Exercices corrigés sur les emprunts obligataires

Exercices corrigés sur les emprunts obligataires. Série d’exercices sur les mathématiques financières et précisément sur le chapitre des emprunts obligataires (Économie université – TD)

Exercice 1 (Exercices corrigés sur les emprunts obligataires)

Un emprunt de 50 000 000 dh est divisé en 10 000 obligations le remboursement s’effectue, chaque année, à une valeur de 5 500 dh et ceci pendant 5 ans. Taux : 12 %. La somme des intérêts et du remboursement à la valeur de 5 500 dh. Par obligation est constante.

Calculer les nombres théoriques d’obligations amorties, faire le cumul de ces nombres et déduire les nombres d’obligations à racheter par la société chaque année.
Construire le tableau d’amortissement de l’emprunt qui vous a été présente.

Exercice 2 (Exercices corrigés sur les emprunts obligataires)

Une société émet 18 000 obligations de nominal 3 500 dh chacune. Taux : 10,5% l’an. Durée de l’emprunt : 8 ans. Au niveau du remboursement, cette société verse chaque année un prime de :

30 100 dh pour la 1^ère obligation sortie au tirage
80 000 dh pour les 10 obligations qui suivent
5 000 dh pour les 50 obligations qui viennent

Ces obligations perdent alors le droit au remboursement.

L’amortissement s’effectue par annuités constantes.

Construire le tableau d’amortissement de l’emprunt considéré.

Exercice 3

Un emprunt de 62 500 000 dh est divisé en 25 000 obligations. Taux : 13% l’an. Durée de l’emprunt 8 ans. Sachant que le remboursement s’effectue à une valeur de 2 800 dh par obligation, calculer le taux auquel l’argent est effectivement placé pour l’obligation remboursé :

A la fin de la 1^ére année
A la fin de la 2^ème année
A la fin de la 8^ème année

Interpréter

Exercice 4

Un emprunt de 48 750 000 dh est divisé en 15 000 obligations. Taux : 12,5% l’an. Durée de l’emprunt : 6 ans. Le remboursement s’effectue à la valeur nominale mais les titres sont achetés, au moment de l’émission, à 3 000 dh l’unité.

Exercice 5

Pour le remboursement d’un emprunt la société émettrice s’engage à racheter les nombres d’obligations suivants :

3595 à la fin de la 1^ère année
3999 à la fin de la 2^ème année
4450 à la fin de la 3^ème année

Le taux de l’emprunt est alors T% l’an (T étant entier)

A la fin de la 1^ère année l’amortissement s’élève à 16 177 500 dh, le remboursement à 17 256 000 dh et enfin l’annuité effective à 29 406 000 dh.

Quel est le système d’amortissement qui est adopté ici ?
Déterminer le taux T et le nominale de la dette.
Calculer la durée de l’emprunt.

Exercice 6

Un emprunt de 41 250 000 dh est divisé une 15 000 obligation Taux : 12% l’an. Durée de l’emprunt : 5 ans. Valeur de remboursement de l’obligation : 3 000 dh. Déterminer le taux réel de l’emprunt dans chacune des situations suivantes :

Amortissements constants
Anuités constantes (intérêts + remboursement constants).

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Correction de l’exercice 1 : (Exercices corrigés sur les emprunts obligataires)

Ici on a :

C = 50 000 000 dh, $\boldsymbol{\textup{V}=\frac{50~000~000}{10~000}=50~000~\textup{dh}}$

R = 5 500 dh

soit, $\boldsymbol{{\textup{i}}'=\frac{\textup{V}}{\textup{R}}\textup{i}=0,1090909}$

Le premier nombre d’obligations amorties s’écrit :

$\boldsymbol{\textup{m}_{1}=10~000\times \frac{0,1090909}{1,1090909^{5}-1}=1~608,61}$

En multipliant à chaque fois par 1,1090909 , on obtient les autres nombres d’obligations amorties :

m₂ = 1 784,09

m₃ = 1 978,72

m₄ = 2 194,58

et m₅ = 2 433,88

On forme le cumul de ces nombres qu’on arrondit à l’entier le plus voisin ; par soustraction on obtient les nombres d’obligations arrondies qui permettent la construction du tableau d’amortissement :

Cumuls théoriques	Cumuls	Cumul arrondis	NOA
1 608,61	1 608,61	1 609	1 609
1 784,09	3 392,70	3 393	1 784
1 978,72	5 371,43	5 371	1 978
2 194,58	7 566,01	7 566	2 195
2 433,99	10 000,00	10 000	2 434

2. Le tableau d’amortissement se présente comme suit (en milliers de dh) :

Période	CDP	I	NOA	AMORT	REMB	ANNU	CFP
1	50 000,00	6 000,00	1 609	5 045,00	8 849,50	14 849,50	41 955,00
2	41 955,00	5 034,60	1 784	8 920,00	9 812,00	14 846,60	33 035,00
3	33 035,00	3 946,00	1 978	9 890,00	10 879,00	14 843,20	23 145,00
4	23 145,00	2 777,40	2 195	10 975,00	12 072,50	14 849,90	12 170,00
5	12 170,00	1 460,40	2 434	12 170,00	13 387,00	14 847,40	0

Correction de l’exercice 2 :

La société doit payer à la fin de chaque année pour les 61 premières obligations la somme de :

30 100 + 10 × 8 000 + 50 × 5 000 = 360 100 dh

soit une prime nette de :

360 100 − 61 × 3 500 = 146 000 dh

Comme cet prime est constante, la construction du tableau d’amortissement ne pose pas de problème. Les amortissements restent en progression géométrique de raison 1,105.

