Devoir maison logique et raisonnement

Devoir maison logique et raisonnement. (1ère année bac/ 1ère s)

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)

1. On considère les deux assertions :

P : (∀x ∈ ℝ⁺) , x ≥ 2√x − 1 et Q : (∀y ∈ ℝ)(∃x ∈ ℝ) , xy ≠ x.

a) Donner la négation de P et Q.

b) Montrer que P est vraie et Q est fausse.

2. Donner la négation des assertions suivantes :

R : (∀x ∈ ℝ)(∃k ∈ ℤ) , k ≤ x < x + 1 et F : ∀(α, β) ∈ ℝ², (α − β > 1 ⇒ ∃n ∈ ℤ, α < n < β)

Exercice 2 (Les questions sont indépendantes)

1. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)², a² = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
2. Montrer par la contraposée que : (∀n ∈ ℕ) , n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ.
3. Soit x ∈ ℝ⁺, montrer que : √x/x²−x+1 ≤ 4/3√x.
4. Soit n ∈ ℕ, montrer que : √4n²+5n+3 ∉ ℕ.

Exercice 3 (Les questions sont indépendantes)

1. Résoudre dans ℝ l’inéquation : (I) : √x−1 ≥ x − 7.
2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , x⁶ − x⁵ + x⁴ − x³ + x² − x + 3/4 > 0. (Étudier : x ≤ 0, 0 < x < 1 et x ≥ 1).
3. Montrer que : (n ∈ ℕ*) , 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1)².

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

ƒ(x) = √(∣x∣ − 2)∣x∣ , { ƒ(x) = 3x+1/√x+2 , si x ≤ 1 et ƒ(x) = x²/2x−1 , si x > 1 et ƒ(x) = x−1/x²+x+m , (m est un paramètre)

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Correction du devoir maison sur la logique et raisonnement

Exercice 1

1. On considère les deux assertions :

P : (∀x ∈ ℝ⁺) , x ≥ 2√x − 1 et Q : (∀y ∈ ℝ)(∃x ∈ ℝ) , xy ≠ x.

a) La négation de P et Q.

∴ La négation de P est : P⁻: (∃x ∈ ℝ⁺), x < 2√x − 1.

∴ La négation de Q est : Q⁻: (∃y ∈ ℝ)(∀x ∈ ℝ) , xy = x.

b) Montrons que P est vraie et Q est fausse.

∴ Soit x ∈ ℝ⁺.

On a

x ≥ 2√x − 1 ⇔ √x² − 2√x + 1 ≥ 0 ⇔ (√x − 1)² ≥ 0

comme l’assertion (√x − 1)² ≥ 0 est vraie pour tout x ∈ ℝ⁺, ce qui signifie que l’assertion P est vraie.

∴ Si y = 1, on obtient l’égalité : x = x qui est vraie pour tout x ∈ ℝ, alors l’assertion Q⁻ est vraie, par suite l’assertion Q est fausse.

2. La négation des assertions R et F.

∴ La négation de l’assertion R est : R⁻ : (∃x ∈ ℝ)(∀k ∈ ℤ), k > x ou x ≥ x + 1.

∴ La négation de l’assertion F est : F⁻ : ∃(α, β) ∈ ℝ², α − β > 1 et (∀n ∈ ℤ, α ≥ n ou n ≥ β).

Exercice 2

1. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)², a² = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
2. Montrons par la contraposée que : (∀n ∈ ℕ) , n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ.

Soit n ∈ ℕ.

L’assertion : n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ est équivalente : n/3 ∉ ℕ ⇒ n²/3 ∉ ℕ.

On suppose que n/3 ∉ ℕ. On va distinguer deux cas lorsque n = 3k + 1 ou n = 3k + 2 tel que k ∈ ℕ.

∴ Si n = 3k + 1, alors

n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1

On pose p = 3k² + 2k ∈ ℕ. On obtient : n² = 3p + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n². (c’est-à-dire : n²/3 ∉ ℕ).

∴ Si n = 3k + 2, alors

n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1

On pose p′ = 3k² + 4k + 1 ∈ ℕ. On obtient : n² = 3p′ + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n². (c’est-à-dire : n²/3 ∉ ℕ).

On conclut que dans tous les deux cas n²/3 ∉ ℕ. Ceci signifie que : n/3 ∉ ℕ ⇒ n²/3 ∉ ℕ. Donc par contraposition ceci est équivalente à :

(∀n ∈ ℕ) , n²/3 ∈ ℕ ⇒ n/3 ∈ ℕ.

3. Soit x ∈ ℝ⁺, montrer que : √x/x²−x+1 ≤ 4/3√x.

4. Soit n ∈ ℕ. Montrons que : √4n²+5n+3 ∉ ℕ.

On suppose par l’absurde que √4n²+5n+3 ∈ ℕ. Alors

∃m ∈ ℕ, √4n²+5n+3 = m

Donc

4n² + 5n + 3 = m²

On a : (2n + 1)² < 4n² + 5n + 3 et 4n² + 5n + 3 < (2n + 2)². C’est-à-dire

(2n + 1)² < 4n² + 5n + 3 < (2n + 2)²

donc

(2n + 1) < √4n²+5n+3 < (2n + 2)

d’où

(2n + 1) < m < (2n + 2).

C’est une contradiction car on peut pas avoir un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs (2n + 1) et (2n + 2).

Ceci signifie que

(∀n ∈ ℕ) , √4n²+5n+3 ∉ ℕ.

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