Devoir surveillé sur l'étude des fonctions et la dérivation

Devoir sur l’étude des fonctions et la dérivation

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions et la dérivation 1 bac. (1ère S/ 1ère année bac)

Exercice (20 pts) 

On considère la fonction g définie sur par : g(x) = x3 + x + 2.

et (Cg) la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

a) Calculer limx→+∞ g(x) et limx→−∞ g(x).

b) Déterminer les branches infinies de la courbe (Cg).

c) Montrer que : (∀x) , g′(x) = 3x2 + 1.

d) Dresser le tableau de variation de la fonction g.

e) Étudier la concavité de (Cg) et déterminer le point d’inflexion de (Cg).

f) Calculer g(−1), puis déduire le signe de g(x) pour tout x .

On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x + 1 − x+1/x2.

et (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O, i , j ).

a) Déterminer Dƒ, puis calculer les limites aux bornes de Dƒ.

b) Déterminer les branches infinies de la courbe (Cƒ).

c) Montrer que ƒ est dérivable sur Dƒ et que : (∀xDƒ) , ƒ′(x) = g(x)/x3.

d) Dresser le tableau de variation de ƒ.

e) Étudier la position relative de la courbe (Cƒ) par rapport à la droite (∆) d’équation y = x + 1.

f) Tracer la courbe (Cƒ).

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère la fonction définie sur par : g(x) = x3 + x + 2.

a) limx→+∞ g(x) = limx→+∞ x3 + x + 2 = limx→+∞ x3 = +∞ et limx→−∞ g(x) = limx→−∞ x3 = −∞.

b) On a limx→+∞ g(x)/x = limx→+∞ x3/x = limx→+∞ x2 = +∞ et limx→−∞ g(x)/x = +∞.

La courbe (Cg) admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞ et −∞.

c) La fonction g est dérivable sur . On a

g′(x) = (x3 + x + 1)′ = 3x2 + 1

d) On a g′(x) > 0 pour tout x. Donc la fonction g est strictement croissante sur . D’où

e) La fonction g est 2 fois dérivables sur . On a

(∀x) , g″(x) = 6x

Donc

La fonction g″ s’annule en 0 et change de signe donc le point A(0, 2) est un point d’inflexion de la courbe (Cg).

f) On a g(−1) = 0, donc

2. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x + 1 − x+1/x2.

a) On a Dƒ = {x / x2 ≠ 0} = * = ]−∞, 0[ ∪ ]0, +∞[.

limx→+∞ ƒ(x) = limx→+∞ x + 1 − x+1/x2 = +∞. Car limx→+∞ x + 1 = +∞ et limx→+∞ − x+1/x2 = 0.

limx→−∞ ƒ(x) = limx→−∞ x + 1 − x+1/x2 = −∞. Car limx→−∞ x + 1 = −∞ et limx→−∞ − x+1/x2 = 0.

On calcule limx→0 ƒ(x) :

On a limx→0 x + 1 = 1 et limx→0 x2 = 0+ car pour tout réel x ≠ 0, x2 > 0, donc limx→0 − x+1/x2 = −∞, d’où

limx→0 ƒ(x) = −∞

b) On a limx→±∞ (ƒ(x) − (x + 1)) = limx→±∞ − x+1/x2 = limx→±∞ −x/x2 = limx→±∞ −1/x = 0. Donc la courbe (Cƒ) admet une asymptote oblique d’équation y = x + 1 au voisinage de +∞ et −∞.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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