Étude des fonctions 1 bac

Étude des fonctions 1 bac

Étude des fonctions 1 bac cours. (Première s/ 1ère année bac)

Étude des branches infinies (Résumer)

Axe symétrie− Centre de symétrie

Propriété 1

Soit ƒ une fonction et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Pour que la droite (∆) d’équation x = a soit un axe de symétrie de la courbe (Cƒ), il faut et il suffit que pour tout xDƒ :

(2a − x) ∈ Dƒ et ƒ(2a − x) = ƒ(x)

Exemple 2

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2x2−4x+3/x2−2x

Montrons que la droite (∆) d’équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe (Cƒ).

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : Dƒ = ∖ {0, 2}.

Soit x.

xDƒ ⇔  x ≠ 0 et x ≠ 2

  −x ≠ 0 et −x ≠ −2

⇔  2 − x ≠ 2 et 2 − x ≠ 0

⇔ (2 − x) ∈ Dƒ

D’autre part, soit xDƒ.

ƒ(2 − x) = 2(2−x)2−4(2−x)+3/(2−x)2−2(2−x)

= 2(4−4x+x2)−8+4x+3/4−4x+x2−4+2x

= 2x2−4x+3/x2−2x

= ƒ(x) .

Par suite la droite (∆) d’équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe (Cƒ).

Propriété 3

Soit ƒ une fonction et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère donné. Pour que le point Ω (a, b) soit un centre de symétrie de la courbe (Cƒ), il faut et il suffit que pour tout x Dƒ :

(2a − x) ∈ Dƒ et ƒ(2a − x) = 2b − ƒ(x)

Exemple 4

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2x2+3x−5/x−1

Montrons que Ω (1, 7) est un centre de symétrie de la courbe (Cƒ).

L’ensemble de définition de la fonction ƒ est : Dƒ = ∖ {1}.

Soit x.

x Dƒ x ≠ 1−x ≠ −1 2 − x ≠ 1 ⇔ (2 − x) ∈ Dƒ

Soit xDƒ. Montrons que : ƒ(2 − x) = 14 − ƒ(x).

On a

ƒ(2 − x) = 2(2−x)2+3(2−x)−5/(2−x)−1

= 2(4−4x+x2)+6−3x−5/−x+1

= −2x2+11x−9/x−1

et

14 − ƒ(x) = 14 − 2x2+3x−5/x−1

= 14(x−1)−(2x2+3x−5)/x−1

= −2x2+11x−9/x−1

Donc

(∀xDƒ) , ƒ(2 − x) = 14 − ƒ(x).

Par suite le point Ω(1, 7) est un centre de symétrie de la courbe (Cƒ).

Les fonctions périodiques

Définition 5

Soit ƒ : Dƒ →  et soit T ∈ ]0, +∞[. On dit que T est une période pour ƒ si :

pour tout x Dƒ, (x + T) ∈ Dƒ et ƒ(x + T) = ƒ(x)

Exemple 6

Pour tout x on a : (x + 2π) ∈ et sin(x + 2π) = sin x. Donc la fonction sin est périodique de période 2π.

Étude de la concavité d’une courbe

Dérivée seconde
Définition 7

Soit une fonction ƒ deux fois dérivable sur I. On appelle dérivée seconde de ƒ, notée ƒ″, la fonction dérivée de ƒ′ : (ƒ′)′ = ƒ″.

Exemple 8

Soit la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = 2x3 + 5x2 − 3x − 1

La fonction ƒ est deux fois dérivables sur .

x, ƒ″(x) = 12x + 10

Propriété 9

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I.

  • ƒ est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x I, ƒ″(x) ≥ 0.
  • ƒ est concave sur I si, et seulement si, pour tout x ∈ I, ƒ″(x) ≤ 0.
Exemple 10

Reprenons : ƒ(x) = 2x3 + 5x2 − 3x − 1, on a : ƒ″(x) = 12x + 10

  • ƒ″(x) = 0 ⇔  12x + 10 = 0 x = −5/6. Donc
  • Sur ]−∞, −5/6] on a ƒ″≤ 0. Donc la fonction ƒ est concave.
  • Sur [−5/6, +∞[ on a ƒ″≥ 0. Donc la fonction ƒ est convexe.
Point d’inflexion  
Définition 11

Soit ƒ une fonction et (Cƒ) sa courbe représentative. Un point d’inflexion de la courbe (Cƒ) est un point où la courbe (Cƒ) traverse sa tangente en ce point. C’est aussi le point où la convexité change de sens.

Théorème 12

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I de courbe représentative (Cƒ).

Soit A(a, ƒ(a)) un point de (Cƒ) de tangente (Ta).

Si ƒ″(a) = 0 en changeant de signe alors (Cƒ) admet un point d’inflexion en A.

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Devoir surveillé sur l’étude des fonctions

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).
    2. En déduire que (Cƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
  1. Montrer que limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3, puis interpréter géométriquement chaque résultat.
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 3/x2√x2+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T1) et (T2) à (Cƒ) aux points d’abscisses x1 = 1 et x2 = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (Cƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x2

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
    1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
    2. Justifier que (Cƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
    1. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
    2. Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 1/(1+x2)√1+x2 − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur .

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

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Correction du devoir surveillé
Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

  1. a) Calculons limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x)

limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ 2 − √x2+3/x = −∞, car : limx→0+ √x2+3/x = +∞ 

et

limx→0 ƒ(x) = limx→0 2 − √x2+3/x = +∞, car : limx→0 √x2+3/x = −∞ 

b) Comme limx→0+ ƒ(x) = +∞ et limx→0 ƒ(x) = −∞, alors (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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