Mathématiques financières : Les annuités - Exercices
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Mathématiques financières : Les annuités – Exercices

Mathématiques financières : Les annuités – Exercices. C’est une série d’exercices sur les mathématiques financières, chapitre des annuités en pdf.

Exercice 1 : 

On place 8 annuités constantes de 17 500 dh chacune, au moment du dernier versement le capital constitue s’élève a 190 000 dh. Trouver le taux.

Exercice 2 :

Combien d’annuités de 20 000 dh chacune, faut il placer, pour disposer au moment du dernier versement d’une valeur acquise de 300 000 dh ? Taux : 9,5% l’an.

Exercice 3 :

Calculer, au moment du dernier versement, la valeur acquise de 28 trimestrialités de 5 000 dh chacune, capitalisées à 8% l’an. Donnez 3 solutions.

Exercice 4 : Une personne place à la fin de chaque trimestre des sommes constantes de 8 000 dh chacune. Date du 1ér versement : 31/03/1995 ; date du dernier versement : 31/12/1998. Taux : 9% l’an ; on utilise alors les taux proportionnels. Calculer la valeur acquise :

  • Au 31/12/1998
  • Au 28/02/1999 (solution rationnelle)
Exercice 5 :

Une personne s’engage à verser auprès d’un organisme de capitalisation, 8 annuités constantes de montant a chacune. La valeur acquise un an après le dernier versement est de 350 000 dh. Taux : 9%.

  • Calculer a
  • Sachant qu’en cas de remboursement anticipé le taux est ramené à 8% (soit une pénalité d’un point) calculé le capital disponible 5 mois après le 4ème versement.

Donner un autre mode de pénalisation (à l’occasion, le taux peut augmenter ou diminuer d’un point suivant le sens qui pénalise le client).

Exercice 6 : Calculer au 31/10/95 la valeur actuelle d’une suite de 10 annuités de 22 500 dh chacune. Date du 1er versement : 31/10/96. Taux : 9,25% l’an. Calculer la valeur de la même suite au 31/10/94.

Exercice 7 : Une dette de 400 000 dh est remboursable par le versement de 12 annuités de 66 000 dh. Sachant que le premier versement a lieu un an après la date du contrat.

  • Calculer le taux d’escompte ?
  • Quel aurait été le taux si le premier versement avait eu lieu deux ans après la date du contrat ?

Exercice 8 : Quelle somme constante doit on verser à la fin de chaque mois pendant 4 ans, pour rembourser une dette de 180 000 dh, contractée un mois avant le 1er versement ? Taux : 13%. Donner deux solutions.

Exercice 9 : Un particulier a contracté auprès d’une banque un emprunt de montant D. Cet emprunt est remboursable par trimestrialités constantes de 9 000 dh chacune et ceci pendant 6 ans. Sachant que le versement 1er versement est payable un an après la date du contrat, calculer le nominal D de la dette. Taux : 12,5% l’an. (Utiliser les taux proportionnels).

Exercice 10 :

Soit une suite de 12 annuités constantes, dont la valeur est égale à :

  • 159 448,39 dh deux ans avant le premier versement
  • 622 059,49 dh deux ans après le dernier versement
  1. Calculer la valeur de cette suite un an avant le premier versement
  2. Calculer l’annuité.
  3. Remplacer la suite par un versement unique de 300 000 dh.

Exercice 11 : Calculer la valeur actuelle deux ans avant le premier versement et la valeur acquise deux ans après le dernier versement d’une suite de 12 annuités en augmentation de 15 000 dh par an, la première étant de 35 000 dh. Taux : 10,5% l’an.

Exercice 12 : Calculer la valeur actuelle un an avant le premier versement et la valeur acquise un an après le dernier versement, d’une suite de 12 annuités en augmentation de 5% par an le première étant de 35 000 dh. Taux : 10,5% l’an.

Cliquer ici pour télécharger Mathématiques financières : Les annuités – Exercices corrigés pdf
Correction de l’exercice 1 :
\inline \mathbf{17~500}\frac{\boldsymbol{\boldsymbol{}(i+1)^{^{8}}-1}}{\mathbf{i}}\mathbf{=190~000}

D’où  \inline \frac{\mathbf{(1+i)^{8}-1}}{\mathbf{1}}\mathbf{=10,85714286}

En utilisant la table n 3 (ou en tâtonnant on trouve t  proche de 8,5%) :

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Par interpolation linéaire on trouve t = 8,57 soit 8,57% l’an.

Correction de l’exercice 2 :
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Ce qui donne 1,095n = 2,425

Par logarithmes on trouve n = 9,76

Comme ici on se situe au moment du dernier versement le problème n’admet de solutions strictes.

En effet pour obtenir n entier il est important d’apporter quelques modifications :

1ère cas : n = 9 :

  • 1ère solution : on modifie toutes les annuités
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  • 2ème solution : on majore la dernière annuité d’un montant x :
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2ème cas : n = 10

  • 1ère solution : on modifie toutes les annuités :
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  • 2ème solution : on diminue la dernière annuité d’un montant y :
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La dernière annuité sera 8 794,19 dh seulement.

Remarque : la valeur acquise de 300 000 dh peut être obtenue à partir de versements égaux a 20 000 dh mais il faut se situer après le dernier versement. Ainsi pour n = 9 le capital de 300 000 dh est constitué x périodes après le dernier terme :

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Ce qui donne x : 1,327832 soit 1 ans, 3 mois et 28 jours.

