Exercices équivalence à intérêts composés pdf

Exercices équivalence à intérêts composés pdf. Série d’exercices sur les mathématiques financières et précisément sur le chapitre de l’équivalence à intérêts composés (Économie université – TD)

Exercice 1 : Un fournisseur accepte que son client remplace deux effet :

7 500 dh dans 3 ans ;
10 200 dh dans 4 ans

Par un versement unique de 15 615,60 dh.

Déterminer l’échéance de ce paiement unique. Taux d’escompte 10%.

Exercice 2 : Un individu emprunte une somme de 60 000 dh qu’ il rembourse en deux paiements, le premier de 30 000 dh dans un an, le second de 40 626 dh dans deux ans.

Quel est le taux de l’opération ?

Exercice 3 : Un particulier emprunte 80 000 dh au taux annuel t. Calculer t dans le cas du remboursement suivant : le remboursement s’effectue en trois versements :

15 000 dh dans un an ;
40 000 dh dans 2 ans ;
47 000 dh dans 3 ans ;

(le taux est voisin de 11%).

Exercice 4 : Un particulier doit régler trois dettes :

20 000 dh dans un an ;
25 000 dh dans 3 ans ;
30 000 dh dans 4 ans ;

Le taux d’intérêt est de 10,5%.

Ce particulier peut-il se libérer par un seul paiement de 75 500 dh? De 75 000 dh ? de 74 500 dh ? A quelle époque aurait lieu chacun de ces paiements ?
Si le particulier désirerait se libérer au moyen de deux versements A et B, le premier étant égal au triple su second et payables respectivement dans 4 ans et 5 ans, quelles sommes débourserait-il ?

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Correction des exercices

Exercice 1

Si n est l’échéance du paiement unique et si l’époque 0 est choisie comme date d’équivalence alors :

15 615,62(1,10)⁻ⁿ = 7 500(1,10)⁻³ + 10 200(1,10)⁻⁴

15 615,62(1,10)⁻ⁿ = 5 634,86 + 6 966,74

(1,10)⁻ⁿ = 12 601,6/15 615,62 = 0,806 987

Par les logarithmes :

n = − log 0,806 987/log (1,10)

n = 2,249 999 années soit 2,5 années

Le paiement unique de 15 615,62 dh est à prévoir dans 2 ans et 6 mois.

Exercice 2

L’équivalence à l’époque 0 donne :

60 000 = 30 000(1+i)⁻¹ + 40 626(1+i)⁻²

On peut se ramener à une équation du second degré

60 000(1+i)² − 30 000(1+i) − 40 626 = 0

Posons (1 + i) = x et divisons par 1 000

60x² − 30x − 40,626 = 0

On trouve x = 30±103,2/120

Comme x > 0 d’où (30 + 103,2)/120 = 1,11

D’où t = 11%.

Exercice 3

A l’époque 0 légalité d’équivalence s’écrit :

80 000 = 15 000(1+i)⁻¹ + 40 000(1+i)⁻² + 47 086,5(1+i)⁻³

On peut résoudre cette équation par interpolation linéaire, sachant que le taux est voisin de 11%.

à 11%, 15 000(1,11)⁻¹ + 40 000(1,11)⁻² + 47 086,5(1,11)⁻³ = 80 344,41

à 12%, 15 000(1,12)⁻¹ + 40 000(1,12)⁻² + 47 086,5(1,12)⁻³ = 78 734,41

Le taux est donc compris entre 11% et 12% car 78 734,29 < 80 000 < 80 344,29

Par interpolation linéaire :

0,11 → 80 344,41

i → 80 000

0,12 → 78 734,29

$\frac{\textbf{i}-\textbf{0,1}}{\textbf{0,12}-\textbf{0,11}}~=~\frac{\textbf{80~000}-\textbf{80~344,41}}{\textbf{78~734,79}-\textbf{80~344,41}}$

D’où i = 0,11 + 0,01(0,213716)

i = 0,1121

Donc t = 11,21 %

Exercice 4

Le particulier peut se libérer par un seul paiement à condition qu’il y ait équivalence entre le paiement unique et la somme des trois dettes. Calculons d’abord la somme des valeurs actuelles de l’ensemble des dettes à l’époque 0. Ce qui donne :

20 000(1,105)⁻¹ + 25 000(1,105)⁻³ + 30 000(1,105)⁻⁴ = 55 869, 25 dh

Si n → l’échéance du paiement de 75 500 dh ;

Si n₁→ l’échéance du paiement de 75 000 dh ;

Si n₂→ l’échéance du paiement de 74 500 dh ;

A l’époque 0, nous pouvons écrire :

→ 55 869,25 = 75 500(1,105)⁻ⁿ

→ 55 869,25 = 75 000(1,105)^−n₁

→ 55 869,25 = 74 500(1,105)^−n₂

Prenons le premier paiement et calculons n

55 869,25 = 75 500(1,105)⁻ⁿ

(1,105)⁻ⁿ = 55 869,25/75 500 = 0,739990

$\textbf{n}=~-\frac{\log 0,739990}{\log (1,105)}$

n = 3,015850 années

Le paiement de 75 500 est à prévoir dans 3 ans 6 jours

Par un calcul analogue on trouve :

n₁ = 2,949301 soit 2 ans 11 mois 12 jours

n₂ = 2,882307 soit 2 ans 10 mois 18 jours

Donc les paiements sont possibles :

75 500 dh dans 3 ans 6 jours ;
75 000 dh dans 2 ans 11 mois 12 jours
74 500 dh dans 2 ans 10 mois 18 jours.

A l’époque 0, on peut écrire :

55 869,25 = A(1,105)⁻³ + 3A(1,105)⁻⁵

A = 55869,25/2,5621617 = 21 805,51 dh

Et B = 3A = 65 416,53

Vérification :

21 805,51(1,105)⁻³ + 65 416,53(1,105)⁻⁵ = 55 869,25

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