Limites et continuité exercices corrigés 2 bac sm

Limites et continuité exercices corrigés 2 bac sm. (2ème année bac sm)

Exercice 1 (Limites et continuité exercices corrigés 2 bac sm)

On considère la fonction ƒ définie par : { ƒ(x) = √3+cosx−2/x² si x ≠ 0 et ƒ(0) = −1/8

Montrer que la fonction ƒ est continue en 0.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : { ƒ(x) = 2x² − 3x si x < −1 et ƒ(x) = x² + 4 si −1 ≤ x < 1 et ƒ(x) = √x²+2 + 2 si x ≥ 1

Étudier la continuité de ƒ sur ℝ.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par : { ƒ(x) = x³ + ax² − 3 si x ≤ 1 et ƒ(x) = ax + b si 1 < x < 2 et ƒ(x) = ax²+2/3x−1 si x ≥ 2

Déterminer les nombres a et b pour que ƒ soit continue sur ℝ.

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par : { ƒ(x) = x²+x−a/x−2 si x > 2 et ƒ(x) = 2x+b/3 si x ≤ 2

Déterminer les nombres a et b pour que ƒ soit continue en 2.

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction ƒ à droite et à gauche au point x₀ :

1. { ƒ(x) = x−2√x/x−4 si 0 ≤ x < 4 ; ƒ(4) = 1/2 ; ƒ(x) = √x−4/x−4 si x > 4 et x₀ = 4.
2. { ƒ(x) = 2sinx−sin(2x)/x³ si x ∈ ]0, π/2[ ; ƒ(0) = 1 ; ƒ(x) = tanx−sinx/x³ si x ∈ ]−π/2, 0[ et x₀ = 0.

Exercice 6

Dans chacun des cas suivants, montrer que l’équation proposée admet au moins une solution dans l’intervalle I :

1. (E) : x³ − 3x + 1 = 0, I = [0, 1].
2. (E) : 2sin x = x, I = ]π/3, π[.
3. (E) : x + x² + … + xⁿ = 1. I = ]1/2, 1].

Exercice 7

On considère dans ℝ l’équation (E) : x³ + x + 1 = 0.

Montrer que l’équation (E) admet une unique solution dans ]−3/4, −1/2[.

Exercice 8

Soit n ∈ ℕ*.

1. Montrer que l’équation : cosx + cos2x + cos3x + … + cosnx = 0 admet au moins une solution dans [0, π].
2. Montrer que l’équation : x/√x²+1 − cos(πx) = 0 admet une unique solution dans ]0, 1[.

Exercice 9

Soit ƒ une fonction numérique continue sur [a, b] (avec a < b)

Montrer que : (∃c ∈ ]a, b[), ƒ(c) = 1/a−c + 1/b−c .

Exercice 10

On considère ƒ une fonction numérique définie et continue sur l’intervalle [0, 1]. Montrer que :

(∃c ∈ ]0, 1[), ƒ(c) = 1/c + 1/c−1.

Exercice 11

Soit ƒ une fonction définie de [0, 1] dans [0, 1] et continue sur [0, 1]. Montrer que :

(∃c ∈ [0, 1]), ƒ(c) + ƒ(1 − c) = 2c.

Exercice 12

Soit ƒ une fonction continue sur I = [0, 1] telle que ƒ(0) = ƒ(1).

Montrer que : (∃c ∈ [0, 1/2]), ƒ(c + 1/2) = ƒ(c).

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Correction de la série

Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : { ƒ(x) = 2x² − 3x si x < −1 et ƒ(x) = x² + 4 si −1 ≤ x < 1 et ƒ(x) = √x²+2 + 2 si x ≥ 1

∎ La fonction x → 2x² − 3x est continue sur ℝ, car c’est une fonction polynôme donc ƒ est continue sur l’intervalle ]−∞, −1[.

∎ La fonction x → x² + 4 est continue sur ℝ, car c’est une fonction polynôme donc ƒ est continue sur l’intervalle [−1, 1[.

∎ La fonction x → √x²+2 + 2 est continue sur [1, +∞[ donc ƒ est continue sur [1, +∞[.

∎ On étudie la continuité de ƒ en 1 et − 1 :

On a : ƒ(−1) = 5 et lim_x→−1⁻ ƒ(x) = lim_x→−1⁻ 2x² − 3x = 5 donc

lim_x→−1⁻ ƒ(x) = ƒ(−1)

d’où ƒ est continue à gauche en − 1 et comme ƒ est continue à droite en − 1 (la fonction ƒ est continue sur [−1, 1[)

par suite ƒ est continue en −1.

On a : ƒ(1) = √3 + 2 et lim_x→−1⁻ ƒ(x) = lim_x→−1⁻ x² + 4 = 5 ≠ ƒ(1) donc ƒ n’est pas continue à gauche de 1 (ƒ est continue sur [1, +∞[ c’est-à-dire continue à droite en 1) par suite ƒ n’est pas continue en 1.

