Exercices corrigés sur les emprunts indivis

Exercices corrigés sur les emprunts indivis. Série d’exercices sur les mathématiques financières, chapitre des emprunts indivis.

Exercice 1 : (Exercices corrigés sur les emprunts indivis)

Un particulier emprunte une somme de 180 000 dh et s’engage à verser, pendant 4 ans, à la fin de chaque année de l’emprunt l’intérêt de la dette. Sachant que l’amortissement se fait en deux temps, une moitié à la fin de la 2^ème année et l’autre moitié à la fin de la 4^ème année, construire le tableaux d’amortissement de cet emprunt. Taux : 11% l’an.

Exercice 2 : Un emprunt de 215 000 dh est remboursable en 5 annuités la 1^ère étant payable un an après la dette du contrat. Sachant que l’amortissement augmente chaque année de 10 000 dh, construire le tableau d’amortissement de l’emprunt considéré, Taux : 10,5% l’an.

Exercice 3 : Un industriel a contracté auprès d’une banque un emprunt de 450 000 dh au taux de 13,5% l’an. Cet emprunt est remboursable en 6 annuités, la 1^ère étant payable un an après la date su contrat.

a. Construire la 3^ème ligne du tableau d’amortissement

b. Déterminer la dette qui reste à payer :

Juste après le paiement de la 4ème annuité.
3 mois après le paiement de la 3ème annuité.

Exercice 4 : Un emprunt de 420 000 dh est remboursable en 5 annuités constantes immédiates. Taux : 11% l’an. TVA 7% sur les intérêts. Construire le tableau d’amortissement de cet emprunt.

a. Amortissements constants.

b . Annuités constantes.

Exercice 5 : On dispose de quelques éléments du tableau d’amortissement d’un emprunt remboursable par le versement d’annuités constantes la 1ère étant payable un an après la date du contrat :

Période	CDP	I	Amort	Annuité
1	………………	72 000	…………..	106 190,50
2	………………	…………..	…………..	………………
3	………………	…………..	42 888,56	………………
…	………………	…………..	…………..	………………

Déterminer le taux d’intérêt.
Calculer le nominale de l’emprunt
Quelle est la durée de l’emprunt ?

Exercice 6 : Une personne emprunte le 01/10/95 la somme de 320 000 dh et s’engage à verser pendant 10 ans les intérêts de la dette. Le capital emprunté est remboursé en bloc à la fin de la 10^éme année. Taux : 12% l’an. Par ailleurs, et dans le but de préparer l’échéance de ce paiement l’emprunteur convient avec un organisme de capitalisation d’effectuer des versements constants. Date du 1 ér versement 01/10/96. Date du dernier versement : 01/10/2004. Taux : 9% l’an.

Calculer l’annuité de placement.
Combien l’emprunteur perd-il en capital, par rapport au système d’amortissement par annuités constantes ?

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Correction de l’exercice 1 :

Les deux premières années l’emprunteur versera à la fin de chaque année 19 800 dh au titre d’intérêts (180 000 × 0,11 = 19 800). Pour les deux dernières années l’intérêt annuel n’est plus que de 9 900 dh. En effet, juste après le versement du 2ème terme, la dette initiale est réduite de moitié. D’où le tableau d’amortissement :

Exercices corrigés sur les emprunts indivis

Correction de l’exercice 2 :

il convient d’abord de calculer le 1^er amortissement :

Soit x ce 1^er amortissement : M₁ = x

On sait que : $\sum_{\textbf{P=1}}^{\textbf{5}}\textbf{M}_{\textbf{P}}\textbf{~=~215~000}$

Ou encore : x + (x + 10 000) + (x + 20 000) + … + (x + 40 000) = 215 000

Ce qui donne : 5x + 100 000 = 215 000

d’où : x = 23 000

Remarque ici on peut utiliser la formule donnant la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique de premier terme U₁ et de raison r :

avec S₅ = 215 000 et r = 10 000 on trouve : U₁ = 23 000

Le tableau d’amortissement se présente comme suit :

Période	CDP	I	AMORT	ANN	CFP
1	215 000,00	22 575,00	23 000,00	45 575,00	192 000,00
2	192 000,00	20 160,00	33 000,00	53 160,00	159 000,00
3	159 000,00	16 695,00	43 000,00	56 695,00	116 000,00
4	116 000,00	12 180,00	53 000,00	65 180,00	63 000,00
5	63 000,00	6 615,00	63 000,00	69 615,00	0

Correction de l’exercice 3 :

a. On calcule d’abord l’annuité :

$\textbf{a~=~450~000}\frac{\textbf{0,135}}{\textbf{1-1,135}^{\textbf{-6}}}\textbf{~=~114~140,64~dh}$

Le 3^ème amortissement s’écrit :

$\textbf{M}_{\textbf{3}}~=~\textbf{M}_{\textbf{1}}(\textbf{1+i})^{\textbf{2}}~=~\textbf{450~000}-\frac{\textbf{0,135}}{\textbf{1,135}^{\textbf{6}}\textbf{-1}}\times \textbf{1,135}^{\textbf{2}}$

Par soustraction on obtient l’intérêt :

I₃ = a − M₃ = 45 361,48 dh

En divisant par le taux d’intérêt on obtient le capital en début de période : DV₂ = 336 010,98 dh

D’où la 3^ème ligne du tableau d’amortissement.

