Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm

Devoir surveillé sur les applications 1 bac sm. (1ère année bac sm)

Exercice 1

1. Montrer que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.
2. On considère l’application suivante :

ƒ : [−1, 0] → [1, 2]  

x → 2√x+1 − x

a) Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]) , ƒ(x) = 2 − (√x+1 − 1)².

b) Montrer que l’application ƒ est bijective et donner sa bijection réciproque ƒ⁻¹.

Exercice 2

On considère l’application :

ƒ : ℝ → ℝ

x →  2x/x²+1

1. 1. Vérifier que : (∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
   2. L’application ƒ est-elle injective ? Justifier- votre réponse.
2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ∣ƒ(x)∣ ≤ 1. L’application ƒ est-elle surjective ?

Exercice 3

1. Montrer que : (∀x ∈ [0, 1]) , 0 ≤ √x/√x+√1−x ≤ 1.
2. On considère l’application :

ƒ : [0, 1] → [0, 1]  

x → √x/√x+√1−x

Montrer que ƒ est bijective et expliciter ƒ⁻¹ sa bijection réciproque.

Exercice 4

Soit ƒ l’application définie de ℝ dans ℝ*₊ .

ƒ(x) = 1/x²−2x+2

1. Montrer que ƒ n’est pas injective.
2. Montrer que : ƒ(ℝ) = ]0, 1].
3. L’application ƒ est-elle surjective ? Justifier.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

1. Montrons que : (∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.

Soit x ∈ [−1, 0].

1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2

⇔ x + 1 ≤ 2√x+1 ≤ x + 2

⇔ (x + 1)² ≤ (2√x+1)²≤ (x + 2)² 

⇔ (x + 1)² − 4(x + 1) ≤ 0 et 0 ≤ (x + 2)² − (2√x+1)²

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x² + 4x + 4 − 4x − 4

⇔ (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x²

Comme (x + 1)(x − 3) ≤ 0 et 0 ≤ x² pour tout x de [−1, 0] . Alors :

(∀x ∈ [−1, 0]) , 1 ≤ 2√x+1 − x ≤ 2.

2. On considère l’application suivante :

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