Algèbre linéaire les applications linéaires Exercices corrigés

Les applications linéaires exercices corrigés

Les applications linéaires exercices corrigés (Économie université – TD)

Exercice 1

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

  • ƒ1(x, y, z, t) = (x − z + 2t, 2z − x + 2t − 3y, y + z − 2t + 3)
  • ƒ2(x, y, z) = (2x + 3yz, x − 2y, z − x)
  • ƒ4(P) = P′,PPn() et P′ son polynôme dérivé
Exercice 2

Soient v1 = (1, 1, 1) , v2 = (2, −1, 3) , v3 = (0, 3, −1) et ƒ une application linéaire de 3 dans 3 telle que ƒ(v1) = (0, −2, 3) et ƒ(v2) = (−2, 1, 1)

  • Calculer ƒ(2, 2, 2) et ƒ(v3).
Exercice 3

Soit ƒ l’application linéaire de 4 dans 4 par :

ƒ(x, y, z, t) = (−3y + 2z + t, x + 3t, x − y + z + 3t, y − z)

  • Trouver Imƒ et Kerƒ
Exercice 4

Soit ƒ une application linéaire de 3 dans 3 , telle que

ƒ(2, 0, α) = (−3α, 2, 1) , ƒ(1, 1, −1) = (2, −1, 1) et ƒ(3, 0, −1) = (3, 3, 3)

  1. A quelle condition sur α , ces trois relations définissent-elles ƒ ?
  2. Pour α = −1/3, donner l’image d’un vecteur quelconque de 3.
Exercice 5

Soit ƒ l’application linéaire de 3 dans 3 définie par :

ƒ(x, y, z) = (x − y − 2z; 3x − 2y + z)

Et soient v1 = (1, 1, −2) ; v2 = (0, 1, −1) et v3 = (3, 1, 0) trois vecteurs de 3.

  1. Vérifier que v = {v1, v2, v3} est une base de 3.
  2. Écrire la matrice de ƒ quand 2 et 3 sont munis de leur base canonique
  3. Écrire la matrice de ƒ quand 3 est muni de la base v et 2 de sa base canonique.
  4. Écrire la matrice de ƒ quand 3 est muni de la base v et 2 de la base w = {w1, w2} avec w1 = (1, 1) et w2 = (−1, 2)
Exercice 6

Déterminer l’application linéaire ƒ de 3 dans 3 dont la matrice associée, par rapport aux bases canoniques, est donnée par :

\inline M(f)= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0\\ 0& 2& 1\\ 1 & -1 &-3 \end{bmatrix}
Exercice 7

Soit ƒ l’application linéaire de 4 dans 3 définie par :

ƒ(x1, x2, x3, x4) = (x1 − 2x2 + x4, x2 − x3, x1 + 2x4)

  1. Déterminer Kerƒ et Imƒ.
  2. Donner la matrice A associée à ƒ relativement aux bases canoniques de 4 et 3.
  3. Donner la matrice B associée à ƒ quand 4 est muni de sa base canonique et 3 est muni de la base w = {w1, w2, w3}, avec : w1= (1, 1, 0) ; w2 = (−1, 0, 2) ; w3 = (1, 1, −1)
  4. Connaissant la matrice B, retrouver l’application ƒ.

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Correction des exercices (les applications linéaires exercices corrigés)
Exercice 1
  • ƒ1 n’est pas linéaire car elle ne vérifie pas la condition nécessaire ƒ(0) = 0, puisque dans ce cas, on a ƒ(0, 0, 0, 0) = (0, 0, 3).
  • ƒ2 n’est pas linéaire, en effet, si X = (x, y, z).

ƒ(2X) = ƒ(2x, 2y, 2z) = 2(2x + 6yz, x − 2y, z − x) ≠ 2ƒ(x)

  • ƒ4 est linéaire, en effet, ∀P Pn(), ∀(α, β) ∈ 2, on a :

ƒ4(αP + βQ) = (αP + βQ)′ = αP′ + βQ′ = αƒ4(P) + βƒ4(Q)

Exercice 2
  • Pour calculer ƒ(2, 2, 2), il suffit de remarquer que (2, 2, 2) = 2v1 et donc

ƒ(2, 2, 2) = ƒ(2v1) = 2ƒ(v1) = 2(0, −2, 3) = (2, −4, 6)

  • Pour calculer ƒ(v3), connaissant uniquement ƒ(v1) et ƒ(v2), il faudrait pouvoir exprimer v3 en fonction de v1 et v2. On voit facilement que v3 = 2v1 − v2. (Dans le cas où la relation n’apparait pas de manière évidente, on cherche des scalaires λ1, λ2, λ3 tels que λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = 0). On a

v3 = 2v1 − v2 ⇒ ƒ(v3) = ƒ(2v1 − v2) = 2ƒ(v1) − ƒ(v2) = (2, −4, 6) − (−2, 1, 1) = (4, −5, 5)

Exercice 3

Connaître les sous-espaces vectoriels Imƒ et Kerƒ revient à en déterminer une base.

  • Imƒ est l’ensemble des ƒ(x, y, z, t), (x, y, z, t) ∈ 4. On a

ƒ(x, y, z, t) = (−3y + 2z + t, x + 3t, x − y + z + 3t, y − z)

= x(0, 1, 1, 0) + y(−3, 0, −1, 1) + z(2, 0, 1, −1) + t(1, 3, 3, 0)

Imƒ est donc engendré par les 4 vecteurs

v1 = (0, 1, 1, 0) ; v2 = (−3, 0, −1, 1) ; v3 = (2, 0, 1, −1) et v4 = (1, 3, 3, 0)

Ces vecteurs sont-ils linéairement indépendantes ?

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Ayoub Matioui

Economiste de formation et professeur d'économie ; avec l'aide de mon équipe, nous aidons les étudiants et élèves en difficulté concernant la compréhension des cours entretenus en classes. Aussi, nous mettons en place une stratégie d'orientation pour les étudiants souhaitant développer leurs connaissances acquises et voulant se projeter dans le monde de la communication et de l'information.

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