Logique et raisonnement cours

Logique et raisonnement cours. C’est un cours complet et bien détaillé sur la logique et raisonnement en format pdf (Bac+1/Math sup).

Logique (Logique et raisonnement cours)

Assertions (Propositions)

Définition 1 (Logique et raisonnement cours)

En logique, une assertion (ou proposition) est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité (vrai ou faux).

Une assertion peut s’exprimer en langage courant ou en symboles mathématiques (on introduira les plus fréquents dans ce chapitre, d’autres viendront au fur et à mesure des besoins).

Exemple 2 (Logique et raisonnement cours)

• ″ 2 + 2 = 4 ″ est une assertion vraie.
• ″ 2 × 3 = 6 ″ est une assertion vraie.
• ″ 2 × 3 = 7 ″ est une assertion fausse.
• ″Pour tout x ∈ ℝ, on a : x² ≥ 0″ est une assertion vraie.

A partir d’une ou plusieurs assertions, on peut en construire d’autres. C’est l’objet des paragraphes suivants.

Connecteurs logiques (Logique et raisonnement cours)

Soient P et Q deux assertions. Les connecteurs logiques sont :

Opérateur ″ et ″ .

L’assertion « P et Q » (que l’on peut noter P ∨Q) est l’assertion qui est vrai si P et Q sont vraies, et fausse si au moins l’une des deux assertions P ou Q est fausse.

On résume ceci en une table de vérité :

Opérateur ″ ou ″.

L’assertion « P ou Q » (que l’on peut noter P ∧ Q) est l’assertion qui est vrai si au moins l’une des deux assertions P ou Q est vraie, et fausse si P et Q sont fausses.

On résume ceci en une table de vérité :

La négation ″ non ″.

Soit P une assertion. On définit sa négation, notée P (ou aussi nonP ou ⌉P ou P⁻), à partir de sa table de vérité.

Exemple 3

Donner la négation des assertions suivantes :

∎

P : ″ ƒ est la fonction nulle ″

et pour sa négation

P⁻ : ″ ƒ n’est pas la fonction nulle ″

∎

Q : ″ x ≥ 0 ″

et pour sa négation

Q⁻ : ″ x < 0 ″

∎

R : ″ n ∈ ℤ ″

et pour sa négation

R⁻ : ″ n ∉ ℤ ″

L’implication ⇒ .

Définition 4

Étant données deux assertions P et Q, l’assertion ″ Si P alors Q ″, ou ″ P implique Q ″ a même valeur logique que (non P) ou Q est notée

P ⇒ Q

Sa table de vérité est donc la suivante :

Exemple 5.

• ″−1 = 1 ⇒ (−1)² = 1 ″ L’assertion est vraie.
• ″ (−2)² = 2² ⇒  −2 = 2 ″ L’assertion est fausse.

Remarque 6  

La négation de P ⇒ Q est : P ou Q⁻.

Exemple 7

Soit n dans ℕ. On considère les deux assertions suivantes :

P : ″ n < 2 ″ et Q : ″n² = n ″

Montrer que : P ⇒ Q.

On suppose que l’assertion P est vraie. C’est-à-dire : n < 2 tel que n ∈ ℕ. Ceci signifie que : n ∈ {0, 1} .

• Si n = 0, alors : n² = 0 = n.
• Si n = 1, alors : n² = 1 = n.

Donc

P ⇒ Q.

Exemple 8

Soit x et y deux réels non nuls. On considère les deux assertions suivantes

P : ″2x + y = 1 ″ et Q : ″ 1/x²+y² ≤ 20 ″

Montrer que : P ⇒ Q.

On suppose que l’assertion P est vraie. C’est-à-dire : 2x + 4y = 1 tel que (x, y) ∈ ℝ².

Montrons que l’assertion Q est vraie.

On a : 2x + 4y = 1 d’où x = 1/2 − 2y.

On a

1/x²+y² − 20 = 1−20(x²+y²)/x²+y²

= 1−20((1/2−2y)²+y²)/x²+y²

= 1−20(1/4−2y+5y²)/x²+y²

= 1−5+40y−100y²/x²+y²

= −4+40y−100y²/x²+y²

= (10y−2)²/x²+y² ≤ 0

Donc : 1/x²+y² ≤ 20, ceci signifie que :

P ⇒ Q

L’équivalence ⇔ .

L’équivalence est définie par :

″ P ⇒ Q″ est l’assertion ″P ⇒ Q et Q ⇒ P″

On dira ″P est équivalent à Q ″ ou ″ P équivalent à Q ″ ou ″ P si et seulement si Q ″. Cette assertion est vraie lorsque P et Q sont varies ou lorsque P et Q sont fausse. La table de vérité est :

Remarque 9 .

