Fonction arctan exercices corrigés

Fonction arctan exercices corrigés pdf. (2ème année bac sm/ Terminale)

Exercice 1 (Fonction arctan exercices corrigés)

1. Simplifier les expressions suivantes :

∎ A = arctan2 + arctan1/2

∎ B = arctan(1 − √2) − arctan(1 + √2).

2. Établir les égalités suivantes :

∎ arctan1/2 + arctan1/3 = π/4

∎ arctan1/2 + arctan1/5 + arctan1/8 = π/4

∎ 4arctan1/5 − arctan1/239 = π/4

3. On pose : α = 2arctan1/2 − arctan1/7.

a) Montrer que : 0 < α < π/3.

b) Calculer tanα et déduire la valeur de α.

Exercice 2 (Fonction arctan exercices corrigés)

Résoudre dans l’ensemble ℝ les équations suivantes :

1. (E₁) : arctan(3x) = π/8
2. (E₂) : arctan(x² − x) = 3π/4
3. (E₃) : arctan(√x) = −π/4
4. (E₄) : arctan(x) + arctan(2x) = π/3
5. (E₅) : arctan(x) = arctan1/2 + arctan1/3
6. (E₆) : arctan(x) + arctan(2x) = π/4
7. (E₇) : arctan(x) + arctan(x − 1) = π/2.

Exercice 3

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ arctan(√x−1/x) , lim_x→2⁺ (x − 2)arctan(1/x−2) ,

lim_x→+∞ arctan(5x² + x + 1)/x , lim_x→π/2⁺ arctan (tan x) ,

lim_x→+∞ x.arctan(√x) − π/2x , lim_x→0⁺ 1/xarctan(√x/1+x) ,

lim_x→0⁺ √x²+1.arctan(x) − π/2x , lim_x→1⁺ x−²√arctanx−π/4−1/x−1

Exercice 4

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ƒ puis simplifier son expression.

1. ƒ(x) = arctan(x²−1/2x)
2. ƒ(x) = arctan(1+x/1−x)
3. ƒ(x) = arctan(√1+x² − x)
4. ƒ(x) = arctan(√1+x² − x/x)

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Correction de la série

Exercice 1

1. Simplifions les expressions suivantes :

∎ A = arctan2 + arctan(1/2)

On pour tout x ∈ ]0, +∞[, arctanx + arctan(1/x) = π/2.

En particulier pour x = 2, on obtient :

A = arctan2 + arctan(1/2) = π/2.

∎ L’expression : B = arctan(1 − √2) − arctan(1 + √2).

On sait que : 1 − √2 = tan(−π/8), alors : arctan(1 − √2) = arctan(tan(−π/8)) = −π/8.

Donc

B = −π/8 − arctan(1 + √2)

= −π/4 − π/8 + π/4 − arctan(1 + √2)

= −3π/8 + (arctan(1) − arctan(1 + √2))

= −3π/8 + arctan(1−1−√2/1+1+√2) / arctana − arctanb = arctan(a−b/1+ab)

avec a ≥ 0 et b ≥ 0

= −3π/8 + arctan(2−2√2/2)

= −3π/8 + arctan(1 − √2)

= −3π/8 − π/8

= −4π/8

= −π/2

2. Montrons les égalités suivantes :

∎ arctan1/2 + arctan1/3 = π/4.

On a : 0 < 1/2 < 1 et 0 < 1/3 < 1 , alors arctan1/2 ∈ ]0, π/4[ et arctan1/3 ∈ ]0, π/4[ , d’où

arctan1/2 + arctan1/3 ∈ ]0, π/2[.

Donc

tan(arctan1/2 + arctan1/3) = tan(arctan1/2)+tan(arctan1/3)/1−tan(arctan1/2).tan(arctan1/3)

= 1/2+1/3/1−1/2×1/3

= 1

d’où

tan(arctan1/2 + arctan1/3) = 1 (*)

on en déduit que :

(*) ⇔ arctan(tan(arctan1/2 + arctan1/3)) = arctan1

⇔ arctan1/2 + arctan1/3 = π/4.

d’où on obtient

arctan1/2 + arctan1/3 = π/4

∎ arctan1/2 + arctan1/5 + arctan1/8 = π/4.

On a 0 < 1/5 < 1 et 0 < 1/8 < 1, alors arctan1/5 ∈ ]0, π/4[ et arctan1/8 ∈ ]0, π/4[ , d’où

(arctan1/5 + arctan1/8) ∈ ]0, π/2[.

Donc

tan(arctan1/5 + arctan1/8) = tan(arctan1/5)+tan(arctan1/8)/1−tan(arctan1/5).tan(arctan1/8)

= 1/5+1/8/1−1/5×1/8

= 1/3

d’où

tan(arctan1/5 + arctan1/8) = 1/3 (*)

on en déduit que :

(*) ⇔ arctan(tan(arctan1/5 + arctan1/8)) = arctan1/3

⇔ arctan1/5 + arctan1/8 = arctan1/3.

D’autre part, on a : arctan 1/3 ∈ ]0, π/4[ et arctan1/2 ∈ ]0, π/4[, alors

(arctan1/3 + arctan1/2) ∈ ]0, π/2[.

