic-3-300x81.png.

Calculons maintenant la VAN 

La rentabilité des investissements exercices corrigés

= 471 877,04 dh

On ne peut pas conclure, car les montants des deux investissements sont différentes. Calculons les indices de profitabilité :

La rentabilité des investissements exercices corrigés
La rentabilité des investissements exercices corrigés
La rentabilité des investissements exercices corrigés

Conclusion : choisir l’investissement B.

D’où DRA est compris entre 3 et 4 ans

L’attribut alt de cette image est vide, son nom de fichier est a3.png.
\inline \mathbf{DR_{A}=3+}\frac{\mathbf{900~000-801~250,91}}{\mathbf{1~013~259,74-801~250,91}}\mathbf{=3,465778~annees}

Soit 3 ans 5 mois et 18 jours.

De la même manière et par interpolation linéaire, on trouve :

DRB = 2 ans 6 mois et 12 jours

Conclusion : choisir l’investissement B.

Remarque : On remarque là aussi, l’inconvénient du délai de récupération. En plus du choix arbitraire du taux d’actualisation qui ne prend pas en compte les flux de trésorerie après le délai recherché.

c. Investissement A

Recherche du TIR : si r est ce taux, alors :

\inline \mathbf{333~600}\frac{\mathbf{1-(1+r)^{-5}}}{\mathbf{r}}\mathbf{=900~000}

Le taux recherché est donc supérieur au taux d’actualisation de 12%

L’attribut alt de cette image est vide, son nom de fichier est a4.png.

Donc 24 < TIR < 25 et on trouve par interpolation linéaire TIR = 24,85%

Investissement B

Si r est le TIR recherché, alors :

\inline \mathbf{499~200}\frac{\mathbf{1-(1+r)^{-2}}}{\mathbf{r}}\mathbf{+307~200}\frac{\mathbf{1-(1+r)^{-3}}}{\mathbf{r}}\mathbf{(1+r)^{-2}=960~000}

Le taux recherché est supérieur à 12%

L’attribut alt de cette image est vide, son nom de fichier est a5.png.

Donc 30 < TIR < 34 et on trouve par interpolation linéaire TIR = 33,05%

Conclusion : choisir toujours l’investissement B

Correction de l’exercice 10

Correction de l’exercice 11

a.       \inline \mathbf{350~000=a}\frac{\mathbf{1,09^{8}-1}}{\mathbf{0,09}}\times \mathbf{1,09 ~~\Rightarrow a=29~115,63~dh }

b. Le capital  disponible 5 mois après le dernier versement s’écrit :

\inline \mathbf{A}_{\mathbf{4+}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}}\mathbf{=29~115,63}\frac{\mathbf{1,08^{4}-1}}{\mathbf{0,08}}\times \mathbf{1,08}^{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}}\mathbf{=135~473,60~dh}

Autre méthode pour pénaliser le client : on actualise à la date 4 + 5/12

  • Les 350 000 dh à 10% (intérêts débiteurs pour le client)
  • Les 4 versements non échus à 8% (intérêts créditeurs pour le client).

On obtient :

\inline \mathbf{A_{4+5/12}=350~000}\times \mathbf{1,1}^{\mathbf{-(4+}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{12}})}\mathbf{-29~115,63}\frac{\mathbf{1-1,08}^{\mathbf{-4}}}{\mathbf{0,08}}\mathbf{(1+}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}\times \mathbf{0,08)}

A4+5/12 = 126 477,42 dh

Correction de l’exercice 12

Correction de l’exercice 13

1)

Équivalence à intérêts composés correction des exercices

Le particulier peut se libérer par un seul paiement à condition qu’il y ait équivalence entre le paiement unique et la somme des trois dettes. Calculons d’abord la somme des valeurs actuelles de l’ensemble des dettes à l’époque 0. Ce qui donne :

20 000(1,105)−1 + 25 000(1,105)−3 + 30 000(1,105)−4 = 55 869, 25 dh

Si n → l’échéance du paiement de 75 500 dh ;

Si n1→ l’échéance du paiement de 75 000 dh ;

Si n2→ l’échéance du paiement de 74 500 dh ;

A l’époque 0, nous pouvons écrire :

→ 55 869,25 = 75 500(1,105)−n

→ 55 869,25 = 75 000(1,105)−n1

→ 55 869,25 = 74 500(1,105)−n2

Prenons le premier paiement et calculons n

55 869,25 = 75 500(1,105)−n

(1,105)−n = 55 869,25/75 500 = 0,739990

\inline \fn_jvn \textup{n=}-\frac{\textup{log0,739990}}{\textup{log(1,105)}}

 

n = 3,015850 années

Le paiement de 75 500 est à prévoir dans 3 ans 6 jours

Par un calcul analogue on trouve :

n1 = 2,949301 soit 2 ans 11 mois 12 jours

n2 = 2,882307 soit 2 ans 10 mois 18 jours

Donc les paiements sont possibles :

  • 75 500 dh dans 3 ans 6 jours ;
  • 75 000 dh dans 2 ans 11 mois 12 jours
  • 74 500 dh dans 2 ans 10 mois 18 jours.

2. 

A l’époque 0, on peut écrire :

55 869,25 = A(1,105)−3 + 3A(1,105)−5

A = 55869,25/2,5621617 = 21 805,51 dh

Et B = 3A = 65 416,53

Vérification :

21 805,51(1,105)−3 + 65 416,53(1,105)−5 = 55 869,25

Correction de l’exercice 14

Correction de l’exercice 15

 

 

 

 

Vous pouvez aussi consulter :

 

Ayoub Matioui

Economiste de formation et professeur d'économie ; avec l'aide de mon équipe, nous aidons les étudiants et élèves en difficulté concernant la compréhension des cours entretenus en classes. Aussi, nous mettons en place une stratégie d'orientation pour les étudiants souhaitant développer leurs connaissances acquises et voulant se projeter dans le monde de la communication et de l'information.

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