• L’équivalence logique joue pour les assertions, le rôle que joue l’égalité pour les nombres.
• Une équivalence signifie DEUX implications, l’une de « gauche à droite » et l’autre de « droite à gauche ».
• Quand vous écrivez P ⇔ Q, vous devez être convaincu que l’assertion de gauche P entraîne l’assertion de droite Q et aussi que l’assertion de droite Q entraîne l’assertion de gauche P.

Propriété 10 (Lois de MORGAN)  

Soient P et Q deux assertions.

• P ou Q = P⁻ et Q⁻.
• P et Q = P⁻ ou Q⁻.

Démonstration 11

On démontre ces équivalence à l’aide de tables de vérité.

Dans chaque table, on lit effectivement les mêmes valeurs de vérité dans les quatrième et septième colonnes.

Remarque 12

Soit P une proposition, P et P ⇔  P et P ou P ⇔ P.

Théorème 13

Soient P, Q et R trois assertions.

1. P ou Q ⇔ Q ou P et P et Q ⇔ Q et P.
2. (P ou Q) ou R ⇔ P ou (Q ou R) et (P et Q) et R ⇔ P et (Q et R).
3. (P ou Q) et R ⇔ (P et R) ou (Q et R)
4. (P et Q) ou R ⇔ (P ou R) et (Q ou R)

Démonstration 14 

Démontrons par exemple la troisième et la quatrième équivalence à l’aide d’une table de vérité.

On lit effectivement les mêmes valeurs de vérité dans les cinquième et huitième colonnes.

Exemple 15

Soient P et Q deux assertions.

Montrer que : (P ⇔ Q) ⇔ ((P ⇒ Q) ou (Q ⇒ P)).

Il s’agit de vérifier que les deux assertions P ⇔ Q et (P ⇒ Q) ou (Q ⇒ P) ont les mêmes valeurs de vérité.

On lit bien les mêmes valeurs de vérité dans les troisième et sixième colonnes.

Exemple 16     

Soit P une assertion. Montrer que : (P⁼) ⇔ P.

Remarque 17

Les expressions ″ Condition nécessaire et suffisante (CNS)″, ″si et seulement si (ssi)″, ″ il faut et il suffit″ signifient toutes « logiquement équivalent » ou encore ″ ⇔ ″

Les quantificateurs

Le quantificateur ∀ : ″ pour tout ″

Une assertion P peut dépendre d’un réel x, par exemple ″ x² ≥ 1″, l’assertion P(x) est vraie ou fausse selon la valeur de x. Une telle assertion, dont les valeurs de vérité sont fonction d’une (ou plusieurs) variable(s) s’appelle prédicat.

L’assertion

″ ∀x ∈ E, P(x) ″

est une assertion varie lorsque les assertions P(x) sont vraies pour tous les éléments x de l’ensemble E.

On lit ″Pour tout x appartenant à E, P(x) est vraie″.

Définition 18

∀ s’appelle le quantificateur universel.

Remarque 19

Après ∀ , la virgule se lit ″ on a ″ ou ne se lit pas.

Exemple 20

Le quantificateur ∃ : ″ il existe ″

L’assertion

″ ∃x ∈ E, P(x) ″

est une assertion vraie lorsque l’on peut trouver au moins un x de E pour lequel P(x) est vraie. On lit, ″il existe x appartenant à E tel que P(x) (soit vraie) ″.

Définition 21

∃ s’appelle le quantificateur existentiel.

Remarque 22

Après ∃, la virgule se lit ″ tel que ″.

Exemple 23

• ″∃n ∈ ℕ, n² − n = 0″ est une assertion vraie car : 0 ∈ ℕ et 0² − 0 = 0.
• ″∃n ∈ ℝ, x² = − 1″ est une assertion fausse car (aucun réel au carré ne donnera un nombre négatif).
• ″∃n ∈ ℝ, x(x − 1) < 0 ″ est une assertion vraie (par exemple 1/2 ∈ ℝ vérifie 1/2(1/2 − 1) < 0).

Montrer une assertion universelle

Pour démontrer une assertion de type ″ ∀x ∈ E, P(x) ″ on commence par l’introduction d’une variable x par ″ soit ″ est un acte de naissance pour x. Une fois qu’une preuve est terminée, les variables y figuraient ne désignent plu rien.  

Exemple 24

On veut montrer que :

∀x ∈ ℝ, x/x²+1 ≤ 1/2.

Soit x ∈ ℝ.

x/x²+1 − 1/2 = 2x−x²−1/2(x²+1)

= −(x²−2x+1)/2(x²+1)

= −(x−1)²/2(x²+1)

Comme : −(x+1)²/2(x²+1) ≤ 0 pour tout x ∈ ℝ. Donc

∀x ∈ ℝ, x/x²+1 ≤ 1/2.