Donc

tan(arctan1/3 + arctan1/2) = tan(arctan1/3)+tan(arctan1/2)/1−tan(arctan1/3).tan(arctan1/2)

= 1/3+1/2/1−1/3×1/2

= 1

d’où

tan(arctan1/3 + arctan1/2) = 1 (**)

on en déduit que :

(**) ⇔ arctan(tan(arctan1/3 + arctan1/2)) = arctan1

⇔ arctan1/3 + arctan1/2 = π/4

puisque arctan1/3 = arctan1/5 + arctan1/8, donc

arctan1/5 + arctan1/8 + arctan1/2 = π/4

4arctan1/5 − arctan1/239 = π/4.

On a arctan 1/5 ∈ ]0, π/8[, alors 4arctan1/5 ∈ ]0, π/4[.

Et comme

tan(2arctan1/5) = 2tan(arctan1/5)/1−tan²(arctan1/5) = 2/5/1−1/25 = 5/12,

puis

tan(4arctan1/5) = 2tan(2arctan1/5)/1−tan²(2arctan1/5) = 5/6/1−(5/12)² = 120/119.

d’où

tan(4arctan1/5) = 120/119 (∵)

on en déduit que :

(∵) ⇔ arctan(tan(4arctan1/5)) = arctan120/119

⇔ 4arctan1/5 = arctan120/119.

D’autre part, on a : 120/119 ∈ ]0, √3[, alors arctan120/119 ∈ ]0, π/3[ et arctan1/239 ∈ ]0, π/4[, alors

(arctan120/119 − arctan1/239) ∈ ]−π/4, π/3[.

Donc

tan(arctan120/119 − arctan1/239) = tan(arctan120/119)−tan(arctan1/239)/1+tan(arctan120/119).tan(arctan1/239)

= 120/119−1/239/1+120/119×1/239

= 1

d’où

tan(arctan120/119 − arctan1/239) = 1 (∵∵)

on en déduit que :

(∵∵) ⇔ arctan(tan(arctan120/119 − arctan1/239)) = arctan1

⇔ arctan120/119 − arctan1/239 = π/4

puisque arctan120/119 = 4arctan1/5, donc

4arctan1/5 − arctan1/239 = π/4

3. On pose : α = 2arctan1/2 − arctan1/7.

a) Vérifions que : 0 < α < π/3.

On a : 1/2 ∈ ]0, √3/3[ et 1/7 ∈ ]0, 1[ , alors 2arctan1/2 ∈ ]0, π/3[ et arctan1/7 ∈ ]0, π/4[ , donc

(2arctan1/2 − arctan1/7) ∈ ]−π/4, π/3[

C’est-à-dire α ∈ ]−π/4, π/3[ donc α < π/3. (1)

D’autre part, on a

1/2 > 1/7 ⇔ arctan1/2 > arctan1/7

⇒ 2arctan1/2 > 2arctan1/7 > arctan1/7

⇒ 2arctan1/2 > arctan1/7

⇒ 2arctan1/2 − arctan1/7 > 0

⇒ α > 0.

Ceci signifie que α > 0. (2)

D’où d’après (1) et (2) on déduit que

0 < α < π/3

b) ∎ Calculons tanα.

On a : α ∈ ]0, π/3[. Donc

tanα = tan(2arctan1/2 − arctan1/7)

= tan(2arctan1/2)−tan(arctan1/7)/1+tan(2arctan1/2).tan(arctan1/7)

Calculons tan(2arctan1/2).

On a : 2arctan1/2 ∈ ]0, π/3[, donc

tan(2arctan1/2) = 2tan(arctan1/2)/1−tan²(arctan1/2) = 2×1/2/1−1/2 = 2.

d’où

tanα = tan(2arctan1/2)−tan(arctan1/7)/1+tan(2arctan1/2).tan(arctan1/7)

= 2−1/7/1+2×1/7

= 13/9

d’où

tan(α) = 13/9 (*)

on en déduit que :

(*) ⇔ arctan(tan(α)) = arctan13/5

⇔ α = arctan13/5

Exercice 2

On résout les équations suivants dans ℝ.

1. L’équation (E₁) : arctan3x = π/8 est définie sur ℝ.

Soit x ∈ ℝ.

(E₁) ⇔ tan(arctan3x) = tanπ/8

⇔ 3x = tanπ/8

⇔ x = tanπ/8/3.

Donc l’ensemble des solutions de l’équation est :

S = {tan(π/8)/3}.

2. L’équation (E₂) : arctan(x² − x) = 3π/4 est définie sur ℝ.

Soit x ∈ ℝ.

(E₂) ⇔ tan(arctan(x² − x)) = tan3π/4

⇔ x² − x = tan(π − π/4)

⇔ x² − x = tan(−π/4)

⇔ x² − x = − 1

⇔ x² − x + 1 = 0

Comme l’équation (E′) : x² − x + 1 = 0 a pour discriminant négatif, ceci signifie qu’elle n’admet aucune solution réelle. Par suite l’équation (E₂) n’admet aucune solution dans ℝ. C’est-à-dire

S = Ø.

3. L’équation (E₃) : arctan√x = −π/4 est définie sur ℝ⁺.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Étude de la fonction arctangente
• Théorème de Rolle et des accroissements finis