Les matrices exercices corrigés S2

Les matrices exercices corrigés S2

Les matrices exercices corrigés S2. (Bac + 1/Sciences économiques s2)

Exercice 1 (Les matrices exercices corrigés S2)

Soient A, B et C les trois matrices

Les matrices exercices corrigés S2

Calculer, quand c’est possible :

  • 2A + 3B ; 2A − 3C ; C − B,
  • AB ; AC ; BC ; B2 ; ABC ; CAB.

Exercice 2

Soient ƒ et g les applications linéaires de 3 dans 3 définies par :

ƒ(x, yz) = (−x + z, −2x + y + z, −y) et g(x, y, z) = (x − y − z, −z, 2x − y − z)

  1. Déterminer les matrices A = M(ƒ), B = M(g) et C = M(ƒog) associés à ƒ, à g et à ƒog, par rapport aux bases canoniques de 3.
  2. Vérifier que M(ƒog) = M(ƒ)M(g) et en déduire A−1 et g−1

Exercice 3

Soit E l’ensemble des matrices de la forme :

Les matrices exercices corrigés S2
  1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M(3, 3) et donner une base B de E
  2. On considère l’application ƒ de E dans E, définie par ƒ[M(a, b)] = M(a + b; a+ b)
    • Vérifier que ƒ est une application linéaire
    • Déterminer son noyau
    • Donner la matrice de ƒ par rapport à la base B

Exercice 4

Soient B1, B2 et B3 les trois bases de 2 définies par :

B1 = {(−4, 1); (5, 1)}; B2 = {(−2, 5); (1, 2)} et B3 = {(1, −1); (2, 1)}

  1. Donner les matrices de passage B1 à B2 , de B2 à B3 et de B1 à B3 .
  2. Si X = (1, 1) dans la base B1, utiliser les matrices précédentes pour déterminer les composantes de X dans les bases B2 et B3.

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Correction des exercices

Exercice 1

  1. On ne peut faire de combinaisons linéaires que pour des matrices de même type, donc les opérations 2A + 3B et C − B ne sont pas possibles, seule la combinaison 2A − 3C est possible et on a :

Les matrices exercices corrigés S2

et \inline 2A-3C=\begin{bmatrix} 2 &15 &-2 \\ 8& -1 &-5 \\ 12 &-1 &10 \end{bmatrix}

  • Le produit de matrices n’est possible que s’il est de la forme (n, p) × (p, m),

AB est du type (3, 3) × (3, 2), produit possible et le résultat est de type (3, 2) :

\inline \begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ -2&4 &-1 \\ 3&-2 &-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 1&-3 \\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 4\\ 8&-17 \\ -8&7 \end{bmatrix}

AC est du type (3, 3) × (3, 3), produit possible et le résultat est de type (3, 3) :

\inline \begin{bmatrix} 1 &0 &2 \\ -2&4 &-1 \\ 3&-2 &5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &-5 &2 \\ -4&3 &1 \\ -2&-1 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4 &-7 &2 \\ -14&23 &0 \\ -2&-26 &4 \end{bmatrix}

BC est de la forme (3, 2) × (3, 3), produit impossible.

B2 est de la forme (3, 2) × (3, 2), produit impossible.

ABC est impossible puisque AB est du type (3, 2) et C est du type (3, 3).

CAB est possible puisque C est du type (3, 3) et AB est du type (3, 2) :

\inline CAB=\begin{bmatrix} 0 &-5 &2 \\ -4&3 &1 \\ -2&-1 &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 &2 \\ -2&4 &-1 \\ 3 &-2 &-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 1&-3 \\ 0&1 \end{bmatrix}

\inline =\begin{bmatrix} 0 &-5 &2 \\ -4&3 &1 \\ -2&-1 &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 &4 \\ 8&-17 \\ -8 & 7 \end{bmatrix}

\inline =\begin{bmatrix} -56 &99 \\ 24 & -60\\ -4 & 9 \end{bmatrix}

Exercice 2

a. Pour déterminer M(ƒ), M(g) et M(ƒog) il suffit de calculer les images de la base canonique de 3 . On a

ƒ(e1) = ƒ(1, 0, 0) = (−1, −2, 0) ; g(e1) = g(1, 0, 0) = (1, 0, 2) ; (ƒog)(e1) = ƒ(1, 0, 2) = (1, 0, 0)

ƒ(e2) = ƒ(0, 1, 0) = (0, 1, −1) ; g(e2) = g(0, 1, 0) = (−1, 0, −1) ; (ƒog)(e2) = ƒ(−1, 0, −1) = (0, 1, 0)

ƒ(e3) = ƒ(0, 0, 1) = (1, 1, 0) ; g(e3) = g(0, 0, 1) = (−1, −1, −1) ; (ƒog)(e3) = ƒ(−1, −1, −1) = (0, 0, 1)

D’où \inline A=M(f)=\begin{bmatrix} -1 &0 &1 \\ -2&1 &1 \\ 0&-1 &0 \end{bmatrix};B=M(g)=\begin{bmatrix} 1 &-1 &-1 \\ 0&0 &-1 \\ 2 &-1 &-1 \end{bmatrix}; C=M(fog)=\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{bmatrix}

b. On vérifie facilement que AB = I = C, d’où, A−1 = B et g−1 = ƒ puisque la matrice de g−1 est B−1 = A.  

Exercice 3

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Ayoub Matioui

Economiste de formation et professeur d'économie ; avec l'aide de mon équipe, nous aidons les étudiants et élèves en difficulté concernant la compréhension des cours entretenus en classes. Aussi, nous mettons en place une stratégie d'orientation pour les étudiants souhaitant développer leurs connaissances acquises et voulant se projeter dans le monde de la communication et de l'information.

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