Calcul trigonométrique

Calcul trigonométrique

Calcul trigonométrique 1 bac cous. (1ère s/ 1ère année bac)

Transformation de cos (a − b) (Calcul trigonométrique 1 bac)

Transformation de cos (a − b) et ses conséquences (Calcul trigonométrique 1 bac)
Théorème 1 (Calcul trigonométrique 1 bac)

On a pour tout a et b de :

cos(a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b

cos(a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b

sin(a + b) = sin a. sin b + cos a. cos b

sin(a − b) = sin a. cos b − cos a. sin b

Démonstration 2 (Calcul trigonométrique 1 bac)

Soit les points A et B sur le cercle unité :

∎ Montrons cos (a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b :

Calculons le produit scalaire OA.OB par deux façons différentes :

on a

OA.OB =OA∥.∥OB∥. cos(a − b)

= cos (a − b). (1)

D’autre part, on a OA(cos a, sin a) et OB(cos b, sin b) , donc

OA.OB = cos a. cos b + sin a. sin b (2)

D’après (1) et (2), on en déduit que :

cos(a − b) = cos a. cos b + sin a. sin b

∎ Montrons cos(a + b) = cos a. cos b − sin a. sin b :

On remplace dans la formule ci-dessus b par −b, on obtient alors :

cos (a + b) = cos a. cos (−b) + sin a. sin (−b)

comme cos(−b) = cos b et sin(−b) = −sin b, d’où

cos (a+ b) = cos a. cos b − sin a. sin b.

∎ Montrons que sin (a + b) = sin a. sin b + cos a. cos b :

On sait que : sin θ = cos(π/2 − θ) pour tout θ. Donc

sin(a+ b) = cos(π/2 − (a + b))

= cos((π/2 − a) − b)

= cos(π/2 − a). cos b + sin (π/2 − a). sin b

= sin a. cos b + cos a. sin b

∎ Montrons que sin (a − b) = sin a. cos b − cos a. sin b :

On remplace dans la formule ci-dessus b par −b, on obtient alors :

sin (a − b) = sin a. cos(−b) + cos(a). sin(−b)

= sin a. cos b − cos a. sin b

Exemple 3

Calculons cos 5π/12 et sin π/12.

∎ Remarquant que : 5π/12 = π/4 + π/6, on a

cos (5π/12) = cos (π/4 + π/6)

= cos π/4. cos π/6 − sin π/4. sin π/6

= √2/2.√3/2 − √2/2.1/2

= √6−√2/4.

sin (π/12) = sin (π/3 − π/4)

= sin π/3. cos π/4 − cos π/3. sin π/4

= √3/2.√2/2 − 1/2.√2/2

= √6−√2/4

Formules de duplication
Théorème 4

Soit a .

cos 2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a

sin 2a = 2sin a. cos a

Démonstration 5

Soit a .

cos 2a = cos (a + a)

= cos2a − sin2a

comme cos2a + sin2a = 1, alors on obtient les deux formules suivantes :

cos 2a = 1 − sin2a − sin2x

= 1 − 2sin2x

= 1 − 2(1 − cos2x)

= 1 − 2 + 2cos2x

= 2cos2x − 1

sin 2a = sin (a + a)

= sin a. cos a + cos a. sin a

= 2sin acos a

Exemple 16

∎ Calculer cos 2x avec cos x = −1/3.

cos 2x = 2cos2x − 1

= 2 × (−1/3)2 − 1

= 2/9 − 1

= −7/9

∎ Calculer sin 2x avec sin x = 3/5 et x ∈ [−π/2, π/2] .

On sait que :

sin 2x = 2 cos x. sin x

On cherche cos x.

On a

cos2x = 1 − sin2x

= 1 − (3/5)2

= 16/25

comme x ∈ [−π/2, π/2] alors cos x 0. Donc

cos x = 4/5.

D’où

sin 2x = 2 × 4/5 × 3/5 = 24/25.

