Calcul trigonométrique exercices corrigés 1 bac. (1ère s/ 1ère année bac)
Exercice 1 (Calcul trigonométrique exercices corrigés 1 bac)
Soit ƒ la fonction définie par :
ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x)
- Déterminer Dƒ.
- Montrer que : (∀x ∈ Dƒ), ƒ(x) = 2cos(2x)/sin(3x) .
- En déduire que : 1/sinπ/8 − 1/cosπ/8 = √2/cosπ/8 et tanπ/8 = √2 − 1.
- Résoudre dans ℝ l’équation : (E) : (√2 − 1)cos(2x) + sin(2x) = 1.
- Prouver que : 1/sin2π/7 − 1/sin3π/7 = 1/sinπ/7 .
Exercice 2 (Calcul trigonométrique exercices corrigés 1 bac)
Pour tout x ∈ ℝ. On pose : A(x) = cos(4x) − sinx.
Soit θ un nombre réel de l’intervalle ]0, π/2[ tel que : sin θ = √5−1/4 .
- Montrer que : cos θ = √10+2√5/4 et que : cos(2θ) = √5+1/4.
- Calculer cos (4θ), puis en déduire que : A(θ) = 0.
- Résoudre dans ]0, π/2[ l’équation : A(x) = 0, puis en déduire que : θ = π/10.
- Résoudre dans ℝ l’équation suivante :
(E) : √10+2√5.cos x + (√5 − 1)sin x = 2
Exercice 3
- Montrer que : cos (4x) − cos (2x) = (2cos(2x) + 1)(cos(2x) − 1).
- Étudier le signe de cos (4x) − cos (2x) sur l’intervalle [0, π].
- En déduire les solutions de l’inéquation : cos (4x) ≻ cos (2x) sur l’intervalle [− π, π].
Exercice 4
Soit a un réel.
- Calculer √2cos(a − π/4) en fonction de cos a et sin a, puis déduire que :
cos a. sin a = cos2 (a − π/4) − 1/2.
2. On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :
ƒ(x) = cos (4x) + sin (4x) − √2 sin(8x).
a) Montrer que pour tout x de ℝ, on a : ƒ(x) = √2[−2cos2(4x − π/4) + cos (4x − π/4) + 1].
b) Montrer que pour tout x de ℝ, on a : ƒ(x) = 2√2sin2(2x − π/8)[1+ 2cos(4x − π/4)].
3. Résoudre dans ℝ l’équation : ƒ(x) = 0.
Exercice 5
On considère la fonction numérique définie par :
ƒ(x) = sinx−cosx/sin(2x)−√2cosx
- Résoudre dans ℝ l’équation : sin(2x) − √2cosx = 0.
- Déduire Dƒ.
{ tan x ≻ 1 et sin x ≻ √2/2
Exercice 6
Résoudre dans [− π/2, π/2] l’inéquation :
cos(3x)+2cosx/sinx−√3cosx ≥ 0.
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Correction de la série
Exercice 1
Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x).
- On cherche Dƒ :
Dƒ = {x ∈ ℝ / sin x ≠ 0 et sin 3x ≠ 0}
= {x ∈ ℝ / x ≠ kπ et 3x ≠ kπ , k ∈ ℤ}
= {x ∈ ℝ / x ≠ kπ et x ≠ kπ/3 , k ∈ ℤ}
= ℝ∖ { kπ, kπ/3 / k ∈ ℤ}
2. a) Montrons que : (∀x ∈ Dƒ) , ƒ(x) = 2cos2x/sin3x
Soit x ∈ Dƒ.
ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x)
= sin3x−sinx/sinx.sin3x
= 2cos(3x+x/2). sin(3x−x/2)/sinx.sin3x
= 2cos2x.sinx/sinx.sin3x
= 2cos2x/sin3x
donc
(∀x ∈ Dƒ) , ƒ(x) = 2cos2x/sin3x
b) ∎ On déduit que : 1/sinπ/8 − 1/cosπ/8 = √2/cosπ/8
Remarquons que :
ƒ(π/8) = 2cos(2 × π/8)/sin(3 × π/8)
= 2cos(π/4)/sin(3π/8)
= 2×√2/2/sin(4π− π/8)
= √2/sin(π/2−π/8)
= √2/cosπ/8. (1)
d’autre part, on a ƒ(x) = 1/sinx − 1/sin(3x) pour tout x ∈ Dƒ donc
ƒ(π/8) = 1/sinπ/8 − 1/sin(3π/8) = 1/sinπ/8 − 1/sin(π/2 − π/8) = 1/sinπ/8 − 1/cos/π/8 (2)
donc d’après (1) et (2) on déduit que
1/sinπ/8 − 1/cosπ/8 = √2/cosπ/8
Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique 1 bac
Exercice 1
Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation :
cos x − √3sin x < 1.
Exercice 2
Soit θ ∈ ]0, π/2[ tel que : tan θ = 2 − √3.
- Montrer que : sin (2θ) = 1/2, puis en déduire la valeur de θ.
- On considère dans ℝ l’équation : (E) : cos (2x) − cos (2x + π/6) = 2−√3/2.
- Prouver que : (E) ⇔ sin (2x + θ) = sin θ.
- Résoudre dans ℝ l’équation (E).
- Résoudre dans [0, π] l’inéquation :
(I) : cos (2x) − cos (2x + π/6) ≤ 2−√3/2
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- On résout dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation : cos x − √3sin x < 1.
Soit x ∈ [0, 2π] .
cos x − √3sin x = 2(1/2. cos x − √3/2. sin x)
= 2(cos π/3. cos x − sin π/3. sin x)
= 2cos(x + π/3).
Donc
cos x − √3sin x < 1 ⇔ cos(x + π/3) < 1/2.
On pose X = x + π/3 puisque x ∈ [0, 2π] c’est-à-dire 0 ≤ x ≤ 2π c’est équivaux à
π/3 ≤ x + π/3 ≤ 2π + π/3
⇔ π/3 ≤ x + π/3 ≤ 7π/3
⇔ x + π/3 ∈ [π/3, 7π/3] .
On commence par résoudre dans [π/3, 7π/3] l’équation (E) : cos X = 1/2.
cos X = 1/2
⇔ cos X = cos π/3
⇔ { X = π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ ou X = −π/3 + 2kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [π/3, 7π/3] .
- On a
π/3 ≤ π/3 + 2kπ ≤ 7π/3 ⇔ 0 ≤ k ≤ 1
comme k ∈ ℤ, alors k ∈ {0, 1} . D’où x = π/3 ou x = 7π/3.
- On a
π/3 ≤ −π/3 + 2kπ ≤ 7π/3 ⇔ 1/3 ≤ k ≤ 8/6
comme k ∈ ℤ, alors k = 1. D’où x = 5π/3 .
Donc les solutions de l’équation cos X = 1/2 dans [π/3, 7π/3] sont : π/3 , 5π/3 et 7π/3.
D’après le cercle trigonométrique on en déduit que l’ensemble des solutions de l’inéquation cos (X) < 1/2 est :
]π/3, 5π/3[
Donc
cos (X) ≤ 1/2
⇔ X ∈ ]π/3, 5π/3[
⇔ π/3 < X < 5π/3
⇔ π/3 < x + π/3 < 5π/3
⇔ 0 < x < 4π/3
⇔ x ∈ ]0, 4π/3[
Ceci signifie que l’ensemble des solutions dans [0, 2π] de l’inéquation proposée est :
S = ]0, 4π/3[ .
Exercice 2
Soit θ ∈ ]0, π/2[ tels que : tan θ = 2 − √3.
- Soit θ ∈ ]0, π/2[ .
∎ On sait que : sin (2θ) = 2sinθ. cosθ.
On cherche cos θ.
On a
1 + tan2θ = 1/cos2θ
⇔ cos2θ = 1/1+tan2θ
⇔ cos2θ = 1/1+(2−√3)2
⇔ cos2θ = 1/1+4−4√3+3
⇔ cos2θ = 1/4(2−√3)
comme θ ∈ ]0, π/2[ alors cos θ ≻ 0. Donc
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