par Le barycentre dans le plan cours 1 bac pdf.(1ère s/ 1ère année bac)
Barycentre de deux points pondérés (Le barycentre dans le plan cous 1 bac pdf)
Point pondéré (Le barycentre dans le plan pdf)
Soit A un point du plan et a un nombre réel. Le couple (A, a) s’appelle un point pondéré, et le réel a s’appelle la masse du point A.
Propriété et définition 1
Soit (A, a) et (B, b) deux points pondéré du plan tels que a + b ≠ 0. Il existe un unique point G vérifiant : aGA + bGB = 0. Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A, a) et (B, b).
Remarque 2
Le point G s’appelle aussi le barycentre du système pondéré {(A, a) ; (B, b)} .
Démonstration 3
Soit (a, b) ∈ ℝ2.
aGA + bGB = 0
⇔ aGA + b(GA + AB) = 0
⇔ aGA + bGA + bAB = 0
⇔ (a + b)GA + bAB = 0
⇔ (a + b)AG = bAB
∎ Si a + b ≠ 0 alors l’équation équivaut à : AG = b/a+bAB. Le point G est unique.
∎ Si a + b = 0 alors l’équation équivaut à : bAB = 0. Cette équation n’admet pas de solution si A ≠ B et β ≠ 0 et en admet une infinité si A = B ou β = 0.
Exemple 4
Deux points A et B étant données, placer G le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1)} .
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1)} .
2GA + GB = 0
⇔ 2GA + GA + AB = 0
⇔ 3GA + AB = 0
⇔ AG = 1/3AB.
Propriétés du barycentre de deux points (Le barycentre dans le plan pdf)
Homogénéité :
Propriété 5
Si G est le barycentre de (A, a) et (B, b) alors G est aussi le barycentre de (A, ka) et (B, kb) pour tout réel k non nul.
Démonstration 6
Soit G le barycentre du système pondéré {(A, a) ; (B, b)} .
Soit k ∈ ℝ*.
aGA + bGB = 0
⇔ k(aGA + bGB) = k. 0
⇔ akGA + bkGB = 0.
Donc G est aussi le barycentre de (A, ka) et (B, kb) pour tout réel k non nul.
Propriété caractéristique :
Propriété 7
Soit (A, a) et (B, b) deux points pondéré du plan tels que : a + b ≠ 0. G est le barycentre des deux points pondéré (A, a) et (B, b) si et seulement si pour tout point M du plan on a :
aMA + bMB = (a + b)MG
Démonstration 8
Soit M ∈ (P) .
aMA + bMB = a(MG + GA) + b(MG + GB)
= aMG + aGA + bMG + bGB
= (a + b)MG + aGA + bGB=0
= (a + b)MG
Exemple 9
Soit G le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 5)} . Exprimer AG en fonction de AB.
On applique la propriété caractéristique, pour tout point M du plan on a
2MA + 5MB = (a + b)MG
Si M = A alors
5AB = 7AG ⇔ AG = 5/7AB
Exemple 10
Soit E, F et K trois points du plan tels que : FK = 1/3FE.
- Déterminer deux réels α et β pour que k soit le barycentre de (E, α) et (F, β).
- Déterminer le réel x pour que K soit le barycentre de (E, −2) et (F, x).
∎ On cherche α et β.
On a
FK = 1/3FE
⇔ FK = 1/3(FK + KE)
⇔ FK − 1/3FK = 1/3KE
⇔ 2/3FK − 1/3KE = 0
⇔ 2KF + KE = 0 .
Puisque (2 + 1 ≠ 0) alors K est le barycentre de (E, 1) et (F, 2) d’où α = 1 et β = 2.
∎ On cherche x pour que K soit le barycentre de (E, −2) et (F, x).
On a K est le barycentre de (E, 1) et (F, 2) donc K est aussi le barycentre de (E, −2) et (F, − 4). (On a multiplié les coefficients par un même réel non nul (− 2)) , d’où x = −4.
Barycentre de trois points pondérés
Les définitions et propriétés du paragraphe précédent s’étendent au cas de trois points pondérés.
Propriété et définition 11
Soit (A, a) , (B, b) et (C, c) trois points pondérés tels que : a + b + c ≠ 0. Il existe un et un seul point G vérifiant : aGA + bGB + cGC = 0.
Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A, a) , (B, b) et (C, c) .
Démonstration 12
La démonstration est identique au cas de deux produits.
Exemple 13
On considère les points A, B, C et D tels que : AD = 1/2AB − 2/3AC, déterminons les réels a, b et c tels que D soit le barycentre de (A, a) , (B, b) et (C, c).
On a
AD = 1/2AB − 2/3AC
⇔ AD = 1/2(AD + DB) − 2/3(AD + DC)
⇔ AD = 1/2AD − 2/3AD + 1/2DB − 2/3DC
⇔ AD = −1/6AD + 1/2DB − 2/3DC
⇔ 7/6AD − 1/2DB + 2/3DC = 0
⇔ 7AD − 3DB + 4DC = 0
⇔ 7DA + 3DB − 4DC = 0.
Puisque (7 + 3 − 4 ≠ 0) alors D est le barycentre des points (A, 7) , (B, 3) et (C, −4).
Donc a = 7 , b = 3 et c = − 4.
Exemple 14
Soit ABC un triangle et G un point tel que : 2AC = 3AG − GB. Montrer que G est le barycentre des points (A, 1) ; (B, 1) et (C, 2).
On a
2AC = 3AG − GB
⇔ 2(AG + GC) = 3AG − GB
⇔ 2AG + 2GC = 3AG − GB
⇔ −AG + 2GC + GB = 0
⇔ GA + GB + 2GC = 0 .
Puisque (2 + 1 + 2 ≠ 0) , donc G est le barycentre des points pondérés (A, 1); (B, 1) et (C, 2).