Correction de l’exercice 3 :

1ère solution : on utilise les taux équivalents :

i = 1,081/4 − 1 = 0,019426546

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2ème solution : on utilise les taux proportionnels.

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3ème solution :

On scinde la suite des 28 trimestrialités en 4 suites d’annuités :

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À la date 28 on a :

\inline \mathbf{B_{28}=5~000}\frac{\mathbf{1,08^{7}-1}}{\mathbf{0,08}}\mathbf{(1+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\times \boldsymbol{0,08}\mathbf{)=47~290,86~dh}

À la date 28 on a :

\inline \mathbf{C_{28}=5~000}\frac{\mathbf{1,08^{7}-1}}{\mathbf{0,08}}(\mathbf{1+}\frac{\boldsymbol{1}}{\mathbf{2}}\times \mathbf{0,08)=46~398,58~dh}

À la date 28 on a :

\inline \mathbf{D_{28}=5~000}\frac{\mathbf{1,08^{7}-1}}{\mathbf{0,08}}(\mathbf{1+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\times \mathbf{0,08)=45~506,30~dh}

À la date 28 on a :

\inline \mathbf{E_{28}=5~000}\frac{\mathbf{1,08^{7}-1}}{\mathbf{0,08}}\mathbf{=44~614,02~dh}

En faisant la somme on obtient la valeur acquise demandée :

A28 = B28 + C28 + D28 + E28 = 183 809,75 dh

Remarque : au niveau de la 3ème solution on a utilisé pour les parties fractionnaires la solution rationnelle. Par ailleurs cette troisième solution pourrait être calculée directement :

\inline \mathbf{A_{28}=5~000}\frac{\mathbf{1,08^{7}-1}}{\mathbf{0,08}}\left [ \mathbf{4+0,08}(\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}+\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{4}}+\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}) \right ]\mathbf{=183~809,75~dh}
Correction de l’exercice 4 :
Correction de l’exercice 5 :

a.       \inline \mathbf{350~000=a}\frac{\mathbf{1,09^{8}-1}}{\mathbf{0,09}}\times \mathbf{1,09 ~~\Rightarrow a=29~115,63~dh }

b. Le capital  disponible 5 mois après le dernier versement s’écrit :

\inline \mathbf{A}_{\mathbf{4+}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}}\mathbf{=29~115,63}\frac{\mathbf{1,08^{4}-1}}{\mathbf{0,08}}\times \mathbf{1,08}^{\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}}\mathbf{=135~473,60~dh}

Autre méthode pour pénaliser le client : on actualise à la date 4 + 5/12

  • Les 350 000 dh à 10% (intérêts débiteurs pour le client)
  • Les 4 versements non échus à 8% (intérêts créditeurs pour le client).

On obtient :

\inline \mathbf{A_{4+5/12}=350~000}\times \mathbf{1,1}^{\mathbf{-(4+}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{12}})}\mathbf{-29~115,63}\frac{\mathbf{1-1,08}^{\mathbf{-4}}}{\mathbf{0,08}}\mathbf{(1+}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}\times \mathbf{0,08)}

A4+5/12 = 126 477,42 dh

Correction de l’exercice 6 :

Correction de l’exercice 7 :
\inline \mathbf{1^{ere}cas:400~000=66~000}\frac{\mathbf{1-(1+i)^{-12}}}{\mathbf{i}}

Par tâtonnement puis par interpolation linéaire on trouve un taux de 12,47% l’an.

\inline \mathbf{2^{eme}cas:400~000=66~000}\frac{\mathbf{1-(1+i)^{-12}}}{\mathbf{i}}\mathbf{(1+i)^{-1}}

Par tâtonnement puis par interpolation linéaire on trouve un taux de 10,38%.

Correction de l’exercice 8 :

1ère solution : utilisation des taux proportionnels

\inline \mathbf{i=}\frac{\mathbf{0,13}}{\mathbf{12}}\mathbf{=0,0108333}
\inline \mathbf{a}\frac{\mathbf{1-1,01108333^{-48}}}{\mathbf{0,0108333}}\mathbf{=180~000~~~\Rightarrow a=4828,95}

2ème solution : utilisation des taux équivalents :

\inline \mathbf{i=1,13}^{\mathbf{1/12}}\mathbf{-1=0,0102368}

\inline \mathbf{a}\frac{\mathbf{1-1,0102368^{-48}}}{\mathbf{0,0102368}}\mathbf{=180~000~~~~~\Rightarrow a=4765,25~dh}

Correction de l’exercice 9 :

Ici on a un différé de 9 mois :

\inline \mathbf{D=9000}\frac{\mathbf{1-1,03125^{-24}}}{\mathbf{0,03125}}\times \mathbf{1,03125^{-3}=137~126,15~dh}

Correction de l’exercice 10 : 

Correction de l’exercice 11 :

Correction de l’exercice 12 :

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Ayoub Matioui

Economiste de formation et professeur d'économie ; avec l'aide de mon équipe, nous aidons les étudiants et élèves en difficulté concernant la compréhension des cours entretenus en classes. Aussi, nous mettons en place une stratégie d'orientation pour les étudiants souhaitant développer leurs connaissances acquises et voulant se projeter dans le monde de la communication et de l'information.

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