Exercices corrigés sur les emprunts obligataires
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Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires. Série d’exercices sur les mathématiques financières et précisément sur le chapitre des emprunts obligataires (Économie université – TD)

Exercice 1 (Exercices corrigés sur les emprunts obligataires)

Un emprunt de 50 000 000 dh est divisé en 10 000 obligations le remboursement s’effectue, chaque année, à une valeur de 5 500 dh et ceci pendant 5 ans. Taux : 12 %. La somme des intérêts et du remboursement à la valeur de 5 500 dh. Par obligation est constante.

  1. Calculer les nombres théoriques d’obligations amorties, faire le cumul de ces nombres et déduire les nombres d’obligations à racheter par la société chaque année.
  2. Construire le tableau d’amortissement de l’emprunt qui vous a été présente.
Exercice 2

Une société émet 18 000 obligations de nominal 3 500 dh chacune. Taux : 10,5% l’an. Durée de l’emprunt : 8 ans. Au niveau du remboursement, cette société verse chaque année un prime de :

  • 30 100 dh pour la 1ère obligation sortie au tirage
  • 80 000 dh pour les 10 obligations qui suivent
  • 5 000 dh pour les 50 obligations qui viennent

Ces obligations perdent alors le droit au remboursement.

L’amortissement s’effectue par annuités constantes.

Construire le tableau d’amortissement de l’emprunt considéré.

Exercice 3

Un emprunt de 62 500 000 dh est divisé en 25 000 obligations. Taux : 13% l’an. Durée de l’emprunt 8 ans. Sachant que le remboursement s’effectue à une valeur de 2 800 dh par obligation, calculer le taux auquel l’argent est effectivement placé pour l’obligation remboursé :

  • A la fin de la 1ére année
  • A la fin de la 2ème année
  • A la fin de la 8ème année

Interpréter

Exercice 4

Un emprunt de 48 750 000 dh est divisé en 15 000 obligations. Taux : 12,5% l’an. Durée de l’emprunt : 6 ans. Le remboursement s’effectue à la valeur nominale mais les titres sont achetés, au moment de l’émission, à 3 000 dh l’unité.

Exercice 5

Pour le remboursement d’un emprunt la société émettrice s’engage à racheter les nombres d’obligations suivants :

  • 3595 à la fin de la 1ère année
  • 3999 à la fin de la 2ème année
  • 4450 à la fin de la 3ème année

Le taux de l’emprunt est alors T% l’an (T étant entier)

A la fin de la 1ère année l’amortissement s’élève à 16 177 500 dh, le remboursement à 17 256 000 dh et enfin l’annuité effective à 29 406 000 dh.

  1. Quel est le système d’amortissement qui est adopté ici ?
  2. Déterminer le taux T et le nominale de la dette.
  3. Calculer la durée de l’emprunt.
Exercice 6

Un emprunt de 41 250 000 dh est divisé une 15 000 obligation Taux : 12% l’an. Durée de l’emprunt : 5 ans. Valeur de remboursement de l’obligation : 3 000 dh. Déterminer le taux réel de l’emprunt dans chacune des situations suivantes :

  • Amortissements constants
  • Anuités constantes (intérêts + remboursement constants).

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Correction de l’exercice 1 : (Exercices corrigés sur les emprunts obligataires)
  1. Ici on a :

C = 50 000 000 dh,                                \inline \mathbf{V=}\frac{\mathbf{50~000~000}}{\mathbf{10~000}}\mathbf{=5~000~dh} 

R = 5 500 dh

soit, \inline \mathbf{{i}'=}\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{R}}\mathbf{i=0,1090909}

Le premier nombre d’obligations amorties s’écrit :

\inline \mathbf{m_{1}=10~000}\times \frac{\mathbf{0,1090909}}{\mathbf{1,1090909^{5}-1}}\mathbf{=1~608,61}

En multipliant à chaque fois par 1,1090909 , on obtient les autres nombres d’obligations amorties :

m2 = 1 784,09

m3 = 1 978,72

m4 = 2 194,58

et m5 = 2 433,88

On forme le cumul de ces nombres qu’on arrondit à l’entier le plus voisin ; par soustraction on obtient les nombres d’obligations arrondies qui permettent la construction du tableau d’amortissement :

Cumuls théoriquesCumulsCumul arrondis NOA
1 608,611 608,611 6091 609
1 784,093 392,703 3931 784
1 978,725 371,435 3711 978
2 194,587 566,017 5662 195
2 433,9910 000,0010 0002 434

