Les applications linéaires exercices corrigés

Les applications linéaires exercices corrigés (Économie université – TD)

Exercice 1 (Les applications linéaires exercices corrigés)

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

ƒ₁(x, y, z, t) = (x − z + 2t, 2z − x + 2t − 3y, y + z − 2t + 3)
ƒ₂(x, y, z) = (2x + 3yz, x − 2y, z − x)
ƒ₄(P) = P′, où P ∈ P_n(ℝ) et P′ son polynôme dérivé

Exercice 2

Soient v₁ = (1, 1, 1) , v₂ = (2, −1, 3) , v₃ = (0, 3, −1) et ƒ une application linéaire de ℝ³ dans ℝ³ telle que ƒ(v₁) = (0, −2, 3) et ƒ(v₂) = (−2, 1, 1)

Calculer ƒ(2, 2, 2) et ƒ(v₃).

Exercice 3

Soit ƒ l’application linéaire de ℝ⁴ dans ℝ⁴ par :

ƒ(x, y, z, t) = (−3y + 2z + t, x + 3t, x − y + z + 3t, y − z)

Trouver Imƒ et Kerƒ

Exercice 4

Soit ƒ une application linéaire de ℝ³ dans ℝ³ , telle que

ƒ(2, 0, α) = (−3α, 2, 1) , ƒ(1, 1, −1) = (2, −1, 1) et ƒ(3, 0, −1) = (3, 3, 3)

A quelle condition sur α ∈ ℝ, ces trois relations définissent-elles ƒ ?
Pour α = −1/3, donner l’image d’un vecteur quelconque de ℝ³.

Exercice 5

Soit ƒ l’application linéaire de ℝ³ dans ℝ³ définie par :

ƒ(x, y, z) = (x − y − 2z; 3x − 2y + z)

Et soient v₁ = (1, 1, −2) ; v₂ = (0, 1, −1) et v₃ = (3, 1, 0) trois vecteurs de ℝ³.

Vérifier que v = {v₁, v₂, v₃} est une base de ℝ³.
Écrire la matrice de ƒ quand ℝ² et ℝ³ sont munis de leur base canonique
Écrire la matrice de ƒ quand ℝ³ est muni de la base v et ℝ² de sa base canonique.
Écrire la matrice de ƒ quand ℝ³ est muni de la base v et ℝ² de la base w = {w₁, w₂} avec w₁ = (1, 1) et w₂ = (−1, 2)

Exercice 6

Déterminer l’application linéaire ƒ de ℝ³ dans ℝ³ dont la matrice associée, par rapport aux bases canoniques, est donnée par :

\inline M(f)= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0\\ 0& 2& 1\\ 1 & -1 &-3 \end{bmatrix}

Exercice 7

Soit ƒ l’application linéaire de ℝ⁴ dans ℝ³ définie par :

ƒ(x₁, x₂, x₃, x₄) = (x₁ − 2x₂ + x₄, x₂ − x₃, x₁ + 2x₄)

Déterminer Kerƒ et Imƒ.
Donner la matrice A associée à ƒ relativement aux bases canoniques de ℝ⁴ et ℝ³.
Donner la matrice B associée à ƒ quand ℝ⁴ est muni de sa base canonique et ℝ³ est muni de la base w = {w₁, w₂, w₃}, avec : w₁= (1, 1, 0) ; w₂ = (−1, 0, 2) ; w₃ = (1, 1, −1)
Connaissant la matrice B, retrouver l’application ƒ.

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Correction des exercices (les applications linéaires exercices corrigés)

Exercice 1

ƒ₁ n’est pas linéaire car elle ne vérifie pas la condition nécessaire ƒ(0) = 0, puisque dans ce cas, on a ƒ(0, 0, 0, 0) = (0, 0, 3).
ƒ₂ n’est pas linéaire, en effet, si X = (x, y, z).

ƒ(2X) = ƒ(2x, 2y, 2z) = 2(2x + 6yz, x − 2y, z − x) ≠ 2ƒ(x)

ƒ₄ est linéaire, en effet, ∀P ∈ P_n(ℝ), ∀(α, β) ∈ ℝ², on a :

ƒ₄(αP + βQ) = (αP + βQ)′ = αP′ + βQ′ = αƒ₄(P) + βƒ₄(Q)

Exercice 2

Pour calculer ƒ(2, 2, 2), il suffit de remarquer que (2, 2, 2) = 2v₁ et donc

ƒ(2, 2, 2) = ƒ(2v₁) = 2ƒ(v₁) = 2(0, −2, 3) = (2, −4, 6)

Pour calculer ƒ(v₃), connaissant uniquement ƒ(v₁) et ƒ(v₂), il faudrait pouvoir exprimer v₃ en fonction de v₁ et v₂. On voit facilement que v₃ = 2v₁ − v₂. (Dans le cas où la relation n’apparait pas de manière évidente, on cherche des scalaires λ₁, λ₂, λ₃ tels que λ₁v₁ + λ₂v₂ + λ₃v₃ = 0). On a

v₃ = 2v₁ − v₂ ⇒ ƒ(v₃) = ƒ(2v₁ − v₂) = 2ƒ(v₁) − ƒ(v₂) = (2, −4, 6) − (−2, 1, 1) = (4, −5, 5)

Exercice 3

Connaître les sous-espaces vectoriels Imƒ et Kerƒ revient à en déterminer une base.

Imƒ est l’ensemble des ƒ(x, y, z, t), (x, y, z, t) ∈ ℝ⁴. On a

ƒ(x, y, z, t) = (−3y + 2z + t, x + 3t, x − y + z + 3t, y − z)

= x(0, 1, 1, 0) + y(−3, 0, −1, 1) + z(2, 0, 1, −1) + t(1, 3, 3, 0)

Imƒ est donc engendré par les 4 vecteurs

v₁ = (0, 1, 1, 0) ; v₂ = (−3, 0, −1, 1) ; v₃ = (2, 0, 1, −1) et v₄ = (1, 3, 3, 0)

Ces vecteurs sont-ils linéairement indépendantes ?

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