Espaces vectoriels exercices corrigés S2. (Bac + 1/Sciences économiques s2)
Exercice 1 (Espaces vectoriels exercices corrigés S2)
Les ensembles suivants sont-ils des sous espaces vectoriels :
- E = {(x1, x2, x3) ∈ ℝ3 : x1x2 = x3}
- F = {(x1, x2, x3) ∈ ℝ3 : 2x1 − x2 + 3x3 = 0}
- G = {ƒ ∈ C([a, b]) : ƒ(a) = 0}
Exercice 2
Déterminer les sous-espaces vectoriels de ℝ3 engendrés par les vecteurs :
- v1 = (1,1,0) ; v2 = (−1,2,−1)
- w1 = (6,0,2) ; w2 = (1,4,−1) ; w3 = (0,3,−1)
Que remarquez-vous ?
Exercice 3
Soient les deux sous-espaces vectoriels
E = {(x, y, z) ∈ ℝ3 : 2x − y + 3z = 0} et F = {(x, y, z) ∈ ℝ3 : y = z}
- Donner une famille génératrice de E et une famille génératrice de F.
- Vérifier que E ⋂ F est un sous-espaces vectoriel et trouver une famille génératrice.
Exercice 4
Soit E = {(x1, x2, …, xn) ∈ ℝ3 : a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0}
- Montrer que E est un sous-espace vectoriel de ℝn et trouver une famille génératrice de E.
Exercice 5
Soit E un espace vectoriel sur ℝ et soient V et W deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que V ⋂ W est un sous-espace vectoriel de E. Que peut-on dire de V ⋂ W ?
Exercice 6 (Espaces vectoriels exercices corrigés S2)
- On donne les cinq vecteurs de ℝ4 :
v1 = (1, −2, 0, 4) ; v2 = (0, −3, 0, 1) ; v3 = (2, −1, 0, 7) ; v4 = (1, 1, 0, −1) ; v5 = (2, −4, 0, 8)
- Justifier, sans faire de calcul, que les familles suivantes sont liées :
{v1, v2, v3, v4, v5} ; {v1, v5} ; {v1, v2, v5}
- Les familles suivantes sont-elles libres ou liées ?
{v1, v2, v3} ; {v2, v3, v4} ; {v2, v3, v4, v5}
2. Soient w1, w2, w3 trois vecteurs linéairement indépendants dans un espace vectoriel E, que peut-on dire des familles
{(w1 + w2), (w1 + w3), (w2 + w3)} et {(w1 + w2), (w1 − w3), (w2 + w3)} ?
3. On considère dans P3(ℝ), les trois polynômes suivants :
P1(x) = x3 − 1 ; P2(x) = x3 − 2x + k ; P3(x) = x + 1
Où k est un paramètre réel.
Pour quelle valeur de k la famille {P1, P2, P3} est-elle liée ?
Exercice 7
Soit P2(ℝ) l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
Posons q0(x) = 1 ; q1(x) = x − 1 et q2(x) = (x − 1)2
- Vérifier que la famille {q0, q1, q2} est une base de P2(ℝ)
Exercice 8
Soit le sous-espace vectoriel
E = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4, x − 3y + 2z − t = 0}
- Trouver une base de B1 de E.
- Vérifier que la famille B2 = {(1, 1, 1, 0) ; (−1, 1, 2, 0) ; (−3, −1, 1, 2)} est une base de E.
- Donner les composantes du vecteur v = (2, −2, −3, 2) dans les bases de B1 et B2.
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Correction des exercices
Exercice 1
- E ⊂ ℝ3, E ≠ ∅ car le vecteur (0, 0, 0) ∈ E, mais E n’est pas stable pour l’addition, en effet, si on prend par exemple X = (1, 1, 1) et Y = (1, 0, 0), on a bien X ∈ E et Y ∈ E mais X + Y = (2, 1, 1) ∉ E, donc E n’est pas un sous-espace vectoriel.
- F ⊂ ℝ3 est un sous-espace vectoriel de ℝ3, en effet
0 ∈ F, donc F ≠ ∅
Si x = (x1, x2, x3) ∈ F et y = (y1, y2, y3) ∈ F on a
2x1 − x2 + 3x3 = 0 et 2y1 − y2 + 3y3 = 0
Vérifions que x + y ∈ F. On a
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
Et 2(x1 + y1) − (x2 + y2) + 3(x3 + y3) = (2x1 − x2 + 3x3) + (2y1 − y2 + 3y3) = 0
∀λ ∈ ℝ, ∀x ∈ F, λx = (λx1, λx2, λx3) et
2λx1 − λx2 + 3λx3 = λ(2x1 − x2 + 3x3) = 0 ⇒ λx ∈ F.
