Espaces vectoriels exercices corrigés S2

Espaces vectoriels exercices corrigés S2

Espaces vectoriels exercices corrigés S2. (Bac + 1/Sciences économiques s2)

Exercice 1 (Espaces vectoriels exercices corrigés S2)

Les ensembles suivants sont-ils des sous espaces vectoriels :

  • E = {(x1, x2, x3) ∈ 3 : x1x2 = x3}
  • F = {(x1, x2, x3) ∈ 3 : 2x1 − x2 + 3x3 = 0}
  • G = {ƒ ∈ C([a, b]) : ƒ(a) = 0}
Exercice 2

Déterminer les sous-espaces vectoriels de 3 engendrés par les vecteurs :

  • v1 = (1,1,0) ; v2 = (−1,2,−1)
  • w1 = (6,0,2) ; w2 = (1,4,−1) ; w3 = (0,3,−1)

Que remarquez-vous ?

Exercice 3

Soient les deux sous-espaces vectoriels

E = {(x, y, z) ∈ 3 : 2x − y + 3z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ 3 : y = z}

  1. Donner une famille génératrice de E et une famille génératrice de F.
  2. Vérifier que EF est un sous-espaces vectoriel et trouver une famille génératrice.
Exercice 4

Soit E = {(x1, x2, …, xn) ∈ 3 : a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0}

  • Montrer que E est un sous-espace vectoriel de n et trouver une famille génératrice de E.
Exercice 5

Soit E un espace vectoriel sur et soient V et W deux sous-espaces vectoriels de E.

Montrer que VW est un sous-espace vectoriel de E. Que peut-on dire de VW ?

Exercice 6
  1. On donne les cinq vecteurs de 4 :

v1 = (1, −2, 0, 4) ; v2 = (0, −3, 0, 1) ; v3 = (2, −1, 0, 7) ; v4 = (1, 1, 0, −1) ; v5 = (2, −4, 0, 8)

  • Justifier, sans faire de calcul, que les familles suivantes sont liées :

{v1, v2, v3, v4, v5} ; {v1, v5} ; {v1, v2, v5}

  • Les familles suivantes sont-elles libres ou liées ?

{v1, v2, v3} ; {v2, v3, v4} ; {v2, v3, v4, v5}

2. Soient w1, w2, w3 trois vecteurs linéairement indépendants dans un espace vectoriel E, que peut-on dire des familles

{(w1 + w2), (w1 + w3), (w2 + w3)} et {(w1 + w2), (w1 − w3), (w2 + w3)} ?

3. On considère dans P3(), les trois polynômes suivants :

P1(x) = x3 − 1 ; P2(x) = x3 − 2x + k ; P3(x) = x + 1

k est un paramètre réel.

Pour quelle valeur de k la famille {P1, P2, P3} est-elle liée ?

Exercice 7

Soit P2() l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.

Posons q0(x) = 1 ; q1(x) = x − 1 et q2(x) = (x − 1)2

  • Vérifier que la famille {q0, q1, q2} est une base de P2()
Exercice 8

Soit le sous-espace vectoriel

E = {(x, y, z, t) ∈ 4, x − 3y + 2z − t = 0}

  1. Trouver une base de B1 de E.
  2. Vérifier que la famille B2 = {(1, 1, 1, 0) ; (−1, 1, 2, 0) ; (−3, −1, 1, 2)} est une base de E.
  3. Donner les composantes du vecteur v = (2, −2, −3, 2) dans les bases de B1 et B2.
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Correction des exercices

Exercice 1
  • E3, E ≠ ∅ car le vecteur (0, 0, 0) ∈ E, mais E n’est pas stable pour l’addition, en effet, si on prend par exemple X = (1, 1, 1) et Y = (1, 0, 0), on a bien X E et YE mais X + Y = (2, 1, 1) ∉ E, donc E n’est pas un sous-espace vectoriel.

  • F3 est un sous-espace vectoriel de 3, en effet

0F, donc F ≠ ∅

Si x = (x1, x2, x3) ∈ F et y = (y1, y2, y3) ∈ F on a

2x1 − x2 + 3x3 = 0 et 2y1 − y2 + 3y3 = 0

Vérifions que x + y F. On a

x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

Et 2(x1 + y1) − (x2 + y2) + 3(x3 + y3) = (2x1 − x2 + 3x3) + (2y1 − y2 + 3y3) = 0

λ, ∀xF, λx = (λx1, λx2, λx3) et

2λx1 − λx2 + 3λx3 = λ(2x1 − x2 + 3x3) = 0  λx F.

  • G C[(a, b)] est un sous-espace vectoriel de C[(a, b)], en effet

La fonction nulle ∈ G donc G ≠ ∅

Si ƒ ∈ G et gG, on a (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a) = 0 donc ƒ + g G

Exercice 2
  • Appelons V le sous-espaces vectoriel de 3 engendré par les vecteurs v1 et v2.

