Devoir sur les polynômes et les équations inéquations et systèmes

Devoir sur les polynômes et les équations inéquations et systèmes

Devoir surveillé sur les polynômes et les équations inéquations et systèmes. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1 (3 pts)
  1. Résoudre dans les équations (E) : x2 − 3x + 2 = 0 et (E′) : x2 + 3x + 4 = 0.
  2. En déduire l’ensemble des solutions dans de l’inéquation (I) : x2+3x+4/x2−3x+2 > 0.
Exercice 2 (11 pts) 
  1. a) Résoudre dans l’équation (E) : 2x2 + 4x − 6 = 0.

b) Déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E) : 2x + 4√x − 6 = 0.

2. On considère le polynôme P(x) = 2x3 − 7x2 + 7x − 2.

a) Vérifier que 0 n’est pas une racine du polynôme P(x).

b) Montrer que si α est une racine du polynôme P(x), alors il en est de même 1/α.

c) Montrer que 2 est une racine du polynôme P(x).

d) Déterminer un polynôme Q(x) tel que : P(x) = (x − 2).Q(x)

e) Déduire une factorisation du polynôme P(x) en produit de 3 polynômes de degré 1.

3. Résoudre dans l’inéquation P(x) ≤ 0.

4. Résoudre dans l’équation : 2x3 − 7x2 + 7x− 2 = 0.

5. Soit α un réel tel que : 2 < α < 3.

Donner un encadrement pour α − 1 et α − 2, puis déduire un encadrement pour P(α).

Exercice 3 (6 pts) 
    1. Résoudre dans 2 l’équation (E) : 4x + y + 3 = 0.
    2. Déduire graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquations (I) : 4x + y + 3 > 0.
  1. Résoudre dans 2 le système suivant (S) : { x + 2y = 4 et −x + 4y = 2 .
  2. Résoudre graphiquement le système suivant (S) : { 4x + y − 50 et −x + y − 20
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Correction du devoir surveillé 

Exercice 1
  1. Résolvons dans les équations (E) et (E′) :

∎ Calculons le discriminant ∆ de l’équation (E) :

On a ∆ = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 × 1 × 2 = 1 > 0. Donc l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 telles que :

x1 = 3−√1/2×1 = 1 et x2 = 3+√1/2×1 = 2

d’où l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = {1, 2}

∎ On a ∆ = b2 − 4ac = 32 − 4 × 1 × 4 = − 7 < 0. Donc l’équation (E′) n’admet pas des solutions dans . D’où

S = Ø

2. On déduit dans l’ensemble des solutions de l’inéquation (I) : x2+3x+4/x2−3x+2 > 0.

On cherche l’ensemble de définition de l’inéquation (I) :

D = {x/ x2 − 3x + 2 ≠ 0}

On sait d’après la question précédente que l’équation x2 − 3x + 2 = 0 admet deux solutions 1 et 2 donc

D = {x/ x ≠ 1 et x ≠ 2} = ∖ {1, 2}

d’où l’inéquation (I) est définie sur ∖ {1, 2}.

Puisque le signe de x2+3x+4/x2−3x+2 dépend du signe des trinômes x2 + 3x+ 4 et x2 − 3x + 2.

Donc on obtient le tableau de signe suivant :

donc l’ensemble des solutions de l’inéquation (I) est :

S = ]−∞, 1[∪]2, +∞[

Exercice 2
  1. a) Résolvons dans l’équation (E) : 2x2 + 4x − 6 = 0.

Calculons le discriminant ∆ :

On a ∆ = b2 − 4ac = 42 − 4 × 2 × (−6) = 64 > 0. Donc l’équation (E) admet deux solutions réelles distinctes x1 et x2 telles que :

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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