Propriétés
Propriété de l’homogénéité 15
Si G est le barycentre des points pondérés (A, a) , (B, b) et (C, c) alors pour tout réel k non nul G est aussi le barycentre des points pondérés (A, ka) , (B, kb) et (C, kc).
Propriété caractéristique 16
Soit (A, a) , (B, b) et (C, c) des points pondérés du plan tels que a + b + c ≠ 0 et G un point du plan. G est le barycentre des points pondérés (A, a) , (B, b) et (C, c) si, et seulement si, pour tout point M du plan on a :
aMA + bMB + cMC = (a + b + c)MG.
Exemple 17
Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A. Déterminer (τ), l’ensemble des points M du plan tels que :
∥−MA + MB + 2MC∥ = 4
Soit M un point du plan.
On cherche à réduire l’expression de gauche et puisque (−1 + 1 + 2 ≠ 0) alors en introduisant le point G barycentre des points (A, −1), (B, 1) et (C, 2), on a alors
− MA + MB + 2MC = (−1 + 1 + 2)MG = 2MG
donc
∥2MG∥ = 4
d’où
MG = 2.
Ceci signifie que l’ensemble (τ) est donc le cercle de centre G et de rayon 2cm. Pour tracer (τ), il faut d’abord placer G puis déterminer si le cercle passe par point particulier.
Associativité du barycentre
Propriété 18
Soit (A, a) , (B, b) et (C, c) des points pondérés du plan tels que : a + b + c ≠ 0 et a + b ≠ 0.
Si G est le barycentre des points (A, a) , (B, b) et (C, c) et H est le barycentre des points (A, a) et (B, b), alors G est le barycentre des points (H, a + b) et (C, c).
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Devoir surveillé barycentre dans le plan
Exercice 1
Soit ABC un triangle et G le barycentre du système pondéré : {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)}.
Soit M le milieu du segment [BC] et N le point du plan déterminé par : AN = 1/3AB.
- Montrer que : AG = 1/2AM et NG = 1/4NC.
- Montrer que (AM) et (CN) sont sécantes et déterminer leur point d’intersection.
Exercice 2
Soient ABCD un rectangle de centre O et I le milieu du segment [AB].
- Construire les pointes suivants :
∎ E : le centre de gravité du triangle ABC.
∎ F : le barycentre des points (C, 1) et (D, 3).
2. Soit G le milieu du segment [ED].
Montrer que G est le barycentre du système pondéré : {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
3. Montrer que : G ∈ (IF).
4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.
a) Déterminer des pointes pondéré (A, α) et (D, β).
b) Montrer que le milieu du segment [BC] appartient à la droite (GK).
5. Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :
∥MA + MB + MC + MD∥ = ∥4MA − 2MB − 2MD∥
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
- Montrons que : AG = 1/2AM.
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (B, 1) ; (C, 1)} et M est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)}. Alors
2GM + 2GA = 0
⇔ 2GA + 2AM + 2GA = 0
⇔ 4GA = −2AM
⇔ AG = 1/2AM
∎ Montrons que : NG = 1/4NC.
NG = NA + AG
= −AN + 1/4AB + 1/4AC
= −1/3AB + 1/4AB + 1/4AC
= −1/12AB + 1/4AC
= 1/4(−1/3AB + AC)
= 1/4(NA + AC)
= 1/4NC
Donc
NG = 1/4NC
2. Montrons que (AM) et (CN) sont sécantes.
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 2) ; (M, 2)} . Ceci signifie que G ∈ (AM). (1)
D’autre part, on a
NG = 1/4NC
⇔ NG = 1/4(NG + GC)
⇔ NG − 1/4NG = 1/4GC
⇔ 3/4NG = 1/4GC
⇔ 3NG = GC
⇔ 3GN + GC = 0
Comme (3 + 1 ≠ 0), alors G est le barycentre du système pondéré {(N, 3) ; (C, 1)}. Ceci signifie que G ∈ (CN). (2)
D’après (1) et (2) on en déduit que les droites (AM) et (CN) sont sécantes et leur point d’intersection est G.
Exercice 2
- ∎ La construction du point F.
On a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. Alors
CF = 3/4CD
∎ On a E est le centre de gravité du triangle ABC. Ceci signifie que E est l’intersection des droites (OB) et (IC).
2. Soit G le milieu du segment [ED] .
Montrons que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
Notons H le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}, et comme E est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que H est le barycentre du système pondéré {(E, 3) ; (D, 3)}. Donc H est le milieu du segment [ED] . Ceci signifie que H = G, d’où G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)}.
3. Montrons que : G ∈ (IF).
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et I est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (C, 1) ; (D, 3)}. D’autre part, on a F est le barycentre du système pondéré {(C, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I, 2) ; (F, 4)}. Ceci signifie que G ∈ (IF).
4. Soit K le point défini par : 4AK = 3AD.
a) On détermine (A, α) et (D, β).
On a
4AK = 3AD
⇔ 4AK = 3AK + 3KD
⇔ AK − 3KD = 0
⇔ KA + 3KD = 0
Donc K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}.
b) Montrons que le milieu du segment [BC] appartient à (GK) :
Notons I′ le milieu du segment [BC] .
On a G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (B, 1) ; (C, 1) ; (D, 3)} et comme I′ est le barycentre du système pondéré {(B, 1) ; (C, 1)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (I′, 2) ; (D, 3)}. D’autre part, on a K est le barycentre du système pondéré {(A, 1) ; (D, 3)}. D’après l’associativité du barycentre on en déduit que G est le barycentre du système pondéré {(I′, 2) ; (K, 4)}. Ceci signifie que I′∈ (GK).
5. On détermine l’ensemble des points M du plan :
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