Soit X = (x, y, z) un vecteur de 3, alors

XV ⇔ (x, y, z) = λ1v1 + λ2v2

⇔ (x, y, z) = (λ1 − λ2, λ1 + 2λ2, − λ2)

⇔ {x = λ1 − λ2 et y = λ1 + 2λ2 et z = − λ2

x − y = 3z

Donc les composantes (x, y, z) de tous les vecteurs de V vérifient x − y + 3z = 0

D’où V = {(x , y, z) ∈ 3 : x − y − 3z = 0}

  • Appelons W le sous-espaces vectoriel de 3 engendré par les vecteurs w1, w2 et w3. Soit X = (x, y, z) un vecteur de 3, alors

XW ⇔ (x, y, z) = λ1w1 + λ2w2 + λ3w3

⇔ (x, y, z) = (1 + λ2, 4λ2 + 3λ3, 2λ1 − λ2 − λ3)

⇔ {x = 6λ1 + λ2 , y = 4λ2 + 3λ3 et z = 2λ1 − λ2 − λ3

x − y = 3z

Donc W = {(x , y, z) ∈ 3 : x − y − 3z = 0}

Remarquer que V = W et que ceci est dû, en partie, au fait que w1, w2 et w3 sont eux même des vecteurs de V ; on peut l’établir soit en remarquant que les composantes de w1, w2 et w3 vérifient la condition x − y − 3z = 0, soit en remarquant que

w1 = 4v1 − 2v2 ; w2 = 2v1 + v2 et w3 = v1 + v2.

Exercice 3

a.

X = (x, y, z) ∈ E2x − y + 3z = 0

y = 2x + 3z

X = (x, 2x + 3z, z)

X = (x, 2x, 0) + (0, 3z, z)

X = x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1)

Donc tout vecteur de E s’écrit sous forme de combinaison linéaire de v1 = (1, 2, 0) et v2 = (0, 3, 1), {v1, v2} est alors une famille génératrice de E.

Donc tout vecteur de F s’écrit sous forme de combinaison linéaire de w1 = (1, 0, 0) et w2 = (0, 1, 1), {w1, w2} est alors une famille génératrice de F.

b. Déterminons d’abord les éléments de EF :

X = (x, y, z) ∈ EF 2x − y + 3z = 0 et y = z

2x + 2z = 0 et y = z

x = − z = − y

X = (−z, z, z) = z(−1, 1, 1)

EF est donc le sous-espace vectoriel de E et de F engendré par (−1, 1, 1).

Exercice 4

Il est clair que si tous les ai sont nuls alors E = n.

Supposons que les ai ne sont pas tous nuls, par exemple a1 ≠ 0, nous allons écrire les éléments de E sous forme de combinaisons linéaires, ce qui montrera que E est un sous espace vectoriel

X ∈ Ea1x1 + a2x2 + … + anxn = 0

x1 = − a2/a1 x2 − a3/a1 x3 − … − an/a1 xn

X = (− a2/a1 x2 − a3/a1 x3 − … − an/a1 xn , x2, … , xn)

X = x2 (− a2/a1, 1, 0, … , 0) + x3(− a3/a1, 0, 1, 0, … , 0)+ … + xn(− an/a1, 0, 0, … , 1)

En posant

v2 = (− a2/a1, 1, 0, … , 0) ; v3 = (− a3/a1, 0, 1, 0, … , 0) ; … ; vn = (− an/a1, 0, 0, … , 1)

On a X = x2v2 + x3v3 + … + xnvn

E est donc le sous-espaces de n engendré par la famille {v2, v3, … , vn}

Exercice 6

a.

  • On a vu que dans un espace vectoriel de dimension n, plus de n vecteurs sont nécessairement liés. La famille {v1, v2, v3, v4, v5} est donc liée puisqu’elle contient 5 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 4.

Les vecteurs v1 et v5 sont proportionnels, v5 = 2v1, la famille {v1, v5} est donc liée.

La famille {v1, v2, v5} est liée puisqu’elle contient deux vecteurs liés, v1 et v5.

  • Pour vérifier si une famille est libre ou liée, on écrit une combinaison linéaire nulle et on regarde si tous les coefficients sont nuls.

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Ayoub Matioui

Economiste de formation et professeur d'économie ; avec l'aide de mon équipe, nous aidons les étudiants et élèves en difficulté concernant la compréhension des cours entretenus en classes. Aussi, nous mettons en place une stratégie d'orientation pour les étudiants souhaitant développer leurs connaissances acquises et voulant se projeter dans le monde de la communication et de l'information.

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