Période	CDP	I	Amort	Annuité	CFP
3	336 010,98	45 361,48	68 779,16	114 140,64	267 231,82

Remarque : là également on peut procéder autrement. En effet, on peut, comme dans l’exercice précédent par calculer, avec l’annuité, le capital en début de période.

b. On calcule DV₄ à partir de l’une des trois formules du cours, par exemple :

$\textbf{DV}_{\textbf{4}}~=~\textbf{450~000}\frac{\textbf{1,135}^{\textbf{6}}-\textbf{1,135}^{4}}{\textbf{1,135}^{\textbf{6}}-\textbf{1}}~=~\textbf{189~167,47~dh}$

Dans le tableau précédant on lit :

$\textbf{DV}_{\textbf{3}}~=~\textbf{267~231,82~dh}$

Pour se situer trois mois après le paiement de la 3^ème annuité on choisit entre la solution rationnelle et la solution commerciale

$\textbf{SR~=~267~231,82}(\textbf{1}+\frac{\textbf{3}}{\textbf{12}}\times \textbf{0,135})~=~\textbf{276~250,89~dh}$

$\textbf{SC~=~267~231,82}\times \textbf{1,135}^{\frac{\textbf{3}}{\textbf{12}}}~=~\textbf{275~827,23~dh}$

Correction de l’exercice 4 :

a. On calcule d’abord le taux d’intérêt TTC :

i = 0,11 × 1,07 = 0,1177% soit 11,77% l’an.

L’annuité s’écrit : $\textbf{a~=~420~000}\frac{\textbf{0,1177}}{\textbf{1-1,1177}^{\textbf{-5}}}~=~\textbf{115~848,95~dh}$

Ce qui permet de construire le tableau d’amortissement :

Période	CDP	I	TVA	AMORT	ANN	CFP
1	420 000,00	46 200,00	3 234,00	66 414,95	115 848,95	353 585,05
2	353 585,05	38 894,36	2 722,60	74 231,99	115 848,95	279 353,06
3	279 353,06	30 728,84	2 151,02	82 969,09	115 848,95	196 383,97
4	196 383,97	21 602,24	1 512,16	92 734,56	115 848,95	103 649,41
5	103 649,41	11 401,44	798,10	103 649,41	115 848,95	0

b. L’amortissement s’écrit : $\textbf{M}~=~\frac{\textbf{420~000}}{\textbf{5}}~=~\textbf{84~000~dh}$

D’où le tableau d’amortissement :

Période	CDP	I	TVA	AMORT	ANN	CFP
1	420 000,00	46 200,00	3 234,00	84 000,00	133 434,00	336 000,00
2	336 000,00	36 960,00	2 587,00	84 000,00	123 547,20	252 000,00
3	252 000,00	27 720,00	1 940,40	84 000,00	113 660,40	168 000,00
4	168 000,00	18 480,00	1 293,60	84 000,00	103 773,60	84 000,00
5	84 000,00	9 240,00	646,80	84 000,00	93 886,80	0

Correction de l’exercice 5 :

a. Le premier amortissement se calcule aisément :

M₁ = 106 190,50 − 72 000 = 34 190,50 dh

Or : M₃ = M₁(1 + i)²

D’où : $(\textbf{1+i})^{\textbf{2}}~=~\frac{\textbf{M}{\textbf{3}}}{\textbf{M}{\textbf{1}}}$

Ce qui donne : $\textbf{i}~=~(\frac{\textbf{M}{\textbf{3}}}{\textbf{M}{\textbf{1}}})^{\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}}\textbf{-1~=~0,12}$

Soit 12 % l’an.

b. $\textbf{C}~=~\frac{\textbf{72~000}}{\textbf{0,12}}~=~\textbf{600~000~dh}$

c. $\textbf{a}~=~\textbf{C}\frac{\textbf{i}}{\textbf{1}-(\textbf{1+i})^{-\textbf{n}}}$ $\textbf{M}_{\textbf{1}}~=~\textbf{C}\frac{\textbf{i}}{(\textbf{1+i})^{\textbf{n}}-\textbf{1}}$

D’où $\frac{\textbf{M}_{\textbf{1}}}{\textbf{a}}~=~(\textbf{1+i})^{-\textbf{n}}~=~\textbf{3,105~848}$

Par logarithme on trouve n = 10

Correction de l’exercice 6 :

a. Ici on a 9 annuités de placement, le capital de 320 000 dh doit être constitué un an après le dernier versement :

$\textbf{320~000}~=~\textbf{a}\frac{\textbf{1,09}^{\textbf{9}}-\textbf{1}}{\textbf{0,09}}\times \textbf{1,09}\Rightarrow \textbf{a}~=~\textbf{22~546,44~dh}$

b. L’emprunteur verse :

38 400 dh (320 000 × 0,12) pendant 10 ans à l’organisme de crédit;
et 22 546,44 dh pendant 9 ans à l’organisme de capitalisation.

En actualisant ces versements au taux de 12% on obtient :

$\textbf{A}_{\textbf{0}}~=~(\textbf{38~400}+\textbf{22~546,44})\frac{\textbf{1-1,12}^{\textbf{-9}}}{\textbf{0,12}}+\textbf{38~400}\times \textbf{1,12}^{\textbf{-10}}$

$\textbf{A}_{\textbf{0}}~=~\textbf{337~101,63~dh}$

C’est le montant du crédit qui correspond aux engagements de l’emprunteur. Nous avons donc une différence de 17 101,63 dh. il s’agit ici de montrer à tel point le système américain pénalise l’emprunteur.

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