par Devoir maison sur le calcul vectoriel dans le plan. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)
Exercice 1 (Devoir maison sur le calcul vectoriel)
ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu du [MC]. Soit K un point du plan tel que : CK = 1/3CB.
- Montrer que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC.
- Déduire que les points A, I et K sont alignés.
Exercice 2
ABCD est un quadrilatère convexe. I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].
- Montrer que : IJ = 1/2(AD + BC).
- On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k ∈ ℝ*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].
a) Montrer que : IN = MJ = 1/2AD.
b) Montrer que : IJ = (k+1/2)AD
c) Déterminer k pour tout IN = MJ = NM.
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Correction du devoir maison
Exercice 1
ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu [MC]. Soit K un point du plan tel que CK = 1/3CB.
- Montrons que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC
∎ On a
AI = AM + MI
= AM + MC/2
= AM + 1/2MA + 1/2AC
= AM − 1/2AM + 1/2AC
= 1/2AM + 1/2AC
= 1/2 × 1/2AB + 1/2AC
= 1/4AB + 1/2AC
donc
AI = 1/4AB + 1/2AC
∎ On a
AK = AC + CK
= AC + 1/3CB
= AC + 1/3CA + 1/3AB
= 2/3AC + 1/3AB
donc
AK = 1/3AB + 2/3AC
2. On déduit que les point A, I et K sont alignés.
On a
AI = 1/4AB + 1/2AC = 3/4(1/3AB + 2/3AC) = 3/4AK
donc on déduit que les vecteurs AI et AK sont colinéaires, ceci signifie que les points A, I et K sont alignés.
Exercice 2
ABCD est un quadrilatère convexe, I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].
- Montrons que : IJ = 1/2(AD + BC).
On a
IJ = IA + AJ
= BA/2 + AC + CJ
= BA/2 + AC + CD/2
= BC/2 + CA/2 + AC + CA/2 + AD/2
= BC/2 + AD/2 − AC/2 + AC − AC/2
= 1/2(AD + BC)
donc
IJ = 1/2(AD + BC).
2. On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k ∈ ℝ*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].
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