par Devoir surveillé sur les limites et le calcul trigonométrique. (1ère année bac s.exp)
Exercice 1 (8 pts)
Calculer les limites suivantes :
limx→−∞ − 3x5 + x2 + 3 , limx→5 x2−6x+5/x2−4x−5 , limx→3 √x+1−2/√x−2−1 , limx→−∞ 5x + √x2+9
limx→+∞ 2x − √4x2+x+7 , limx→3 √6+x−3/x2−2x−3 , limx→+∞ √4x2−3x+9/8x , limx→0 sinx/√1+x−√1−x
Exercice 2 (2 pts)
On considère la fonction ƒ définie par : { ƒ(x) = 1−x/x2−4 si x > −2 et x ≠ 2 et ƒ(x) = √2−x + x si x < − 2
Calculer les limites suivantes : limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
Exercice 3 (5 pts)
Soit ƒ la fonction définie par : ƒ(x) = x2+x−2/x2−2x−3
- Déterminer Dƒ.
- Étudier le signe du trinôme x2 − 2x − 3.
- Déduire : limx→−1+ ƒ(x) , limx→−1− ƒ(x) , limx→3− ƒ(x) et limx→3+ ƒ(x). Que peut-on conclure ?
- Calculer : limx→+∞ ƒ(x) , limx→−∞ ƒ(x), limx→+∞ ƒ(x)/x , limx→+∞ (ƒ(x) − x) et limx→−∞ (ƒ(x) − x).
Exercice 4 (5 pts)
On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = √3sin(2x) − 2sin2x − √3cosx + sinx.
- Calculer ƒ(π/2) et ƒ(π/6)
- Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , 2cos (x + π/6) = √3cosx − sinx.
- Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , √3sin(2x) − 2sin2x = 2sinx(√3cosx − sinx).
- Déduire que : (∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) = 2cos(x + π/6)(2sinx − 1).
- Résoudre dans ℝ l’équation (E) : ƒ(x) = 0.
- En déduire les solutions de l’équation ƒ(x) = 0 dans l’intervalle [0, 2π].
Correction du devoir surveillé
Exercice 4
On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = √3sin(2x) − 2sin2x − √3cosx + sinx
- Calculons ƒ(π/2) et ƒ(π/6)
On a :
ƒ(π/2) = √3sin(2 × π/2) − 2sin2π/2 − √3cosπ/2 + sinπ/2
= √3sin(π) − 2 × 1 + 1
= − 1
ƒ(π/6) = √3sin(2 × π/6) − 2sin2π/6 − √3cosπ/6 + sinπ/6
= √3sin(π/3) − 2 × (1/2)2 − √3 × √3/2 + 1/2
= √3 × √3/2 − 2 × 1/4 − 3/2 + 1/2
= 0
2. Montrons que : (∀x ∈ ℝ) , 2cos (x + π/6) = √3cosx − sinx.
Soit x ∈ ℝ, on a
2cos (x + π/6) = 2(cosx. cosπ/6 − sinx.sinπ/6)
= 2(cosx.√3/2 − sinx. 1/2)
= √3cosx − sinx
donc (∀x ∈ ℝ) , 2cos (x + π/6) = √3cosx − sinx
3. Montrons que : (∀x ∈ ℝ) , √3sin(2x) − 2sin2x = 2sinx(√3cosx − sinx)
Soit x ∈ ℝ, on a
√3sin(2x) − 2sin2x = √3 × 2sinx. cosx − 2sin2x
= 2√3sinx. cosx − 2sin2x
= 2sinx(√3cosx − sinx)
donc (∀x ∈ ℝ) , √3sin(2x) − 2sin2x = 2sinx(√3cosx − sinx)
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