Les matrices exercices corrigés S2. (Bac + 1/Sciences économiques s2)
Exercice 1 (Les matrices exercices corrigés S2)
Soient A, B et C les trois matrices
Calculer, quand c’est possible :
- 2A + 3B ; 2A − 3C ; C − B,
- AB ; AC ; BC ; B2 ; ABC ; CAB.
Exercice 2
Soient ƒ et g les applications linéaires de ℝ3 dans ℝ3 définies par :
ƒ(x, yz) = (−x + z, −2x + y + z, −y) et g(x, y, z) = (x − y − z, −z, 2x − y − z)
- Déterminer les matrices A = M(ƒ), B = M(g) et C = M(ƒog) associés à ƒ, à g et à ƒog, par rapport aux bases canoniques de ℝ3.
- Vérifier que M(ƒog) = M(ƒ)M(g) et en déduire A−1 et g−1
Exercice 3
Soit E l’ensemble des matrices de la forme :
- Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M(3, 3) et donner une base B de E
- On considère l’application ƒ de E dans E, définie par ƒ[M(a, b)] = M(a + b; a+ b)
- Vérifier que ƒ est une application linéaire
- Déterminer son noyau
- Donner la matrice de ƒ par rapport à la base B
Exercice 4
Soient B1, B2 et B3 les trois bases de ℝ2 définies par :
B1 = {(−4, 1); (5, 1)}; B2 = {(−2, 5); (1, 2)} et B3 = {(1, −1); (2, 1)}
- Donner les matrices de passage B1 à B2 , de B2 à B3 et de B1 à B3 .
- Si X = (1, 1) dans la base B1, utiliser les matrices précédentes pour déterminer les composantes de X dans les bases B2 et B3.
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Correction des exercices
Exercice 1
- On ne peut faire de combinaisons linéaires que pour des matrices de même type, donc les opérations 2A + 3B et C − B ne sont pas possibles, seule la combinaison 2A − 3C est possible et on a :
et
- Le produit de matrices n’est possible que s’il est de la forme (n, p) × (p, m),
AB est du type (3, 3) × (3, 2), produit possible et le résultat est de type (3, 2) :
AC est du type (3, 3) × (3, 3), produit possible et le résultat est de type (3, 3) :
BC est de la forme (3, 2) × (3, 3), produit impossible.
B2 est de la forme (3, 2) × (3, 2), produit impossible.
ABC est impossible puisque AB est du type (3, 2) et C est du type (3, 3).
CAB est possible puisque C est du type (3, 3) et AB est du type (3, 2) :
Exercice 2
a. Pour déterminer M(ƒ), M(g) et M(ƒog) il suffit de calculer les images de la base canonique de ℝ3 . On a
ƒ(e1) = ƒ(1, 0, 0) = (−1, −2, 0) ; g(e1) = g(1, 0, 0) = (1, 0, 2) ; (ƒog)(e1) = ƒ(1, 0, 2) = (1, 0, 0)
ƒ(e2) = ƒ(0, 1, 0) = (0, 1, −1) ; g(e2) = g(0, 1, 0) = (−1, 0, −1) ; (ƒog)(e2) = ƒ(−1, 0, −1) = (0, 1, 0)
ƒ(e3) = ƒ(0, 0, 1) = (1, 1, 0) ; g(e3) = g(0, 0, 1) = (−1, −1, −1) ; (ƒog)(e3) = ƒ(−1, −1, −1) = (0, 0, 1)
D’où
b. On vérifie facilement que AB = I = C, d’où, A−1 = B et g−1 = ƒ puisque la matrice de g−1 est B−1 = A.
Exercice 3
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