2. Le tableau d’amortissement se présente comme suit (en milliers de dh) :

Période CDPINOAAMORTREMBANNUCFP
150 000,006 000,001 6095 045,008 849,5014 849,5041 955,00
241 955,005 034,601 7848 920,009 812,0014 846,6033 035,00
333 035,003 946,001 9789 890,0010 879,0014 843,2023 145,00
423 145,002 777,402 19510 975,0012 072,5014 849,9012 170,00
512 170,001 460,402 43412 170,0013 387,0014 847,400

Correction de l’exercice 2 :

La société doit payer à la fin de chaque année pour les 61 premières obligations la somme de :

30 100 + 10 × 8 000 + 50 × 5 000 = 360 100 dh

soit une prime nette de :

360 100 − 61 × 3 500 = 146 000 dh

Comme cet prime est constante, la construction du tableau d’amortissement ne pose pas de problème. Les amortissements restent en progression géométrique de raison 1,105.

Le tableau d’amortissement se présente comme suit (en milliers de dh) :

PériodeCDPINOAAMORTPRIMEANNUCFP
163 000,006 615,001 5465 411,00146,6012 172,6057 589,00
257 589,006 064,851 7085 978,00146,6012 171,4551 611,00
351 611,005 419,161 8876 604,50146,6012 170,2645 006,50
445 006,504 725,682 0857 297,50146,6012 169,7837 709,00
537 709,003 959,452 3058 067,50146,6012 173,5529 641,50
629 641,503 112,362 5468 911,00146,6012 169,9620 730,50
720 730,502 176,702 8149 849,00146,6012 172,3010 881,50
810 881,501 142,563 10910 881,50146,6012 170,660

Correction de l’exercice 3 :

Ici on a : \inline \mathbf{V=2~500~dh}\left ( =\frac{\mathbf{62~500~000}}{\mathbf{25~000}} \right )\mathbf{,R=2~800~dh}

i = 0,13 et Vi = 325 dh

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 1ère année :

À  la date 0 ; il verse 2 500 dh

À  la date 1 ; il reçoit 3 125 dh

À  la date 1 on a :

2 500(1 + t) = 3 125 ⇔ t = 0,25 soit 25%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 2ème année :

À  la date 0 ; il verse 2 500 dh

À  la date 1 ; il reçoit 325 dh

À  la date 2 ; il reçoit 3 125 dh

À  la date 2 on a :

2 500(1 + t)2 = 325(1 + t) + 3 125

La résolution donne t = 0,1849 , soit 18,49%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 8ème année :

À  la date 0 ; il verse 2 500 dh

À  la date 1 ; il reçoit 325 dh

……………………………….

À  la date 8 ; il reçoit 325 + 2 800 = 3 125 dh

À  la date 8 on a :

\inline \mathbf{2~500(1+t)^{8}=325}\frac{\mathbf{(1+t)^{8}-1}}{\mathbf{t}}\mathbf{+2~800}

Ou encore 

\inline \mathbf{2~500(1+t)^{8}-325}\frac{\mathbf{(1+t)^{8}-1}}{\mathbf{t}}\mathbf{=2~800}

Par tâtonnement, puis par interpolation linéaire, on trouve 

t = 0,1391 ; soit 13,91 %

Remarquer : on remarque donc que le taux de rendement diminue, cette situation s’explique par le fait que la prime de remboursement, qui est de 300 dh (= 2 800 − 2 500) a plus de valeur à la fin de la 1ère année qu’à la fin de la 2ème année ; elle a beaucoup moins de valeurs à la fin de la 8ème année.

Correction de l’exercice 4 :

a. Ici on a : \inline \mathbf{V=}\frac{\mathbf{48~750~000}}{\mathbf{15~000}}\mathbf{=3~250~dh}

i = 0,125 Vi = 406,25 dh

L’obligation est achetée à une valeur E = 3 000 dh, inférieur à la valeur nominale, soit une prime d’émission de 250 dh par obligation.

b. Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 1ère année :

À  la date 0 ; il verse 3 000 dh

À  la date 1 ; il reçoit 406,25 dh

À  la date 1 on a :

3 000(1 + t) = 3 250 + 406,25

⇔ t = 0,21875 soit 21,88%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 2ème année :

À  la date 0 ; il verse 3 000 dh

À  la date 1 ; il reçoit 406,25 dh

À  la date 2 ; il reçoit 3 656,25 dh

À  la date 2 on a :

3 000(1 + t)2 = 406,25(1 + t) + 3 656,25

Ce qui donne t = 0,1738 soit 17,38%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 6ème année :

À  la date 0 il verse 3 000 dh

À  la date 1 il reçoit 406,25 dh

…………………………………………..

