Les matrices exercices corrigés S2

Les matrices exercices corrigés S2. (Bac + 1/Sciences économiques s2)

Exercice 1 (Les matrices exercices corrigés S2)

Soient A, B et C les trois matrices

$Les matrices exercices corrigés S2$

Calculer, quand c’est possible :

2A + 3B ; 2A − 3C ; C − B,
AB ; AC ; BC ; B² ; ABC ; CAB.

Exercice 2

Soient ƒ et g les applications linéaires de ℝ³ dans ℝ³ définies par :

ƒ(x, yz) = (−x + z, −2x + y + z, −y) et g(x, y, z) = (x − y − z, −z, 2x − y − z)

Déterminer les matrices A = M(ƒ), B = M(g) et C = M(ƒog) associés à ƒ, à g et à ƒog, par rapport aux bases canoniques de ℝ³.
Vérifier que M(ƒog) = M(ƒ)M(g) et en déduire A⁻¹ et g⁻¹

Exercice 3

Soit E l’ensemble des matrices de la forme :

Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M(3, 3) et donner une base B de E
On considère l’application ƒ de E dans E, définie par ƒ[M(a, b)] = M(a + b; a+ b)
- Vérifier que ƒ est une application linéaire
- Déterminer son noyau
- Donner la matrice de ƒ par rapport à la base B

Exercice 4

Soient B₁, B₂ et B₃ les trois bases de ℝ² définies par :

B₁ = {(−4, 1); (5, 1)}; B₂ = {(−2, 5); (1, 2)} et B₃ = {(1, −1); (2, 1)}

Donner les matrices de passage B₁ à B₂ , de B₂ à B₃ et de B₁ à B₃ .
Si X = (1, 1) dans la base B₁, utiliser les matrices précédentes pour déterminer les composantes de X dans les bases B₂ et B₃.

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Correction des exercices

Exercice 1

On ne peut faire de combinaisons linéaires que pour des matrices de même type, donc les opérations 2A + 3B et C − B ne sont pas possibles, seule la combinaison 2A − 3C est possible et on a :

$Les matrices exercices corrigés S2$

et $\inline 2A-3C=\begin{bmatrix} 2 &15 &-2 \\ 8& -1 &-5 \\ 12 &-1 &10 \end{bmatrix}$

Le produit de matrices n’est possible que s’il est de la forme (n, p) × (p, m),

AB est du type (3, 3) × (3, 2), produit possible et le résultat est de type (3, 2) :

\inline \begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ -2&4 &-1 \\ 3&-2 &-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 1&-3 \\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 4\\ 8&-17 \\ -8&7 \end{bmatrix}

AC est du type (3, 3) × (3, 3), produit possible et le résultat est de type (3, 3) :

$\inline \begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ -2&4 &-1 \\ 3&-2 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &-5 &2 \\ -4&3 &1 \\ -2&-1 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 &-7 &2 \\ -14&23 &0 \\ -2&-26 &4 \end{bmatrix}$

BC est de la forme (3, 2) × (3, 3), produit impossible.

B² est de la forme (3, 2) × (3, 2), produit impossible.

ABC est impossible puisque AB est du type (3, 2) et C est du type (3, 3).

CAB est possible puisque C est du type (3, 3) et AB est du type (3, 2) :

$\inline CAB=\begin{bmatrix} 0 &-5 &2 \\ -4&3 &1 \\ -2&-1 &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 &2 \\ -2&4 &-1 \\ 3 &-2 &-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 1&-3 \\ 0&1 \end{bmatrix}$

$\inline =\begin{bmatrix} 0 &-5 &2 \\ -4&3 &1 \\ -2&-1 &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 &4 \\ 8&-17 \\ -8 & 7 \end{bmatrix}$

$\inline =\begin{bmatrix} -56 &99 \\ 24 & -60\\ -4 & 9 \end{bmatrix}$

Exercice 2

a. Pour déterminer M(ƒ), M(g) et M(ƒog) il suffit de calculer les images de la base canonique de ℝ³ . On a

ƒ(e₁) = ƒ(1, 0, 0) = (−1, −2, 0) ; g(e₁) = g(1, 0, 0) = (1, 0, 2) ; (ƒog)(e₁) = ƒ(1, 0, 2) = (1, 0, 0)

ƒ(e₂) = ƒ(0, 1, 0) = (0, 1, −1) ; g(e₂) = g(0, 1, 0) = (−1, 0, −1) ; (ƒog)(e₂) = ƒ(−1, 0, −1) = (0, 1, 0)

ƒ(e₃) = ƒ(0, 0, 1) = (1, 1, 0) ; g(e₃) = g(0, 0, 1) = (−1, −1, −1) ; (ƒog)(e₃) = ƒ(−1, −1, −1) = (0, 0, 1)

D’où $\inline A=M(f)=\begin{bmatrix} -1 &0 &1 \\ -2&1 &1 \\ 0&-1 &0 \end{bmatrix};B=M(g)=\begin{bmatrix} 1 &-1 &-1 \\ 0&0 &-1 \\ 2 &-1 &-1 \end{bmatrix}; C=M(fog)=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}$