La rentabilité des investissements exercices corrigés

La rentabilité des investissements exercices corrigés. Série d’exercices sur les mathématiques financières et précisément sur le chapitre de la rentabilité des investissements (Économie université – TD)

Exercice 1

Un investissement de 3 500 000 dh permet des gains nets estimés :

1 000 000 dh à la fin de la 1^ère année.
1 100 000 dh à la fin de la 2^ème année.
1 300 000 dh à la fin de la 3^ème année.
1 500 000 dh à la fin de la 4^ème année.

La valeur résiduelle est estimée à 700 000 dh à la fin de la période d’utilisation

Calculer la valeur actuelle des gains nets et la valeur résiduelle au taux de 18,75% par an, puis à 19% par an.

2. Calculer alors le taux interne de rentabilité de l’investissement considéré.

Exercice 2

Un investissement de 450 000 dh doit procurer des gains nets estimés à :

120 000 dh à la fin de la 1^ère année.
130 000 dh à la fin de la 2^ème année.
135 000 dh à la fin de la 3^ème année.
125 000 dh à la fin de la 4^ème année.
110 000 dh à la fin de la 5^ème année.

La valeur résiduelle est estimée à 90 000 dh

Déterminer le TIR de cet investissement sachant qu’il voisin de 16%.

Exercice 3

Une entreprise envisage l’achat d’un équipement pour accroitre sa production. Elle hésite entre deux propositions :

L’investissement A, coûtant 900 000 dh devrait être utilisé pendant 5 ans. Cet investissement permettrait de réaliser des recettes supplémentaires de 1 440 000 dh par an pendant 5 ans. Les charges relatives à cet investissement sont estimées, à 1 200 000 dh par an.
L’investissement B, acheté 960 000 dh augmentait le chiffre d’affaire annuel de 1 920 000 dh les 2 premières années, puis 1 200 000 dh les 3 années suivantes. Les charges relatives à cet investissement sont estimées à 1 440 000 dh les 2 premières années, puis 1 020 000 dh les années suivantes.
Les charges comprennent l’amortissement du matériel (180 000 dh par an pour l’investissement A et 192 000 dh par an pour l’investissement B). L’entreprise est soumise à l’impôt sur les sociétés de 36% et utilise habituellement un taux d’actualisation de 12%. Les deux types de matériels ont des valeurs résiduelles nulles.
1. Calculer les valeurs actuelles nettes pour chaque investissement. Quel investissement doit-on choisir ?
2. Déterminer les délais de récupération.
3. Déterminer les taux internes de rentabilité pour les deux types d’investissement.

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Correction de l’exercice 1 : (La rentabilité des investissements exercices corrigés)

a. Calculons les deux valeurs actuelles (VA) :

à 18,75% ⇒ VA

= 1 000 000(1,1875)⁻¹ + 1 100 000(1,1875)⁻² + 1 300 000(1,1875)⁻³ + 1 500 000(1,1875)⁻⁴ + 700 000(1,1875)⁻⁴

= 3 504 822,71 dh

à 19% ⇒ VA

= 1 000 000(1,19)⁻¹ + 1 100 000(1,19)⁻² + 1 300 000(1,19)⁻³ + 1 500 000(1,19)⁻⁴ + 700 000(1,19)⁻⁴ = 3 485 629,25 dh

b. Calculons les VAN de cet investissement :

Pour 18,75% ⇒ VAN = − 3 500 000 + 3 504 822,71 = + 4 822,74 dh

Pour 19% ⇒ VAN = − 3 500 000 + 3 485 629,25 = − 14 370,25 dh

Le TIR est tel que :

La rentabilité des investissements exercices corrigés

$\textbf{TIR}~=~\textbf{18,75}+\textbf{0,25}\frac{\textbf{0}-\textbf{4~822,71}}{-\textbf{14~370,25}-\textbf{4~822,71}}$

TIR = 18,81%

Correction de l’exercice 2 :

Calculons la VAN à 16%

VAN = −450 000 + 120 000(1,16)⁻¹ + 130 000(1,16)⁻² + 135 000(1,16)⁻³ + 125 000(1,16)⁻⁴ + 110 000(1,16)⁻⁵ + 90 000(1,16)⁻⁵ = 807,23dh

On sait que le TIR annule la VAN, et que pour tout valeur supérieure au TIR, la VAN est négative.