À  la date 6 il reçoit 3 656,25 dh

À  la date 6 on a :

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

On trouve t = 0,1451                   soit 14,51%

Remarque : on remarque là également que le taux de rendement diminue. Dans le fond, cette situation ne diffère pas de la précédente (exercice 3). En effet, on peut considérer ici que la valeur nominale est de 3 000 dh et que la valeur de remboursement est de 3 250 dh ; dans ce cas, le taux d’intérêt initial n’est plus de 12,50 % mais de 13,54% à peu près (i′= 406,25/3 000)   

Correction de l’exercice 5 :
  1. Ici les nombres d’obligations amorties ne sont pas constants. Ils ne sont pas non plus en progression arithmétique ; en effet :

m2 − m1 = 404 et m3 − m2 = 451

L’écart est trop grand.

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Ainsi            \inline \frac{\mathbf{m_{2}}}{\mathbf{m_{1}}}~~~~\neq ~~~~\frac{\mathbf{m_{3}}}{\mathbf{m_{2}}}

Les nombres d’obligations amorties semblent être en progression géométrique (on retiendra comme raison q = 1,1125). Le système adopté ici est celui de l’amortissement par annuités constantes.

2. Ici on a :

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Soit 12%

L’intérêt de la première année s’écrit :

I1 = a1 − m1R = 29 406 000 − 17 256 000

I1 = 12 150 000 dh

D’où

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3. Le nombre total d’obligation est égal à :

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On sait que  \inline \mathbf{m_{1}=N}\frac{\mathbf{{i}'}}{\mathbf{(1+{i}')^{n}-1}}

Ce qui donne  1,1125n = 1,7041

Par logarithmes, on trouve n = 5

Correction de l’exercice 6 :

Comme le remboursement se fait à une valeur (3 000 dh par obligation) supérieure à la valeur nominale (2 750 dh par obligation), l’emprunt va revenir à la société plus cher qu’il ne devrait l’être. Le taux réel sera donc supérieur à 12%. Le taux réel de l’emprunt est celui qui égalise le capital perçu par la société et les engagements actualisés de celui-ci. Il est important donc de calculer les annuités de remboursement.

a. Amortissements constants :

Le tableau d’amortissement se présente comme suit (en milliers de dh) :

PériodeCDPINOAAMORTREMBANNUCFP
141 2504 9503 0008 2509 00013 95033 000
233 0003 9603 0008 2509 00012 96024 750
324 7502 9703 0008 2509 00011 97016 500
416 5001 9803 0008 2509 00010 9808 250
58 2509903 0008 2509 0009 9900

À  la date 0 on a :

13 950(1 + t)−1 + 12 960(1 + t)−2 + 11 970(1 + t)−3 + 10 980(1 + t)−4 + 9 900(1 + t)−5 = 41 250

Par tâtonnement puis par interpolation linéaire, on trouve : t = 0,1478 soit 14,78%

b. Annuités constants :

Le tableau d’amortissement devient : (en milliers de dh)

PériodeCDPINOAAMORTREMBANNUCFP
141 2504 9502 4096 6257 22712 17734 625
234 6254 1552 6737 3518 01912 17427 275
327 2753 2732 9688 1628 90412 17719 113
419 1132 2943 2949 0599 88212 17610 054
510 0541 2063 65610 05410 96812 1740

À  la date 0 on a :

12 177(1 + t)−1 + 12 174(1 + t)−2 + 12 177(1 + t)−3 + 12 176(1 + t)−4 + 12 174(1 + t)−5 = 41 250

On trouve : t = 0,1455 soit t = 14,55%

Remarque : ce taux est légèrement inférieur au précédent, cela tient au fait que les annuités sont, ici, moins fortes les premières années, par rapport au cas précédent. On démontre aisément que l’annuité effective est sensiblement égale à :

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Ici on a          \mathbf{a=15~000}\times \mathbf{3~000}\frac{\mathbf{0,11}}{\mathbf{1-1,11^{-5}}}

a = 12 175 663,93 dh

À  la date 0 on a : 

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D’où :        \frac{\mathbf{1-(1+t)^{-5}}}{\mathbf{t}}\mathbf{=3,3879056}

Ce qui donne : t = 0,1455                   soit : 14,55%

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Ayoub Matioui

Economiste de formation et professeur d'économie ; avec l'aide de mon équipe, nous aidons les étudiants et élèves en difficulté concernant la compréhension des cours entretenus en classes. Aussi, nous mettons en place une stratégie d'orientation pour les étudiants souhaitant développer leurs connaissances acquises et voulant se projeter dans le monde de la communication et de l'information.

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