Devoir maison sur le calcul vectoriel

Devoir maison sur le calcul vectoriel

Devoir maison sur le calcul vectoriel dans le plan. (1ère année lycée/ Tronc commun scientifique)

Exercice 1

ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu du [MC]. Soit K un point du plan tel que : CK = 1/3CB.

  1. Montrer que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC.
  2. Déduire que les points A, I et K sont alignés.
Exercice 2

ABCD est un quadrilatère convexe. I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].

  1. Montrer que : IJ = 1/2(AD + BC).
  2. On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].

a) Montrer que : IN = MJ = 1/2AD.

b) Montrer que : IJ = (k+1/2)AD

c) Déterminer k pour tout IN = MJ = NM.

Cliquer ici pour télécharger devoir maison sur le calcul vectoriel

Correction du devoir maison 

Exercice 1

ABC est un triangle. Soit M le milieu du [AB] et I est le milieu [MC]. Soit K un point du plan tel que CK = 1/3CB.

  1. Montrons que : AI = 1/4AB + 1/2AC et AK = 1/3AB + 2/3AC

∎ On a

AI = AM + MI

= AM + MC/2

= AM + 1/2MA + 1/2AC

= AM − 1/2AM + 1/2AC

= 1/2AM + 1/2AC

= 1/2 × 1/2AB + 1/2AC

= 1/4AB + 1/2AC

donc

AI = 1/4AB + 1/2AC

∎ On a

AK = AC + CK

= AC + 1/3CB

= AC + 1/3CA + 1/3AB

= 2/3AC + 1/3AB

donc

AK = 1/3AB + 2/3AC

2. On déduit que les point A, I et K sont alignés.

On a

AI = 1/4AB + 1/2AC = 3/4(1/3AB + 2/3AC) = 3/4AK

donc on déduit que les vecteurs AI et AK sont colinéaires, ceci signifie que les points A, I et K sont alignés.

Exercice 2

ABCD est un quadrilatère convexe, I et J respectivement les milieux de [AB] et [CD].

  1. Montrons que : IJ = 1/2(AD + BC).

On a

IJ = IA + AJ

= BA/2 + AC + CJ

= BA/2 + AC + CD/2

= BC/2 + CA/2 + AC + CA/2 + AD/2

= BC/2 + AD/2 − AC/2 + AC − AC/2

= 1/2(AD + BC)

donc

IJ = 1/2(AD + BC).

2. On suppose que ABCD est un trapèze et on pose BC = kAD avec k*. M est le milieu de [AC] et N est le milieu de [BD].

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir maison sur le calcul vectoriel

Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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