Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm

Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm

Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm. (1ère année bac sm)

Exercice 1
  1. Montrer que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.
  2. On considère l’application suivante :

ƒ : [−1, 0] → [1, 2]  

x2√x+1 − x

a) Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ(x) = 2 − (√x+1 − 1)2.

b) Montrer que l’application ƒ est bijective et donner sa bijection réciproque ƒ−1.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : → 

x →  2x/x2+1

    1. Vérifier que : (∀x*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
    2. L’application ƒ est-elle injective ? Justifier- votre réponse.
  1. Montrer que : (∀x) , ∣ƒ(x)∣ ≤ 1. L’application ƒ est-elle surjective ?
Exercice 3
  1. Montrer que : (∀x ∈ [0, 1]) , 0√x/√x+√1−x1.
  2. On considère l’application :

ƒ : [0, 1] → [0, 1]  

x√x/√x+√1−x

Montrer que ƒ est bijective et expliciter ƒ−1 sa bijection réciproque.

Exercice 4

Soit ƒ l’application définie de dans *+ .

ƒ(x) = 1/x2−2x+2

  1. Montrer que ƒ n’est pas injective.
  2. Montrer que : ƒ() = ]0, 1].
  3. L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.
Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm
Correction du devoir surveillé
Exercice 1
  1. Montrons que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.

Soit x ∈ [−1, 0].

12√x+1 − x2

⇔ x + 12√x+1x + 2

⇔ (x + 1)2 ≤ (2√x+1)2≤ (x + 2)2 

⇔ (x + 1)2 − 4(x + 1) ≤ 0 et 0 ≤ (x + 2)2 (2√x+1)2

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2 + 4x + 4 − 4x − 4

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2

Comme (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0x2 pour tout x de [−1, 0] . Alors :

(∀x ∈ [−1, 0]) , 12√x+1 − x 2.

2. On considère l’application suivante :

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir

Vous pouvez aussi consulter :

Partager

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.