Devoir maison logique et raisonnement

Devoir maison logique et raisonnement

Devoir maison logique et raisonnement. (1ère année bac/ 1ère s)

Exercice 1 (Les deux questions sont indépendantes)
  1. On considère les deux assertions :

P : (∀x+) , x2√x − 1 et Q : (∀y)(∃x) , xy ≠ x.

a) Donner la négation de P et Q.

b) Montrer que P est vraie et Q est fausse.

2. Donner la négation des assertions suivantes :

R : (∀x )(∃k) , kx < x + 1 et F : ∀(α, β) ∈ 2, (α − β > 1 ⇒ ∃n , α < n < β)

Exercice 2 (Les questions sont indépendantes)
  1. Montrer que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2 = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
  2. Montrer par la contraposée que : (∀n) , n2/3 ⇒ n/3.
  3. Soit x +, montrer que : √x/x2−x+1 4/3√x.
  4. Soit n, montrer que : √4n2+5n+3.
Exercice 3 (Les questions sont indépendantes)
  1. Résoudre dans l’inéquation : (I) : √x−1x − 7.
  2. Montrer que : (∀x) , x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 3/4 > 0. (Étudier : x 0, 0 < x < 1 et x1).
  3. Montrer que : (n *) , 1 + 3 + 5 + … + (2n + 1) = (n + 1)2.
Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

ƒ(x) = √(∣x− 2)∣x∣ , { ƒ(x) = 3x+1/√x+2 , si x 1 et ƒ(x) = x2/2x−1 , si x > 1 et ƒ(x) = x−1/x2+x+m , (m est un paramètre)

Cliquer ici pour télécharger devoir maison logique et raisonnement 1 bac

Correction du devoir maison

Exercice 1
  1. On considère les deux assertions :

P : (∀x+) , x2√x − 1 et Q : (∀y)(∃x) , xy ≠ x.

a) La négation de P et Q.

∴ La négation de P est : P: (∃x +), x < 2√x − 1.

∴ La négation de Q est : Q: (∃y)(∀x) , xy = x.

b) Montrons que P est vraie et Q est fausse.

∴ Soit x+.

On a

x2√x − 1 √x2 − 2√x + 10 ⇔ (√x − 1)20

comme l’assertion (√x − 1)20 est vraie pour tout x+, ce qui signifie que l’assertion P est vraie.

∴ Si y = 1, on obtient l’égalité : x = x qui est vraie pour tout x, alors l’assertion Q est vraie, par suite l’assertion Q est fausse.

2. La négation des assertions R et F.

∴ La négation de l’assertion R est : R : (∃x )(∀k), k > x ou x x + 1.

∴ La négation de l’assertion F est : F : ∃(α, β) ∈ 2, α − β > 1 et (∀n, αn ou nβ).

Exercice 2
  1. Montrons que : ∀(a, b) ∈ (]0, +∞[)2, a2 = b + 1 ⇒ √a−√b+√a+√b/√2(a + 1) = 1.
  2. Montrons par la contraposée que : (∀n) , n2/3n/3.

Soit n.

L’assertion : n2/3 n/3 est équivalente : n/3 n2/3 .

On suppose que n/3. On va distinguer deux cas lorsque n = 3k + 1 ou n = 3k + 2 tel que k .

∴ Si n = 3k + 1, alors

n2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1

On pose p = 3k2 + 2k . On obtient : n2 = 3p + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n2. (c’est-à-dire : n2/3).

∴ Si n = 3k + 2, alors

n2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1

On pose p′ = 3k2 + 4k + 1 . On obtient : n2 = 3p′ + 1. Donc ceci signifie que 3 ne divise pas n2. (c’est-à-dire : n2/3 ).

On conclut que dans tous les deux cas n2/3. Ceci signifie que : n/3n2/3. Donc par contraposition ceci est équivalente à :

(∀n) , n2/3n/3.

3. Soit x +, montrer que : √x/x2−x+14/3√x.

4. Soit n. Montrons que : √4n2+5n+3.

On suppose par l’absurde que √4n2+5n+3. Alors

m, √4n2+5n+3 = m

Donc

4n2 + 5n + 3 = m2

On a : (2n + 1)2 < 4n2 + 5n + 3 et 4n2 + 5n + 3 < (2n + 2)2. C’est-à-dire

(2n + 1)2 < 4n2 + 5n + 3 < (2n + 2)2

donc

(2n + 1) < √4n2+5n+3 < (2n + 2)

d’où

(2n + 1) < m < (2n + 2).

C’est une contradiction car on peut pas avoir un entier strictement compris entre deux entiers consécutifs (2n + 1) et (2n + 2).

Ceci signifie que

(∀n) , √4n2+5n+3 .

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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