Puisque à 16% : la VAN = 807,23 dh. Essayons à un taux supérieur, 16,25% par exemple. Pour encadrer le TIR d’où :

$\textbf{TIR}~=~\textbf{16}+\textbf{0,25}\frac{\textbf{0}-\textbf{807,23}}{-\textbf{1~998,57}-\textbf{807,23}}$

TIR = 16,07%

Correction de l’exercice 3 :

a. Investissement A

Le tableau ci-dessous donne les flux nets de trésorerie

Année	1	2	3	4	5
Recette − Charges	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000	1 440 000 1 200 000
= Résultat avant impôts − IS à 36%	240 000 86 400	240 000 86 400	240 000 86 400	240 000 86 400	240 000 86 400
= Résultat après impôts + Amortissements	153 600 180 000	153 600 180 000	153 600 180 000	153 600 180 000	153 600 180 000
FNT	333 600	333 600	333 600	333 600	333 600

Le VAN de ce projet est donc égale à :

$\textbf{VAN}~=~-\textbf{900~000}+\textbf{333~600}\frac{\textbf{1}-(\textbf{1,12})^{-\textbf{5}}}{\textbf{0,12}}=~\textbf{305~553,34~dh}$

Investissement B

Année	1	2	3	4	5
Recette − Charges	1 920 000 1 440 000	1 920 000 1 440 000	1 200 000 1 020 000	1 200 000 1 020 000	1 200 000 1 020 000
= Résultat avant impôts − IS à 36%	480 000 172 800	480 000 172 800	180 000 64 800	180 000 64 800	180 000 64 800
= Résultat après impôts + Amortissements	307 200 192 000	307 200 192 000	115 200 192 000	115 200 192 000	115 200 192 000
FNT	499 200	499 200	307 200	307 200	307 200

Calculons maintenant la VAN

$\textbf{VAN}~=~-\textbf{960~000}+\textbf{499~200}\frac{\textbf{1}-(\textbf{1,12})^{-\textbf{2}}}{\textbf{0,12}}+\textbf{307~200}\frac{\textbf{1}-(\textbf{1,12})^{-\textbf{3}}}{\textbf{0,12}}(\textbf{1,12})^{-\textbf{2}}$

= 471 877,04 dh

On ne peut pas conclure, car les montants des deux investissements sont différentes. Calculons les indices de profitabilité :

$\textbf{IP}~=~\sum_{\textbf{k=1}}^{\textbf{n}}\textbf{FNT}\frac{\textbf{actualises}}{\textbf{I}}$

$(\textbf{IP})_{\textbf{A}}=\frac{\textbf{1~202~553,34}}{\textbf{900~000}}~=~\textbf{1,336}$

$(\textbf{IP})_{\textbf{B}}=\frac{\textbf{1~431~877,04}}{\textbf{960~000}}~=~\textbf{1,491}$

Conclusion : choisir l’investissement B.

D’où DR_A est compris entre 3 et 4 ans

$\textbf{DR}_{\textbf{A}}=~\textbf{3}+\frac{\textbf{900~000}-\textbf{801~250,91}}{\textbf{1~013~259,74}-\textbf{801~250,91}}~=~\textbf{3,465778~annees}$

Soit 3 ans 5 mois et 18 jours.

De la même manière et par interpolation linéaire, on trouve :

DR_B = 2 ans 6 mois et 12 jours

Conclusion : choisir l’investissement B.

Remarque : On remarque là aussi, l’inconvénient du délai de récupération. En plus du choix arbitraire du taux d’actualisation qui ne prend pas en compte les flux de trésorerie après le délai recherché.

c. Investissement A

Recherche du TIR : si r est ce taux, alors :

$\textbf{333~600}\frac{\textbf{1}-(\textbf{1+r})^{-\textbf{5}}}{\textbf{r}}=~\textbf{900~000}$

Le taux recherché est donc supérieur au taux d’actualisation de 12%

Donc 24 < TIR < 25 et on trouve par interpolation linéaire TIR = 24,85%

Investissement B

Si r est le TIR recherché, alors :

$\textbf{499~200}\frac{\textbf{1}-(\textbf{1}+\textbf{r})^{-\textbf{2}}}{\textbf{r}}+\textbf{307~200}\frac{\textbf{1}-(\textbf{1}+\textbf{r})^{-\textbf{3}}}{\textbf{r}}(\textbf{1}+\textbf{r})^{-\textbf{2}}~=~\textbf{960~000}$