Exemple 7

Soit a un réel de [0, π/2] tel que

cos a = √2+√√3/2

Calculons cos 2a.

∎ Soit a ∈ [0, π/2].

cos 2a = 2cos2a − 1

= 2 × (√2+√√3/2)2 − 1

= 2 × (2+√3)/4 − 1

= 2(2+√3)−4/4

= √3/2

Formules de linéarisation

Soit a.

cos2a = 1+cos(2a)/2 et sin2a = 1−cos(2a)/2

Démonstration 8

Ces formules se déduisent directement des formules de duplication avec le cos 2a.

Exemple 9

Calculons sin π/8 et cos π/8.

On a π/4 = 2 × π/8, donc

sin2(π/8) = 1−cos(π/4)/2

= 1−√2/2/2

= 2−√2/4

comme 0 < π/8 < π/2. Donc

sin π/8 = √2−√√2/2

De même

cos2(π/8) = 1+cos(π/4)/2

= 1+√2/2/2

= √2+2/4

comme 0 < π/8 < π/2 alors 0 < cos π/8. Donc

cos π/8 = √2+√√2/2.

Transformation de produits en sommes et de sommes en produites

Transformation de produit en somme

Soit (a, b) ∈ 2.

cos a. cos b = 1/2[ cos(a + b) + cos(a − b)]

sin a. sin b = −1/2[cos(a + b) − cos(a − b)]

sin a. cos b = 1/2[sin(a + b) + sin(a − b)]

cos a. sin b = 1/2[sin(a + b) − sin(a − b)]

Transformation de produit en somme

Soit (p, q) ∈ 2.

cos p + cos q = 2cos (p+q/2). cos(p−q/2)

cos p − cos q = −2sin(p+q/2). sin(p−q/2)

sin p + sin q = 2sin(p+q/2). cos(p−q/2)

sin p − sin q = 2sin(p−q/2). cos(p+q/2)

Exemple 10

Soit x.

Montrer que :

sin 5x − sin 3x = 2cos 4x. sin x

cos 7x − cos 2x = −2sin 9x/2. sin 5x/2.

sin 5x − sin 3x = 2cos(5x+3x/2). sin(5x−3x/2)

= 2cos 4x. sin x

cos 7x − cos 2x = −2sin(7x+2x/2). sin(7x−2x/2)

= −2sin 9x/2. sin 5x/2.

Exemple 11

Montrer que : (∀x), cos(x + π/3) . cos(x − π/3) = cos(2x)/2 − 1/4.

Soit x.

cos(x + π/3) . cos(x − π/3) = 1/2[cos(x + π/3 + x − π/3) + cos(x + π/3 − x + π/3)]

= 1/2[cos(2x) + cos 2π/3]

= cos(2x)/2 − 1/4

Donc

(∀x), cos(x + π/3) . cos(x − π/3) = cos(2x)/2 − 1/4.

Transformation de tan (a + b)

Transformation de tan(a + b) et tan(a − b)

Soit a et b de tels que : a ≠ π/2 + kπ et b ≠ π/2 + kπ pour tout k.

∎ Si a + b ≠ π/2 + kπ k alors tan(a + b) = tan a+tan b/1−tan a. tan b .

∎ Si a − b ≠ π/2 + kπ k alors tan(a − b) = tan a−tan b/1+tan a. tan b .

Exemple 12

tan (5π/12) = tan (π/4 + π/6)

= tan(π/4)+tan(π/6)/1−tan(π/4).tan(π/6)

= 1+√3/3/1−1.√3/3

= 3+√3/3−√3

= 2 + √3

Résultats :

∎ Si a ≠ π/2 + kπ et a ≠ π/4 + kπ/2 pour tout k de , alors tan (2a) = 2tan a/1−tan2a.

∎ On pose t = tan (x/2) pour x de tel que : x ≠ π + 2kπ et x ≠ π/2 + kπ pour tout k de .

