Devoir surveillé sur les fonctions numériques 1 bac

Devoir surveillé sur les fonctions numériques 1 bac sm.(1ère S/ 1ère année bac sm)

Exercice 1

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

1. Déterminer D_ƒ.
2. 1. Montrer que ƒ est minorée par 0.
   2. 0 est-il un minimum de ƒ ? justifier votre réponse.
3. 1. Montrer que ƒ est majorée par 2.
   2. 2 est-il un maximum de ƒ ? justifier votre réponse.
4. Montrer que ƒ est strictement décroissante sur D_ƒ.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 2x/x²+1

1. 1. Montrer que ƒ est impaire.
   2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≤ 1 et (∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
2. ƒ est elle surjective ? est-elle injective ? Justifier votre réponse.
3. 1. Montrer que : ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2(1−ab)/(a²+1)(b²+1) , où a, b ∈ ℝ⁺ et a ≠ b.
   2. Montrer que ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ et qu’elle est strictement croissante sur [0, 1].
4. 1. Dresser le tableau de variations de ƒ sur ℝ.
   2. Montrer que : (∀(a, b) ∈ ℝ²) , a + b ≥ √3 ⇒ (a+b)²+1/a+b ≥4√3/3.
5. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [1, +∞[. On pose J = ]0, 1].

Montrer que g est une bijection de I sur J et donner sa bijection réciproque g⁻¹.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

1. On détermine D_ƒ.

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x + 7 ≥ 0 et x + 3 ≥ 0}

= {x ∈ ℝ/ x ≥ −7 et x ≥ −3}

= [−3, +∞[.

2. 1) Montrons que ƒ est minorée par 0. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0.

Soit x ∈ [−3, +∞[ .

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

= (x + 7)−(x + 3)/√x+7+√x+3

= 4/√x+7+√x+3 ≥ 0

Donc

(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0

Ceci signifie que la fonction ƒ est minorée par 0.

2. 2) Résolvons l’équation ƒ(x) = 0 dans [−3, +∞[.

Soit x ∈ [−3, +∞[.

ƒ(x) = 0 ⇔  √x+7 − √x+3 = 0

⇔ √x+7 = √x+3

⇔ x + 7 = x + 3

⇔ 7 = 3 (Ce qui est impossible)

Alors l’équation n’admet aucune solution dans [−3, +∞[. C’est-à-dire

(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≠ 0.

D’où 0 n’est pas un minimum de ƒ.

3. 1) Montrons que ƒ est majorée par 2. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≤ 2.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s
• Devoir surveillé sur la dérivation 1ère s