Devoir maison sur l’arithmétique dans N

Devoir maison sur l’arithmétique dans N. (1ère année lycée – Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (Devoir maison sur l’arithmétique dans N)

On pose : a = 7ⁿ⁺² − 7ⁿ et b = 3 × 7ⁿ⁺¹ + 5 × 7ⁿ où n ∈ ℕ.

1. Montrer que a est divisible par 3 et que b est divisible par 13.
2. Donner la décomposition en facteurs premiers de a et b.
3. Déduire : PGCD (a, b) et PPCM (a, b).

Exercice 2

Déterminer tous les couples (x, y) d’entiers naturels non nuls vérifiant l’équation :

1/x + 1/y = 1/2

Exercice 3

1. Soit p ∈ ℕ avec p impair.

Vérifier que : p = (p+1/4)² − (p−1/4)².

2. Appliquer ce résultat au nombre p = 2019.

3. Soit n ∈ ℕ.

a) Montrer que le nombre n² + n + 7 est impair.

b) Ecrire n² + n + 7 sous la forme de différence de deux carrés consécutifs.

Exercice 4

1. Soient a et b deux entiers naturels tels que : a > b.

Montrer que a − b et a + b ont la même parité.

2. Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels tels que : a² − b² = 36.

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Correction du devoir

Exercice 1

On pose : a = 7ⁿ⁺² − 7ⁿ et b = 3 × 7ⁿ⁺¹ + 5 × 7ⁿ. Où n ∈ ℕ.

1. Montrons que a est divisible par 3 et b est divisible par 13.

Soit n ∈ ℕ.

∷ On a

a = 7ⁿ⁺² − 7ⁿ

= 7ⁿ × 7² − 7ⁿ

= 7ⁿ(7² − 1)

= 7ⁿ(49 − 1)

= 7ⁿ × 48

= 7ⁿ × 16 × 3

Donc 3 divise a.

∷ On a

b = 3 × 7ⁿ⁺¹ + 5 × 7ⁿ

= 3 × 7ⁿ × 7 + 5 × 7ⁿ

= 7ⁿ(3 × 7 + 5)

= 7ⁿ × 26

= 7ⁿ × 13 × 2

Donc 13 divise b.

2. La décomposition en facteurs premiers de a et b.

Soit n ∈ ℕ.

On a

a = 7ⁿ × 16 × 3

= 7ⁿ × 2⁴ × 3

et

b = 7ⁿ × 13 × 2

Donc pour tout n ∈ ℕ : a = 7ⁿ × 2⁴ × 3 et b = 7ⁿ × 13 × 2.

3. On cherche PGCD (a, b) et PPCM (a, b).

Soit n ∈ ℕ.

On a : a = 7ⁿ × 2⁴ × 3 et b = 7ⁿ × 13 × 2. Donc

PGCD (a, b) = 7ⁿ × 2 et PPCM (a, b) = 7ⁿ × 2⁴ × 3 × 13.

Exercice 2

On cherche tous les couples (x, y) d’entiers naturels non nuls vérifiant : 1/x + 1/y = 1/2.

Soit x et y deux entiers naturels non nuls.

On a

1/x + 1/y = 1/2

Éq : y+x/xy = 1/2

Éq : 2(y + x) = xy

Éq : 2x + 2y − xy = 0

Éq : 2x − xy + 2y = 0

Éq : x(2 − y) + 2y − 4 + 4 = 0

Éq : x(2 − y) − 2(2 − y) + 4 = 0

Éq : (2 − y)(x − 2) = −4

Éq : (y − 2)(x −2) = 4

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