Le barycentre dans le plan cours 1 bac

Le barycentre dans le plan pdf

Le barycentre dans le plan cours 1 bac pdf.(1ère s/ 1ère année bac)

Barycentre de deux points pondérés (Le barycentre dans le plan cous 1 bac pdf)

Point pondéré (Le barycentre dans le plan pdf)

Soit A un point du plan et a un nombre réel. Le couple (A, a) s’appelle un point pondéré, et le réel a s’appelle la masse du point A.

Propriété et définition 1

Soit (A, a) et (B, b) deux points pondéré du plan tels que a + b ≠ 0. Il existe un unique point G vérifiant : aGA + bGB = 0. Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b).

Remarque 2

Le point G s’appelle aussi le barycentre du système pondéré {(A, a) ; (B, b)} .

Démonstration 3

Soit (a, b) ∈ 2.

aGA + bGB = 0

aGA + b(GA + AB) = 0

⇔  aGA + bGA + bAB = 0

⇔  (a + b)GA + bAB = 0

⇔  (a + b)AG = bAB

∎ Si a + b ≠ 0 alors l’équation équivaut à : AG = b/a+bAB. Le point G est unique.

∎ Si a + b = 0 alors l’équation équivaut à : bAB = 0. Cette équation n’admet pas de solution si A ≠ B et β ≠ 0 et en admet une infinité si A = B ou β = 0.

Exemple 4  

Deux points A et B étant données, placer G le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1)} .

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1)} .

2GA + GB = 0

⇔  2GA + GA + AB = 0

⇔  3GA + AB = 0

⇔ AG = 1/3AB.

Propriétés du barycentre de deux points (Le barycentre dans le plan pdf)

Homogénéité :

Propriété 5

Si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors G est aussi le barycentre de (A, ka) et (B, kb) pour tout réel k non nul.

Démonstration 6

Soit G le barycentre du système pondéré {(A, a) ; (B, b)} .

Soit k*.

aGA + bGB = 0

⇔  k(aGA + bGB) = k. 0

⇔  akGA + bkGB = 0.

Donc G est aussi le barycentre de (A, ka) et (B, kb) pour tout réel k non nul.

Propriété caractéristique :

Propriété 7

Soit (A, a) et (B, b) deux points pondéré du plan tels que : a + b ≠ 0. G est le barycentre des deux points pondéré (A, a) et (B, b) si et seulement si pour tout point M du plan on a :

aMA + bMB = (a + b)MG

Démonstration 8

Soit M ∈ (P) .

aMA + bMB = a(MG + GA) + b(MG + GB)

= aMG + aGA + bMG + bGB

= (a + b)MG + aGA + bGB=0

= (a + b)MG

Exemple 9

Soit G le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 5)} . Exprimer AG en fonction de AB.

On applique la propriété caractéristique, pour tout point M du plan on a

2MA + 5MB = (a + b)MG

Si M = A alors

5AB = 7AG ⇔ AG = 5/7AB

Exemple 10

Soit E, F et K trois points du plan tels que : FK = 1/3FE.

  1. Déterminer deux réels α et β pour que k soit le barycentre de (E, α) et (F, β).
  2. Déterminer le réel x pour que K soit le barycentre de (E, −2) et (F, x).

∎ On cherche α et β.

On a

FK = 1/3FE

⇔  FK = 1/3(FK + KE)

⇔  FK − 1/3FK = 1/3KE

2/3FK − 1/3KE = 0

2KF + KE = 0 .

Puisque (2 + 1 ≠ 0) alors K est le barycentre de (E, 1) et (F, 2) d’où α = 1 et β = 2.

∎ On cherche x pour que K soit le barycentre de (E, −2) et (F, x).

On a K est le barycentre de (E, 1) et (F, 2) donc K est aussi le barycentre de (E, −2) et (F, − 4). (On a multiplié les coefficients par un même réel non nul (− 2)) , d’où x = −4.

Barycentre de trois points pondérés

Les définitions et propriétés du paragraphe précédent s’étendent au cas de trois points pondérés.

Propriété et définition 11

Soit (A, a) , (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que : a + b + c ≠ 0. Il existe un et un seul point G vérifiant : aGA + bGB + cGC = 0.

Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A, a) , (B, b) et (C, c) .

Démonstration 12

La démonstration est identique au cas de deux produits.

Exemple 13

On considère les points A, B, C et D tels que : AD = 1/2AB − 2/3AC, déterminons les réels a, b et c tels que D soit le barycentre de (A, a) , (B, b) et (C, c).

On a

AD = 1/2AB − 2/3AC

AD = 1/2(AD + DB) − 2/3(AD + DC)

⇔  AD = 1/2AD − 2/3AD + 1/2DB − 2/3DC

⇔  AD = −1/6AD + 1/2DB − 2/3DC

7/6AD − 1/2DB + 2/3DC = 0

⇔  7AD − 3DB + 4DC = 0

7DA + 3DB − 4DC = 0.

Puisque (7 + 3 − 4 ≠ 0) alors D est le barycentre des points (A, 7) , (B, 3) et (C, −4).

Donc a = 7 , b = 3 et c = − 4.

Exemple 14

Soit ABC un triangle et G un point tel que : 2AC = 3AG − GB. Montrer que G est le barycentre des points (A, 1) ; (B, 1) et (C, 2).