Montrer l’existence d’un objet

Quand on veut montrer que : ″ ∃x ∈ E, P(x) ″ et qu’on déjà en tête un exemple d’objet x ∈ E, on écrit : ″ Posons x = … ″ puis on vérifie que x satisfait la propriété P.

Exemple 25

Montrer que :

∃x ∈ ℝ, sin x = x.

Posons x = 0. Alors : sin 0 = 0. Donc

∃x ∈ ℝ, sin x = x.

Remarque 26

• L’assertion : ″ il existe un et un seul élément x de E tel que P(x) est vraie ″ s’écrit en abrégé :

″ ∃!x ∈ E, P(x) ″

• Les quantificateurs ne sont pas des abréviations.

La négation des quantificateurs

La négation de ″ ∀x ∈ E, P(x) ″ est ″ ∃x ∈ E, non P(x) ″

La négation de ″ ∃x ∈ E, P(x) ″ est ″ ∀x ∈ E, non P(x) ″

″ Le contraire de ∀ est ∃ et le contraire de ∃ est ∀ ″

Exemple 27

• La négation de ″ ∀x ∈ [1, +∞[, x + 1 ∈ ℤ ″ est ″ ∃x ∈ [1, +∞[ , x + 1 ∉ ℤ ″.
• La négation de ″ ∃x ∈ ℝ, x² + 1 = 0 ″ est ″ ∀x ∈ ℝ, x² + 1 ≠ 0 ″.
• La négation de ″ ∃n ∈ ℕ, n² = n ″ est ″ ∀n ∈ ℕ, n² ≠ n ″.
• La négation de ″ ∀x ∈ ℝ, x < 0 ″ est ″ ∃x ∈ ℝ, x ≥ 0 ″.

Remarque 28

Pour la négation d’une phrase logique, il n’est pas nécessaire de savoir si la phrase est fausse ou vraie. Le procédé est algorithmique : on change le ″ pour tout ″ en ″ il existe ″ et inversement, puis on prend la négation de l’assertion P.

Avec une succession de quantificateurs

Exemple 29

• La négation de ″ (∀x ∈ ℝ) , (∃y < 0), x + y ≥ 0 ″ est ″ (∃x ∈ ℝ) , (∀y < 0), x + y < 0 ″.
• La négation de ″ (∃x ∈ ℝ) , (∀y ∈ ℝ), x² + y² = 0 ″ est ″ (∀x ∈ ℝ) , (∃y ∈ ℝ) , x² + y² ≠ 0 ″.
• La négation de ″ (∃x ∈ ℝ) , (∃y ∈ ℝ) , x + y ≥ 10 ″ est ″ (∀x ∈ ℝ) , (∀y ∈ ℝ) , x + y < 10 ″.

Remarque 30

L’ordre des quantificateurs est très important. On considère les deux assertions :

″ (∀x ∈ ℝ) (∃y ∈ ℝ) , x + y ≻ 0 ″

et

″ (∃y ∈ ℝ) (∀x ∈ ℝ), x + y ≻ 0 ″

La première assertion est vraie. ″ Pour tout réel x, il existe un réel y (qui peut donc dépendre de x) tel que x + y ≻ 0 ″ (par exemple on peut prendre y = −x + 1). C’est donc une assertion vraie.

On conclut que :

Quand on écrit ∀y , ∃x l’élément x est fourni après chaque y.

Il dépend de y et peut donc varier quand y varie

La deuxième se lit ″ il existe un réel y tel que pour tout réel x, x + y ≻ 0. ″ Cette assertion est fausse. Cela ne peut pas être le même y qui convient pour tous les x.

Exemple 31

• On considère l’assertion P telle que :

P : ″ (∀x ∈ ℤ) , (∃y ∈ ℤ) , x − y = 3 ″

L’assertion P est vraie. En effet pour tout x ∈ ℤ, il existe y ∈ ℤ (on peut prendre y = x − 3) tel que : x − y = 3.

• On considère l’assertion Q telle que :

Q : ″ (∃x ∈ ℕ) , (∀y ∈ ℕ) , x ≤ y ″

L’assertion Q est vraie. Car 0 ∈ ℕ et pour tout y ∈ ℕ : 0 ≤ y.

Modes de raisonnement

Raisonnement direct

Pour montrer l’implication P ⇒ Q, on suppose que P est vraie et on montre que Q est vraie.

Exemple 32 

Montrer que :

∀n ∈ ℕ, n est pair ⇒ n² est pair

Soit n ∈ ℕ.

On suppose que n est pair. Donc

∃k ∈ ℕ, n = 2k.

Alors :

n² = (2k)²

= 2 × (2k²)

comme 2k²∈ ℕ. On déduit que n² est pair.

Raisonnement par implication successives

Ce raisonnement est basé sur la loi logique suivante :

P ⇒ P₁ et P₁ ⇒ P₂ et … et P_n ⇒ Q

conclusion on a bien montré P ⇒ Q.