On a

sin x = 2t/1+t2 , cos x = 1−t2/1+t2 et tan x = 2t/1−t2

Exemple 13

Calculer tan π/8.

On pose X = tan π/8, alors

tan π/4 = tan (2 × π/8)

= 2X/1−X2

comme tan π/4 = 1, donc on obtient l’équation suivante

X2 + 2X − 1 = 0

puisque ∆ = 8, donc l’équation admet deux solutions distinctes :

X1 = √2 − 1 et X2 = −√2 − 1.

Comme 0 < π/8 < π/2 alors tan π/80. Donc

tan π/8 = √2 − 1.

Transformation de l’expression a cos x + b sin x  

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Devoir surveillé sur le calcul trigonométrique

Exercice 1

Résoudre dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation :

cos x√3sin x < 1.

Exercice 2

Soit θ ∈ ]0, π/2[ tel que : tan θ = 2 − √3.

  1. Montrer que : sin () = 1/2, puis en déduire la valeur de θ.
  2. On considère dans l’équation : (E) : cos (2x) − cos (2x + π/6) = 2−√3/2.
    1. Prouver que : (E) ⇔ sin (2x + θ) = sin θ.
    2. Résoudre dans l’équation (E).
  3. Résoudre dans [0, π] l’inéquation :

(I) : cos (2x) − cos (2x + π/6) ≤ 2−√3/2

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1
  1. On résout dans l’intervalle [0, 2π] l’inéquation : cos x − √3sin x < 1.

Soit x ∈ [0, 2π] .

cos x − √3sin x = 2(1/2. cos x − √3/2. sin x)

= 2(cos π/3. cos x − sin π/3. sin x)

= 2cos(x + π/3).

Donc

cos x − √3sin x < 1 ⇔ cos(x + π/3) < 1/2.

On pose X = x + π/3 puisque x ∈ [0, 2π] c’est-à-dire 0 x c’est équivaux à

π/3 x + π/3 2π + π/3

π/3x + π/37π/3

x + π/3 ∈ [π/3, 7π/3] .

On commence par résoudre dans [π/3, 7π/3] l’équation (E) : cos X = 1/2.

cos X = 1/2

⇔ cos X = cos π/3

⇔ { X = π/3 + 2kπ / k ou X = −π/3 + 2kπ / k

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [π/3, 7π/3] .

  • On a

π/3π/3 + 2kπ ≤ 7π/3 0k 1

comme k, alors k ∈ {0, 1} . D’où x = π/3 ou x = 7π/3.

  • On a

π/3−π/3 + 2kπ ≤ 7π/31/3 k8/6

comme k , alors k = 1. D’où x = 5π/3 .

Donc les solutions de l’équation cos X = 1/2 dans [π/3, 7π/3] sont : π/3 , 5π/3 et 7π/3.

D’après le cercle trigonométrique on en déduit que l’ensemble des solutions de l’inéquation cos (X) < 1/2 est :

]π/3, 5π/3[

Donc

cos (X) ≤ 1/2

X ∈ ]π/3, 5π/3[

π/3 < X < 5π/3

π/3 < x + π/3 < 5π/3  

0 < x < 4π/3

x ∈ ]0, 4π/3[

Ceci signifie que l’ensemble des solutions dans [0, 2π] de l’inéquation proposée est :

S = ]0, 4π/3[ .

Exercice 2

Soit θ ∈ ]0, π/2[ tels que : tan θ = 2 − √3.

  1. Soit θ ∈ ]0, π/2[ .

∎ On sait que : sin () = 2sinθ. cosθ.

On cherche cos θ.

On a

1 + tan2θ = 1/cos2θ

⇔ cos2θ = 1/1+tan2θ

⇔ cos2θ = 1/1+(2−√3)2

⇔ cos2θ = 1/1+4−4√3+3

⇔ cos2θ = 1/4(2−√3)

comme θ ∈ ]0, π/2[ alors cos θ 0. Donc

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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