On a

2AC = 3AG − GB

2(AG + GC) = 3AG − GB

2AG + 2GC = 3AG − GB

−AG + 2GC + GB = 0

GA + GB + 2GC = 0 .

Puisque (2 + 1 + 2 ≠ 0) , donc G est le barycentre des points pondérés (A, 1); (B, 1) et (C, 2).

Propriétés

Propriété de l’homogénéité 15

Si G est le barycentre des points pondérés (A, a) , (B, b) et (C, c) alors pour tout réel k non nul G est aussi le barycentre des points pondérés (A, ka) , (B, kb) et (C, kc).

Propriété caractéristique 16

Soit (A, a) , (B, b) et (C, c) des points pondérés du plan tels que a + b + c ≠ 0 et G un point du plan. G est le barycentre des points pondérés (A, a) , (B, b) et (C, c) si, et seulement si, pour tout point M du plan on a :

aMA + bMB + cMC = (a + b + c)MG.

Exemple 17

Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A. Déterminer (τ), l’ensemble des points M du plan tels que :

−MA + MB + 2MC= 4

Soit M un point du plan.

On cherche à réduire l’expression de gauche et puisque (−1 + 1 + 2 ≠ 0) alors en introduisant le point G barycentre des points (A, −1), (B, 1) et (C, 2), on a alors

− MA + MB + 2MC = (−1 + 1 + 2)MG = 2MG

donc

2MG= 4

d’où

MG = 2.

Ceci signifie que l’ensemble (τ) est donc le cercle de centre G et de rayon 2cm. Pour tracer (τ), il faut d’abord placer G puis déterminer si le cercle passe par point particulier.

Associativité du barycentre

Propriété 18

Soit (A, a) , (B, b) et (C, c) des points pondérés du plan tels que : a + b + c ≠ 0 et a + b ≠ 0.

Si G est le barycentre des points (A, a) , (B, b) et (C, c) et H est le barycentre des points (A, a) et (B, b), alors G est le barycentre des points (H, a + b) et (C, c).

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Devoir surveillé barycentre dans le plan

Exercice 1

Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.

Soit M le milieu du segment [BC] et N le point du plan déterminé par : AN = 1/3AB.

  1. Montrer que : AG = 1/2AM et NG = 1/4NC.
  2. Montrer que (AM) et (CN) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.

Exercice 2

Soient ABCD un rectangle de centre O et I le milieu du segment [AB].

  1. Construire les pointes suivants :

E : le centre de gravité du triangle ABC.

F : le barycentre des points (C, 1) et (D, 3).

2. Soit G le milieu du segment [ED].

Montrer que G est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

3. Montrer que : G ∈ (IF).

4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.

a) Déterminer des pointes pondéré (A, α) et (D, β).

b) Montrer que le milieu du segment [BC] appartient à la droite (GK).

5. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

MA + MB + MC + MD∥ = ∥4MA − 2MB − 2MD

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

  1. Montrons que : AG = 1/2AM.

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} et M est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)}. Alors

2GM + 2GA = 0

⇔  2GA + 2AM + 2GA = 0

⇔  4GA = −2AM

⇔  AG = 1/2AM

∎ Montrons que : NG = 1/4NC.

NG = NA + AG

= −AN + 1/4AB + 1/4AC

= −1/3AB + 1/4AB + 1/4AC

= −1/12AB + 1/4AC

= 1/4(−1/3AB + AC)

= 1/4(NA + AC)

= 1/4NC

Donc

NG = 1/4NC

2. Montrons que (AM) et (CN) sont sécantes.

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)} . Ceci signifie que G ∈ (AM). (1)

D’autre part, on a

NG = 1/4NC

⇔  NG = 1/4(NG + GC)

⇔  NG − 1/4NG = 1/4GC

⇔  3/4NG = 1/4GC

⇔  3NG = GC

⇔  3GN + GC = 0

Comme (3 + 1 ≠ 0), alors G est le barycentre du système pondéré {(N, 3) ; (C, 1)}. Ceci signifie que G ∈ (CN). (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que les droites (AM) et (CN) sont sécantes et leur point d’intersection est G.

Exercice 2

  1. ∎ La construction du point F.

On a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. Alors

CF = 3/4CD

∎ On a E est le centre de gravité du triangle ABC. Ceci signifie que E est l’intersection des droites (OB) et (IC).

2. Soit G le milieu du segment [ED] .

Montrons que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

Notons H le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}, et comme E est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que H est le barycentre du système pondéré {(E, 3) ; (D, 3)}. Donc H est le milieu du segment [ED] . Ceci signifie que H = G, d’où G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.

3. Montrons que : G ∈ (IF).

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et I est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (C, 1) ; (D, 3)}. D’autre part, on a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (F, 4)}. Ceci signifie que G ∈ (IF).

4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.

a) On détermine (A, α) et (D, β).

On a

4AK = 3AD

⇔  4AK = 3AK + 3KD

⇔  AK − 3KD = 0

⇔  KA + 3KD = 0

Donc K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}.

b) Montrons que le milieu du segment [BC] appartient à (GK) :

Notons I′ le milieu du segment [BC] .

On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et comme I′ est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (I′, 2) ; (D, 3)}. D’autre part, on a K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I′, 2) ; (K, 4)}. Ceci signifie que I′∈ (GK).

5. On détermine l’ensemble des points M du plan :

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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