Exemple 33

Montrer que

∀x ∈ ℝ⁺, 1/1+√x = 1 − √x ⇒ x = 0

Soit x ∈ ℝ⁺ .

1/1+√x = 1 − √x

⇒ 1 = (1 − √x)(1 + √x)

⇒ 1 = 1 − x

⇒ x = 0

Donc

∀x ∈ ℝ⁺, 1/1+√x = 1 − √x ⇒ x = 0

Raisonnement par contraposée

Le raisonnement par contraposition est basé sur l’équivalence suivante :

P ⇒ Q ⇔ Q⁻ ⇒ P⁻

Donc si l’on souhaite montrer l’assertion P ⇒ Q , il suffit de montrer que Q⁻⇒ P⁻.

Exemple 34  

Montrer que :

∀n ∈ ℕ, n² est pair ⇒ n est pair

Soit n ∈ ℕ.

L’assertion : n² est pair ⇒ n est pair, est équivalente à :

n est impair ⇒ n² est impair

On suppose que n est impair. Donc

∃k ∈ ℕ, n = 2k + 1.

Alors :

n² = (2k + 1)²

= 4k² + 4k + 1

= 2(2k² + 2k) + 1

on pose p = 2k² + 2k ∈ ℕ, on obtient

n² = 2p + 1

Donc n² est impair.

Conclusion : par contraposition ceci est équivalent à :

∀n ∈ ℕ, n² est pair ⇒ n est pair

Raisonnement par équivalences

Pour montrer l’équivalence P ⇔ Q, on peut :

• ou bien raisonner par double implication, c’est-à-dire montrer successivement les deux implications P ⇒ Q et Q ⇒ P,
• ou bien raisonner par équivalences, c’est-à-dire modifier P de proche en proche jusqu’à obtenir Q en préservant les équivalences à chaque étape. On rédige alors de la manière suivante :

P ⇔ … ⇔ … ⇔ Q

conclusion on a bien montré l’équivalence P ⇔ Q .

Exemple 35

Montrer que :

∀(x, y) ∈ ℝ² , x/x²+x+1 = y/y²+y+1 ⇔ xy = 1 ou x = y

Soit (x, y) ∈ ℝ².

x/x²+x+1 = y/y²+y+1

⇔ x(y² + y + 1) = y(x² + x + 1)

⇔ xy² + xy +x − yx² −yx − y = 0

⇔ xy(y − x) − (y − x) = 0

⇔ (y − x)(xy − 1) = 0

⇔ x = y ou xy = 1

Donc

∀(x, y) ∈ ℝ² , x/x²+x+1 = y/y²+y+1 ⇔ xy = 1 ou x = y

Exemple 36

Montrer que :

∀x ∈ [−2, 2], √4−x² − x ≤ 2√2

Soit x ∈ [−2, 2].

√4−x² − x ≤ 2√2

⇔  √4−x² ≤ x + 2√2

⇔ 4 − x² ≤ x² + 4x√2 + 8

⇔ −2x² − 4x√2 − 4 ≤ 0

⇔ x² + 2x√2 + 2 ≥ 0

⇔ (x + √2)² ≥ 0

Comme : (x + √2)² ≥ 0 pour tout x ∈ [−2, 2] . Alors :

∀x ∈ [−2, 2], √4−x² − x ≤ 2√2

Raisonnement par disjonction de cas

Ce raisonnement est utilisé pour montrer une assertion de type ″ ∀x ∈ E, P(x) ″ avec E = E₁ ∪ E₂ ∪ … ∪ E_n, alors pour ce faire on sépare les raisonnements suivant que x ∈ E₁, x ∈ E₂, … , x ∈ E_n.

Exemple 37

Résoudre dans ℝ l’équation :

(E) : x² − 2(1 + m)x + 4 = 0

tel que m est un paramètre.

Calculons le discriminant ∆ de l’équation (E), on a :

∆ = 4(1 + m)² − 16

= 4(m − 1)(m + 3)

1ère cas :

Si ∆ < 0 c’est-à-dire : m ∈ ]−3, 1[ . Alors l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = ∅

2ème cas :

Si ∆ = 0 c’est-à-dire : m = 1 ou m = − 3. Alors l’équation admet une unique solution 1 + m. D’où :

S = {1 + m} 

3ème cas :

Si ∆ ≻ 0 c’est-à-dire : m ∈ ]−∞, −3[ ∪ ]1, +∞[. Alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes :

x₁ = m + 1 − √(m − 1)(m +3) et x₂ = m + 1 + √(m − 1)(m + 3)

D’où

S = {m + 1 − √(m − 1)(m +3), m + 1 + √(m − 1)(m +3)} 

Exemple 38

Résoudre dans ℝ l’équation :

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les ensembles et les applications
• Théorème de Rolle et des accroissements finis