Le tableau d’amortissement se présente comme suit (en milliers de dh) :

Période	CDP	I	NOA	AMORT	PRIME	ANNU	CFP
1	63 000,00	6 615,00	1 546	5 411,00	146,60	12 172,60	57 589,00
2	57 589,00	6 064,85	1 708	5 978,00	146,60	12 171,45	51 611,00
3	51 611,00	5 419,16	1 887	6 604,50	146,60	12 170,26	45 006,50
4	45 006,50	4 725,68	2 085	7 297,50	146,60	12 169,78	37 709,00
5	37 709,00	3 959,45	2 305	8 067,50	146,60	12 173,55	29 641,50
6	29 641,50	3 112,36	2 546	8 911,00	146,60	12 169,96	20 730,50
7	20 730,50	2 176,70	2 814	9 849,00	146,60	12 172,30	10 881,50
8	10 881,50	1 142,56	3 109	10 881,50	146,60	12 170,66	0

Correction de l’exercice 3 :

Ici on a : $\boldsymbol{\textup{V}=2~500~\textup{dh}(=\frac{62~500~000}{25~000})~,\textup{R}=2~800~\textup{dh}}$

i = 0,13 et V_i = 325 dh

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 1^ère année :

À la date 0 ; il verse 2 500 dh

À la date 1 ; il reçoit 3 125 dh

À la date 1 on a :

2 500(1 + t) = 3 125 ⇔ t = 0,25 soit 25%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 2^ème année :

À la date 0 ; il verse 2 500 dh

À la date 1 ; il reçoit 325 dh

À la date 2 ; il reçoit 3 125 dh

À la date 2 on a :

2 500(1 + t)² = 325(1 + t) + 3 125

La résolution donne t = 0,1849 , soit 18,49%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 8^ème année :

À la date 0 ; il verse 2 500 dh

À la date 1 ; il reçoit 325 dh

……………………………….

À la date 8 ; il reçoit 325 + 2 800 = 3 125 dh

À la date 8 on a :

$\boldsymbol{2~500(1+\textup{t})^{8}=325\frac{(1+\textup{t})^{8}-1}{\textup{t}}+2~800}$

Ou encore

$\boldsymbol{2~500(1+t)^{8}-325\frac{(1+t)^{8}-1}{t}=2~800}$

Par tâtonnement, puis par interpolation linéaire, on trouve

t = 0,1391 ; soit 13,91 %

Remarquer : on remarque donc que le taux de rendement diminue, cette situation s’explique par le fait que la prime de remboursement, qui est de 300 dh (= 2 800 − 2 500) a plus de valeur à la fin de la 1ère année qu’à la fin de la 2^ème année ; elle a beaucoup moins de valeurs à la fin de la 8^ème année.

Correction de l’exercice 4 :

a. Ici on a : $\boldsymbol{V=\frac{48~750~000}{15~000}=3~250~dh}$

i = 0,125 V_i = 406,25 dh

L’obligation est achetée à une valeur E = 3 000 dh, inférieur à la valeur nominale, soit une prime d’émission de 250 dh par obligation.

b. Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 1^ère année :

À la date 0 ; il verse 3 000 dh

À la date 1 ; il reçoit 406,25 dh

À la date 1 on a :

3 000(1 + t) = 3 250 + 406,25

⇔ t = 0,21875 soit 21,88%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 2^ème année :

À la date 0 ; il verse 3 000 dh

À la date 1 ; il reçoit 406,25 dh

À la date 2 ; il reçoit 3 656,25 dh

À la date 2 on a :

3 000(1 + t)² = 406,25(1 + t) + 3 656,25

Ce qui donne t = 0,1738 soit 17,38%

Cas de l’obligataire remboursé à la fin de la 6^ème année :

À la date 0 il verse 3 000 dh

À la date 1 il reçoit 406,25 dh

…………………………………………..

À la date 6 il reçoit 3 656,25 dh

À la date 6 on a :

$\boldsymbol{3~000(1+t)^{6}=406,25\frac{(1+t)^{6}-1}{t}+3~250}$

On trouve t = 0,1451 soit 14,51%

Remarque : on remarque là également que le taux de rendement diminue. Dans le fond, cette situation ne diffère pas de la précédente (exercice 3). En effet, on peut considérer ici que la valeur nominale est de 3 000 dh et que la valeur de remboursement est de 3 250 dh ; dans ce cas, le taux d’intérêt initial n’est plus de 12,50 % mais de 13,54% à peu près (i′= 406,25/3 000)

Correction de l’exercice 5 :

Ici les nombres d’obligations amorties ne sont pas constants. Ils ne sont pas non plus en progression arithmétique ; en effet :

m₂ − m₁ = 404 et m₃ − m₂ = 451

L’écart est trop grand.