- G ⊂ C[(a, b)] est un sous-espace vectoriel de C[(a, b)], en effet
La fonction nulle ∈ G donc G ≠ ∅
Si ƒ ∈ G et g ∈ G, on a (ƒ + g)(a) = ƒ(a) + g(a) = 0 donc ƒ + g ∈ G
Exercice 2
- Appelons V le sous-espaces vectoriel de ℝ3 engendré par les vecteurs v1 et v2.
Soit X = (x, y, z) un vecteur de ℝ3, alors
X ∈ V ⇔ (x, y, z) = λ1v1 + λ2v2
⇔ (x, y, z) = (λ1 − λ2, λ1 + 2λ2, − λ2)
⇔ {x = λ1 − λ2 et y = λ1 + 2λ2 et z = − λ2
⇔ x − y = 3z
Donc les composantes (x, y, z) de tous les vecteurs de V vérifient x − y + 3z = 0
D’où V = {(x , y, z) ∈ ℝ3 : x − y − 3z = 0}
- Appelons W le sous-espaces vectoriel de ℝ3 engendré par les vecteurs w1, w2 et w3. Soit X = (x, y, z) un vecteur de ℝ3, alors
X ∈ W ⇔ (x, y, z) = λ1w1 + λ2w2 + λ3w3
⇔ (x, y, z) = (6λ1 + λ2, 4λ2 + 3λ3, 2λ1 − λ2 − λ3)
⇔ {x = 6λ1 + λ2 , y = 4λ2 + 3λ3 et z = 2λ1 − λ2 − λ3
⇔ x − y = 3z
Donc W = {(x , y, z) ∈ ℝ3 : x − y − 3z = 0}
Remarquer que V = W et que ceci est dû, en partie, au fait que w1, w2 et w3 sont eux même des vecteurs de V ; on peut l’établir soit en remarquant que les composantes de w1, w2 et w3 vérifient la condition x − y − 3z = 0, soit en remarquant que
w1 = 4v1 − 2v2 ; w2 = 2v1 + v2 et w3 = v1 + v2.
Exercice 3
a.
X = (x, y, z) ∈ E ⇔ 2x − y + 3z = 0
⇔ y = 2x + 3z
⇔ X = (x, 2x + 3z, z)
⇔ X = (x, 2x, 0) + (0, 3z, z)
⇔ X = x(1, 2, 0) + z(0, 3, 1)
Donc tout vecteur de E s’écrit sous forme de combinaison linéaire de v1 = (1, 2, 0) et v2 = (0, 3, 1), {v1, v2} est alors une famille génératrice de E.
Donc tout vecteur de F s’écrit sous forme de combinaison linéaire de w1 = (1, 0, 0) et w2 = (0, 1, 1), {w1, w2} est alors une famille génératrice de F.
b. Déterminons d’abord les éléments de E ⋂ F :
X = (x, y, z) ∈ E ⋂ F ⇔ 2x − y + 3z = 0 et y = z
⇔ 2x + 2z = 0 et y = z
⇔ x = − z = − y
⇔ X = (−z, z, z) = z(−1, 1, 1)
E ⋂ F est donc le sous-espace vectoriel de E et de F engendré par (−1, 1, 1).
Exercice 4
Il est clair que si tous les ai sont nuls alors E = ℝn.
Supposons que les ai ne sont pas tous nuls, par exemple a1 ≠ 0, nous allons écrire les éléments de E sous forme de combinaisons linéaires, ce qui montrera que E est un sous espace vectoriel
X ∈ E ⇔ a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0
⇔ x1 = − a2/a1 x2 − a3/a1 x3 − … − an/a1 xn
⇔ X = (− a2/a1 x2 − a3/a1 x3 − … − an/a1 xn , x2, … , xn)
⇔ X = x2 (− a2/a1, 1, 0, … , 0) + x3(− a3/a1, 0, 1, 0, … , 0)+ … + xn(− an/a1, 0, 0, … , 1)
En posant
v2 = (− a2/a1, 1, 0, … , 0) ; v3 = (− a3/a1, 0, 1, 0, … , 0) ; … ; vn = (− an/a1, 0, 0, … , 1)
On a X = x2v2 + x3v3 + … + xnvn
E est donc le sous-espaces de ℝn engendré par la famille {v2, v3, … , vn}
Exercice 6
a.
- On a vu que dans un espace vectoriel de dimension n, plus de n vecteurs sont nécessairement liés. La famille {v1, v2, v3, v4, v5} est donc liée puisqu’elle contient 5 vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 4.
Les vecteurs v1 et v5 sont proportionnels, v5 = 2v1, la famille {v1, v5} est donc liée.
La famille {v1, v2, v5} est liée puisqu’elle contient deux vecteurs liés, v1 et v5.
- Pour vérifier si une famille est libre ou liée, on écrit une combinaison linéaire nulle et on regarde si tous les coefficients sont nuls.
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