Devoir surveillé sur les fonctions numériques 1 bac sm.(1ère S/ 1ère année bac sm)
Exercice 1
Soit ƒ la fonction définie par :
ƒ(x) = √x+7 − √x+3
- Déterminer Dƒ.
- Montrer que ƒ est minorée par 0.
- 0 est-il un minimum de ƒ ? justifier votre réponse.
- Montrer que ƒ est majorée par 2.
- 2 est-il un maximum de ƒ ? justifier votre réponse.
- Montrer que ƒ est strictement décroissante sur Dƒ.
Exercice 2
Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :
ƒ(x) = 2x/x2+1
- Montrer que ƒ est impaire.
- Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≤ 1 et (∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
- ƒ est elle surjective ? est-elle injective ? Justifier votre réponse.
- Montrer que : ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2(1−ab)/(a2+1)(b2+1) , où a, b ∈ ℝ+ et a ≠ b.
- Montrer que ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ et qu’elle est strictement croissante sur [0, 1].
- Dresser le tableau de variations de ƒ sur ℝ.
- Montrer que : (∀(a, b) ∈ ℝ2) , a + b ≥ √3 ⇒ (a+b)2+1/a+b ≥4√3/3.
- Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [1, +∞[. On pose J = ]0, 1].
Montrer que g est une bijection de I sur J et donner sa bijection réciproque g−1.
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
Soit ƒ la fonction définie par :
ƒ(x) = √x+7 − √x+3
- On détermine Dƒ.
Dƒ = {x ∈ ℝ/ x + 7 ≥ 0 et x + 3 ≥ 0}
= {x ∈ ℝ/ x ≥ −7 et x ≥ −3}
= [−3, +∞[.
2. 1) Montrons que ƒ est minorée par 0. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0.
Soit x ∈ [−3, +∞[ .
ƒ(x) = √x+7 − √x+3
= (x + 7)−(x + 3)/√x+7+√x+3
= 4/√x+7+√x+3 ≥ 0
Donc
(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0
Ceci signifie que la fonction ƒ est minorée par 0.
2. 2) Résolvons l’équation ƒ(x) = 0 dans [−3, +∞[.
Soit x ∈ [−3, +∞[.
ƒ(x) = 0 ⇔ √x+7 − √x+3 = 0
⇔ √x+7 = √x+3
⇔ x + 7 = x + 3
⇔ 7 = 3 (Ce qui est impossible)
Alors l’équation n’admet aucune solution dans [−3, +∞[. C’est-à-dire
(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≠ 0.
D’où 0 n’est pas un minimum de ƒ.
3. 1) Montrons que ƒ est majorée par 2. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≤ 2.
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