Espaces vectoriels exercices corrigés S2

Espaces vectoriels exercices corrigés S2. (Bac + 1/Sciences économiques s2)

Exercice 1 (Espaces vectoriels exercices corrigés S2)

Les ensembles suivants sont-ils des sous espaces vectoriels :

• E = {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ : x₁x₂ = x₃}
• F = {(x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³ : 2x₁ − x₂ + 3x₃ = 0}
• G = {ƒ ∈ C([a, b]) : ƒ(a) = 0}

Exercice 2

Déterminer les sous-espaces vectoriels de ℝ³ engendrés par les vecteurs :

• v₁ = (1,1,0) ; v₂ = (−1,2,−1)
• w₁ = (6,0,2) ; w₂ = (1,4,−1) ; w₃ = (0,3,−1)

Que remarquez-vous ?

Exercice 3

Soient les deux sous-espaces vectoriels

E = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : 2x − y + 3z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : y = z}

1. Donner une famille génératrice de E et une famille génératrice de F.
2. Vérifier que E ⋂ F est un sous-espaces vectoriel et trouver une famille génératrice.

Exercice 4

Soit E = {(x₁, x₂, …, x_n) ∈ ℝ³ : a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = 0}

• Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℝⁿ et trouver une famille génératrice de E.

Exercice 5

Soit E un espace vectoriel sur ℝ et soient V et W deux sous-espaces vectoriels de E.

Montrer que V ⋂ W est un sous-espace vectoriel de E. Que peut-on dire de V ⋂ W ?

Exercice 6 (Espaces vectoriels exercices corrigés S2)

1. On donne les cinq vecteurs de ℝ⁴ :

v₁ = (1, −2, 0, 4) ; v₂ = (0, −3, 0, 1) ; v₃ = (2, −1, 0, 7) ; v₄ = (1, 1, 0, −1) ; v₅ = (2, −4, 0, 8)

• Justifier, sans faire de calcul, que les familles suivantes sont liées :

{v₁, v₂, v₃, v₄, v₅} ; {v₁, v₅} ; {v₁, v₂, v₅}

• Les familles suivantes sont-elles libres ou liées ?

{v₁, v₂, v₃} ; {v₂, v₃, v₄} ; {v₂, v₃, v₄, v₅}

2. Soient w₁, w₂, w₃ trois vecteurs linéairement indépendants dans un espace vectoriel E, que peut-on dire des familles

{(w₁ + w₂), (w₁ + w₃), (w₂ + w₃)} et {(w₁ + w₂), (w₁ − w₃), (w₂ + w₃)} ?

3. On considère dans P₃(ℝ), les trois polynômes suivants :

P₁(x) = x³ − 1 ; P₂(x) = x³ − 2x + k ; P₃(x) = x + 1

Où k est un paramètre réel.

Pour quelle valeur de k la famille {P₁, P₂, P₃} est-elle liée ?

Exercice 7

Soit P₂(ℝ) l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.

Posons q₀(x) = 1 ; q₁(x) = x − 1 et q₂(x) = (x − 1)²

• Vérifier que la famille {q₀, q₁, q₂} est une base de P₂(ℝ)

Exercice 8

Soit le sous-espace vectoriel

E = {(x, y, z, t) ∈ ℝ⁴, x − 3y + 2z − t = 0}

1. Trouver une base de B₁ de E.
2. Vérifier que la famille B₂ = {(1, 1, 1, 0) ; (−1, 1, 2, 0) ; (−3, −1, 1, 2)} est une base de E.
3. Donner les composantes du vecteur v = (2, −2, −3, 2) dans les bases de B₁ et B₂.

Cliquer ici pour télécharger Espaces vectoriels exercices corrigés S2

Correction des exercices

Exercice 1

• E ⊂ ℝ³, E ≠ ∅ car le vecteur (0, 0, 0) ∈ E, mais E n’est pas stable pour l’addition, en effet, si on prend par exemple X = (1, 1, 1) et Y = (1, 0, 0), on a bien X ∈ E et Y ∈ E mais X + Y = (2, 1, 1) ∉ E, donc E n’est pas un sous-espace vectoriel.

• F ⊂ ℝ³ est un sous-espace vectoriel de ℝ³, en effet

0 ∈ F, donc F ≠ ∅

Si x = (x₁, x₂, x₃) ∈ F et y = (y₁, y₂, y₃) ∈ F on a

2x₁ − x₂ + 3x₃ = 0 et 2y₁ − y₂ + 3y₃ = 0

Vérifions que x + y ∈ F. On a

x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃)

Et 2(x₁ + y₁) − (x₂ + y₂) + 3(x₃ + y₃) = (2x₁ − x₂ + 3x₃) + (2y₁ − y₂ + 3y₃) = 0

∀λ ∈ ℝ, ∀x ∈ F, λx = (λx₁, λx₂, λx₃) et

2λx₁ − λx₂ + 3λx₃ = λ(2x₁ − x₂ + 3x₃) = 0 ⇒ λx ∈ F.