$\boldsymbol{\frac{m_{2}}{m_{1}}=1,1124~~~~ et~~~~ \frac{m_{3}}{m_{2}}=1,1128}$

Ainsi $\boldsymbol{\frac{m_{2}}{m_{1}}~~\neq~~\frac{m_{3}}{m_{2}}}$

Les nombres d’obligations amorties semblent être en progression géométrique (on retiendra comme raison q = 1,1125). Le système adopté ici est celui de l’amortissement par annuités constantes.

2. Ici on a :

$\boldsymbol{V=\frac{M_{1}}{m_{1}}=\frac{16~177~500}{3~595}=4~500~dh}$

$\boldsymbol{et~~~~R=\frac{17~256~000}{3~595}=4~800~dh}$

$\boldsymbol{{i}'=\frac{V_{i}}{R}=0,1125~\Rightarrow i=\frac{R{i}'}{V}=0,12}$

Soit 12%

L’intérêt de la première année s’écrit :

I₁ = a₁ − m₁R = 29 406 000 − 17 256 000

I₁ = 12 150 000 dh

D’où

$\boldsymbol{C=\frac{I_{1}}{i}=\frac{12~150~000}{0,12}=101~250~000~dh}$

3. Le nombre total d’obligation est égal à :

$\textup{\textbf{N}}=\frac{\textup{\textbf{C}}}{\textup{\textbf{V}}}\textbf{=22~500}~\textup{\textbf{obligations}}$

On sait que $\textbf{m}_{\textbf{1}}\textbf{=N}\frac{{\textbf{i}}'}{(\textbf{1+}\textbf{i}')^{\textbf{n}}\textbf{-1}}$

Ce qui donne 1,1125ⁿ = 1,7041

Par logarithmes, on trouve n = 5

Correction de l’exercice 6 :

Comme le remboursement se fait à une valeur (3 000 dh par obligation) supérieure à la valeur nominale (2 750 dh par obligation), l’emprunt va revenir à la société plus cher qu’il ne devrait l’être. Le taux réel sera donc supérieur à 12%. Le taux réel de l’emprunt est celui qui égalise le capital perçu par la société et les engagements actualisés de celui-ci. Il est important donc de calculer les annuités de remboursement.

a. Amortissements constants :

Le tableau d’amortissement se présente comme suit (en milliers de dh) :

Période	CDP	I	NOA	AMORT	REMB	ANNU	CFP
1	41 250	4 950	3 000	8 250	9 000	13 950	33 000
2	33 000	3 960	3 000	8 250	9 000	12 960	24 750
3	24 750	2 970	3 000	8 250	9 000	11 970	16 500
4	16 500	1 980	3 000	8 250	9 000	10 980	8 250
5	8 250	990	3 000	8 250	9 000	9 990	0

À la date 0 on a :

13 950(1 + t)⁻¹ + 12 960(1 + t)⁻² + 11 970(1 + t)⁻³ + 10 980(1 + t)⁻⁴ + 9 900(1 + t)⁻⁵ = 41 250

Par tâtonnement puis par interpolation linéaire, on trouve : t = 0,1478 soit 14,78%

b. Annuités constants :

Le tableau d’amortissement devient : (en milliers de dh)

Période	CDP	I	NOA	AMORT	REMB	ANNU	CFP
1	41 250	4 950	2 409	6 625	7 227	12 177	34 625
2	34 625	4 155	2 673	7 351	8 019	12 174	27 275
3	27 275	3 273	2 968	8 162	8 904	12 177	19 113
4	19 113	2 294	3 294	9 059	9 882	12 176	10 054
5	10 054	1 206	3 656	10 054	10986	12 174	0

À la date 0 on a :

12 177(1 + t)⁻¹ + 12 174(1 + t)⁻² + 12 177(1 + t)⁻³ + 12 176(1 + t)⁻⁴ + 12 174(1 + t)⁻⁵ = 41 250

On trouve : t = 0,1455 soit t = 14,55%

Remarque : ce taux est légèrement inférieur au précédent, cela tient au fait que les annuités sont, ici, moins fortes les premières années, par rapport au cas précédent. On démontre aisément que l’annuité effective est sensiblement égale à :

$\textbf{a~=~NR}\frac{{\textbf{i}}'}{\textbf{1-}(1\textbf{+}{\textbf{i}}')^{\textbf{-5}}}$

Ici on a $\textbf{a~=~15~000}\times\textbf{3~000}\frac{\textbf{0,11}}{\textbf{1-1,11}^{\textbf{-5}}}$

a = 12 175 663,93 dh

À la date 0 on a :

$\textbf{12~175~663,93}\frac{\textbf{1-}(\textbf{1+t})^{\textbf{-5}}}{\textbf{t}}\textbf{~=~41~250~000}$

D’où : $\frac{\textbf{1-}(\textbf{1+t})^{\textbf{-5}}}{\textbf{t}}\textbf{~=~3,3879056}$

Ce qui donne : t = 0,1455 soit : 14,55%

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