Donc ƒ n’est pas continue sur ℝ.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par : { ƒ(x) = x³ + ax² − 3 si x ≤ 1 et ƒ(x) = ax + b si 1 < x < 2 et ƒ(x) = ax²+2/3x−1 si x ≥ 2

Déterminons a et b :

∎ La fonction x → x³ + ax² − 3 est continue sur ℝ, car c’est une fonction polynôme donc ƒ est continue sur l’intervalle ]−∞, 1].

∎ La fonction x → ax + b est continue sur ℝ, car c’est une fonction polynôme donc ƒ est continue sur l’intervalle ]1, 2[.

∎ La fonction x → ax²+2/3x−1 est continue sur ℝ \ {1/3} donc ƒ est continue sur [2, +∞[.

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Devoir surveillé limites et continuité 2 bac sm

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→1 x^2/3−1/arctan(x−1) , lim_x→+∞ xarctan (√x) − π/2x , lim_x→−∞ x−∛x²/x ,

lim_x→+∞ (2x + 1 − ∛x−8x³) , lim_x→0⁺ 1/x arctan (√x/x+1) , lim_x→+∞ 2∛x+1−⁵√x.^₁₅√x²/∛x−1−∛x

lim_x→+∞ 1/x(x^2/3−x^1/3)^3/2

Exercice 2

1. Montrer que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]1, +∞[), arctan (2x/1−x²) = 2arctan (x) − π.
3. Résoudre dans ℝ ce qui suit : arctan (x) + arctan (2x) = π/3 et arctan (x) + arctan (2x) > π/3.

Exercice 3

Soit ƒ une fonction continue sur [0, 1] telle que : (∀x ∈ [0, 1] , ƒ(x) ≤ 0) et ƒ(0) = ƒ(1) = 0.

Montrer que : (∀n ∈ ℕ*)(∃c ∈ [0, 1]) , ƒ(c) = ƒ(c + 1/c).

Exercice 4

On considère la fonction g définie sur I = [0, π/4[ par : g(x) = −1/1−tan³(x).

1. Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J à déterminer.
2. Dresser le tableau de variations de g⁻¹.
3. Calculer g⁻¹(x) pour tout x ∈ J.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 2

1. Montrons que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Calculons d’abord : 2 arctan 2.

On a 2 > 0 alors arctan (2) ∈ ]0, π/2[ d’où 2 arctan (2) ∈ ]0, π[. Donc

tan(2. arctan 2) = 2tan(arctan (2))/1−tan²(arctan 2) = 2×2/1−4 = −4/3

puisque : tan (2. arctan (2)) < 0, alors

2. arctan (2) ∊ ]π/2 , π[ ⇔ π/2 < 2.arctan 2 < π

⇔ − π/2 < (2.arctan (2)) − π < 0

⇔ (2. arctan (2) − π) ∈ ]−π/2 , 0[

Or : tan(2. arctan 2) = tan((2. arctan(2)) − π), et comme tan (2. arctan 2) = −4/3 alors

tan((2. arctan(2)) − π) = −4/3 ⇔ arctan(tan((2. arctan(2)) − π) = arctan (−4/3)

Donc

2. arctan (2) − π = arctan (−4/3)

Ceci signifie que

2arctan (2) = π + arctan (−4/3) = π − arctan (4/3)

D’où

2arctan (2) + arctan (4/3) = π − arctan (4/3) + arctan (4/3) = π

On obtient

2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Montrons que pour tout x ∈ ]1, +∞[, on a arctan (2x/1−x²) = 2arctan (x) − π.

Soit x ∈ ]1, +∞[, alors il existe un unique α ∈ ]π/4, π/2[ tel que : tan α = x. (C’est-à-dire : α = arctan

Donc

2x/1−x² = 2tan α/1−tan²α = tan (2α) (∴)

On a

π/4 < α < π/2 ⇔ π/2 < 2α < π ⇔ −π/2 < 2α − π < 0 ⇔ (2α − π) ∈ ]−π/2, 0[

et comme : tan (2α) = tan (2α − π) . Donc d’après (∴) on obtient

arctan (2x/1−x²) = arctan (tan(2α − π))

= 2α − π

= 2arctan x − π

Donc

(∀x ∈ ]1, +∞[) , arctan (2x/1−x²) = 2arctan x − π

3. Résolvons dans ℝ l’équation :

∎ (E) : arctan (x) + arctan (2x) = π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’équation (E).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’équation n’admet pas des solutions dans ℝ⁻.

Soit x ∈ ]0, +∞[ , alors arctan x ∈ ]0, π/2[ et (π/3 − arctan (x)) ∈ ]− π/6, π/3[ . Donc

(E) ⇔ arctan 2x = π/3 − arctan (x)

⇔ tan (arctan 2x) = tan (π/3 − arctan (x))

⇔ 2x = √3−x/1+√3x

⇔ 2x(1 + √3x) = √3 − x

⇔  2√3x² + 3x − √3 = 0

⇔ x = √11−√3/4 ou x = −√99−3√3/12 _<0

⇔ x = √11−√3/4

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = {√11−√3/4}

∎ (I) : arctan (x) + arctan (2x) > π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’inéquation (I).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’inéquation n’admet pas des solutions dans ℝ⁻.

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