Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm

Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm. (1ère année bac sm)

Exercice 1 (Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm)

On considère les deux ensembles :

A = {5+4k/10 / k ∈ ℤ} et B = {5+8k′/20 / k′ ∈ ℤ}

Montrer que : A ∩ B = ∅.

Exercice 2

Soient les ensembles suivants :

A = {π/4 + 2kπ/5 / k ∈ ℤ} , B = {9π/4 − 2kπ/5 / k ∈ ℤ} et C = {π/2 + 2kπ/5 / k ∈ ℤ}

1. Montrer que : A = B.
2. Montrer que : A ∩ C = ∅.

Exercice 3

Déterminer en extension les ensembles suivants :

A = {(x, y) ∈ ℤ²/ x² + xy − 2y² + 5 = 0} , B = { x ∈ ℤ/ x²−x+2/2x+1 ∈ ℤ} et C = { x ∈ ℤ/ ∣∣3x∣−4/2∣ < 1}

Exercice 4

On considère l’ensemble suivant : E = {√x+√x − √x / x ∈ ℝ⁺*}.

1. Montrer que : E ⊂ ]0, 1].
2. 1. Résoudre dans ℝ l’équation suivante : √x+√x = 1/2 + √x.
   2. A-t-on ]0, 1] ⊂ E ?

Exercice 5 (Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm)

On considère les ensembles :

E = {2k − 1 / k ∈ ℤ} , F = {2k − 1/5 / k ∈ ℤ} et G = {4−√x/4+√x / x ∈ [0, +∞[ }

1. 1. Montrer que : 8 ∉ F.
   2. Montrer que : E ⊂ F.
   3. Montrer que : F ⊈ E.
2. Montrer que : G = ]−1, 1].

Exercice 6

Soient A, B et C trois parties de E.

1. Montrer que : A ∩ B ⊂ A ∩ C et A ∪ B ⊂ A ∪ C ⇒  B ⊂ C.
2. Montrer que : A ∩ B = A ∩ C ⇔  A ∩ B⁻ = A ∩ C⁻.
3. Montrer que : { A ∩ C ≠ ∅ et B ∩ C = ∅ ⇒ A ∩ B⁻≠ ∅
4. Montrer que : A ∪ B = B ∩ C ⇔ A ⊂ B ⊂ C.
5. Montrer que : A ∩ B = ∅ ⇒ A = (A ∪ B) ∖ B.
6. Montrer que : C^A×B_E×E = (C^A_E × E) ∪ (E × C^B_E).

Exercice 7

On considère l’ensemble suivant : E = {(x, y) ∈ ℝ⁺ × ℝ⁺ / √x + √y = 3}.

1. Montrer que : E ≠ ∅.
2. Montrer que : E ⊂ [0, 9] × [0, 9].
3. A-t-on E = [0, 9] × [0, 9]. ?

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Devoir surveillé sur les ensembles

Exercice 1 (4 pts)

On considère dans ℝ les sous-ensembles suivants : A = ]−∞, 3], B = ]−2, 7] et C = ]−5, +∞[.

1. Déterminer A ∖ B et B ∖ A, puis déduire A∆B.
2. Déterminer A ∩ C et A ∪ C, puis en déduire A∆C.
3. Déterminer (A ∖ B) ∩ C (le complémentaire de (A ∖ B) ∩ C de ℝ).

Exercice 2 (6 pts)

On considère les ensembles :

E = {π/6 + kπ/3 / k ∈ ℤ} et F = {π/3 + kπ/6 / k ∈ ℤ}

1. Déterminer E ∩ [− π/2, π].
2. Montrer que : E ⊂ F.
3. 1. Montrer que : π/3 ∉ E.
   2. L’inclusion F ⊂ E est-elle satisfaite ? Justifier

Exercice 3 (6 pts)

Déterminer en extension les ensembles :

F = { x ∈ ℤ/ 2x+1/x+1 ∈ ℤ} et C = {(x, y) ∈ (ℤ*)² / 1/x + 1/y = 1/5}

On considère les ensembles :

B = { x ∈ ℤ/ ∣x∣ < 3} , E = { x ∈ ℤ/ −5 < x ≤ 5} et A = E ∩ ℕ*

Déterminer en extension les ensembles suivants :

A ∩ B , C^(A∪B)_E , A ∖ B et ( A ∩ B ) ∩ C^(A∪B)_E

Exercice 4 (4 pts)

Soient A, B et C des parties d’un ensemble E.

1. Montrer que : A⁻ ⊂ B⁻ ⇔  (A ∖ B) ∪ B = A.
2. Montrer que : A = B ⇔ (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) = ∅.
3. Montrer que : A = ∅ ⇔ (A ∩ B⁻) ∪ (A⁻∩ B) = B.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère dans ℝ les sous-ensembles suivants :

A = ]−∞, 3], B = ]−2, 7] et C = ]−5, +∞[

1. ∎On cherche A ∖ B c’est-à-dire les éléments de ℝ qui appartiennent à A et n’appartiennent pas à B.

Méthode 01

A ∖ B = ]−∞, 3] ∖ ]−2, 7] = ]−∞, −2]

Méthode 02

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les ensembles 1 bac sm cours
• Les applications cours 1 bac sm