• G ⊂ C[(a, b)] est un sous-espace vectoriel de C[(a, b)], en effet

La fonction nulle ∈ G donc G ≠ ∅

Si ƒ ∈ G et g ∈ G, on a (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a) = 0 donc ƒ + g ∈ G

Exercice 2

• Appelons V le sous-espaces vectoriel de ℝ³ engendré par les vecteurs v₁ et v₂.

Soit X = (x, y, z) un vecteur de ℝ³, alors

X ∈ V ⇔ (x, y, z) = λ₁v₁ + λ₂v₂

⇔ (x, y, z) = (λ₁ − λ₂, λ₁ + 2λ₂, − λ₂)

⇔ {x = λ₁ − λ₂ et y = λ₁ + 2λ₂ et z = − λ₂

⇔ x − y = 3z

Donc les composantes (x, y, z) de tous les vecteurs de V vérifient x − y + 3z = 0

D’où V = {(x , y, z) ∈ ℝ³ : x − y − 3z = 0}

• Appelons W le sous-espaces vectoriel de ℝ³ engendré par les vecteurs w₁, w₂ et w₃. Soit X = (x, y, z) un vecteur de ℝ³, alors

X ∈ W ⇔ (x, y, z) = λ₁w₁ + λ₂w₂ + λ₃w₃

⇔ (x, y, z) = (6λ₁ + λ₂, 4λ₂ + 3λ₃, 2λ₁ − λ₂ − λ₃)

⇔ {x = 6λ₁ + λ₂ , y = 4λ₂ + 3λ₃ et z = 2λ₁ − λ₂ − λ₃

⇔ x − y = 3z

Donc W = {(x , y, z) ∈ ℝ³ : x − y − 3z = 0}

Remarquer que V = W et que ceci est dû, en partie, au fait que w₁, w₂ et w₃ sont eux même des vecteurs de V ; on peut l’établir soit en remarquant que les composantes de w₁, w₂ et w₃ vérifient la condition x − y − 3z = 0, soit en remarquant que

w₁ = 4v₁ − 2v₂ ; w₂ = 2v₁ + v₂ et w₃ = v₁ + v₂.

Exercice 3

a.

X = (x, y, z) ∈ E ⇔ 2x − y + 3z = 0

⇔ y = 2x + 3z

⇔ X = (x, 2x + 3z, z)

⇔ X = (x, 2x, 0) + (0, 3z, z)

⇔ X = x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1)

Donc tout vecteur de E s’écrit sous forme de combinaison linéaire de v₁ = (1, 2, 0) et v₂ = (0, 3, 1), {v₁, v₂} est alors une famille génératrice de E.

Donc tout vecteur de F s’écrit sous forme de combinaison linéaire de w₁ = (1, 0, 0) et w₂ = (0, 1, 1), {w₁, w₂} est alors une famille génératrice de F.

b. Déterminons d’abord les éléments de E ⋂ F :

X = (x, y, z) ∈ E ⋂ F ⇔ 2x − y + 3z = 0 et y = z

⇔ 2x + 2z = 0 et y = z

⇔ x = − z = − y

⇔ X = (−z, z, z) = z(−1, 1, 1)

E ⋂ F est donc le sous-espace vectoriel de E et de F engendré par (−1, 1, 1).

Exercice 4

Il est clair que si tous les a_i sont nuls alors E = ℝⁿ.

Supposons que les a_i ne sont pas tous nuls, par exemple a₁ ≠ 0, nous allons écrire les éléments de E sous forme de combinaisons linéaires, ce qui montrera que E est un sous espace vectoriel

X ∈ E ⇔ a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = 0

⇔ x₁ = − a₂/a₁ x₂ − a₃/a₁ x₃ − … − a_n/a₁ x_n

⇔ X = (− a₂/a₁ x₂ − a₃/a₁ x₃ − … − a_n/a₁ x_n , x₂, … , x_n)

⇔ X = x₂ (− a₂/a₁, 1, 0, … , 0) + x₃(− a₃/a₁, 0, 1, 0, … , 0)+ … + x_n(− a_n/a₁, 0, 0, … , 1)

En posant

v₂ = (− a₂/a₁, 1, 0, … , 0) ; v₃ = (− a₃/a₁, 0, 1, 0, … , 0) ; … ; v_n = (− a_n/a₁, 0, 0, … , 1)

On a X = x₂v₂ + x₃v₃ + … + x_nv_n

E est donc le sous-espaces de ℝⁿ engendré par la famille {v₂, v₃, … , v_n}

Exercice 6

a.

• On a vu que dans un espace vectoriel de dimension n, plus de n vecteurs sont nécessairement liés. La famille {v₁, v₂, v₃, v₄, v₅} est donc liée puisqu’elle contient 5 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 4.

Les vecteurs v₁ et v₅ sont proportionnels, v₅ = 2v₁, la famille {v₁, v₅} est donc liée.

La famille {v₁, v₂, v₅} est liée puisqu’elle contient deux vecteurs liés, v₁ et v₅.

• Pour vérifier si une famille est libre ou liée, on écrit une combinaison linéaire nulle et on regarde si tous les coefficients sont nuls.

Cliquer ici pour télécharger Espaces vectoriels exercices corrigés S2 (Correction) pdf

Vous pouvez aussi consulter :

• Les applications linéaires exercices corrigés