Fonction partie entière

Fonction partie entière

La fonction partie entière exercices corrigés.

Exercice 1 (La fonction partie entière exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)

  1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
  2. Calculer limx→(1/2) ƒ(x).

Exercice 2 (La fonction partie entière exercices corrigés)

  1. Soit ƒ la fonction définie sur * par :

ƒ(x) = 1 − xE(1/x)

Montrer que : (∀x *), ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ et en déduire que : limx→0 ƒ(x).

2. Soit g la fonction numérique définie sur * par : g(x) = (sin x). E(1/x).

a) Montrer que :

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x et (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x g(x) < sinx/x − sinx.

b) Déduire limx→0g(x).

3. Soit h la fonction numérique définie sur * par :

h(x) = x−E(x)/√∣x

Calculer limx→0h(x).

Exercice 3 (La fonction partie entière exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = √∣x∣−E(x) − x

    1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
    2. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
  1. Soit k .
    1. Étudier la continuité de ƒ à gauche et à droite au point x0 = k.
    2. Étudier la continuité de ƒ sur l’intervalle ]k, k + 1[.

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/E(2/x)−1

  1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.

a) Montrer que : (∀xD) , 2−2x/x < E(2/x) − 12−x/x.

b) Déduire limx→0 ƒ(x).

Exercice 5

  1. Montrer que :

(∀x)(∀n*) , E(E(nx)/n) = E(x) .

2. Montrer que :

(∀x)(∀n*) , ∑n−1k=0 E(x + k/n) = E(nx).

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Correction de la série d’exercices (Fonction partie entière)

Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)

  1. On cherche D l’ensemble de définition de ƒ :

D = {x / πx ≠ π/2 + kπ et x − E(x) ≠ 0 /k

= {x / x ≠ 1/2 + k et E(x) ≠ x /k}

= {x/ x ≠ 1/2 + k et x /k}

= ∖({1/2 + k /k } ∪ )

2. Calculons limx→(1/2) ƒ(x).

Soit x ∈ ]0, 1/2[. On a E(x) = 0. D’où ƒ(x) = tan(πx)/x.

On pose X = x − 1/2. Donc

tan(πx) = tan(π(X + 1/2)) = tan(πX + π/2) = −1/tan(πX).

Alors

limx→(1/2) ƒ(x) = limX→0 −1/tan(πX)(X+1/2)

= limX→0 −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)

= limX→0 −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)

= +∞ 

Exercice 2

  1. Soit ƒ la fonction définie sur * par :

ƒ(x) = 1 − x.E(1/x)

∎ Montrons que : (∀x*) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.

Soit x *.

∣ƒ(x)∣ = ∣1 − x.E(1/x)∣ = ∣x∣.∣1/x − E(1/x)∣

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ −1/x −E(1/x) < 1 − 1/x

 0 1/x − E(1/x) < 1

 −1 < 1/x − E(1/x) < 1

⇒ ∣1/x − E(1/x)∣ < 1.

Donc

x∣.∣1/x − E(1/x)∣ < ∣x∣.

C’est-à-dire

(∀x *) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.

∎ La déduction : limx→0 ƒ(x).

Soit x*.

On a

∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ ⇔ −∣x∣ < ∣ƒ(x)∣ < ∣x

comme limx→0x∣ = limx→0x= 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0 ƒ(x).

2. Soit g la fonction numérique définie sur * par : g(x) = (sinx).E(1/x).

a) Montrons que : (∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

Soit x ∈ ]0, π[.

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ sinx/x − sinx < (sinx). E(1/x) ≤ sinx/x

Donc

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

∎ Montrons que : (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/xg(x) < sinx/x − sinx.

Soit x ∈ ]−π, 0[.

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ sinx/x ≤ (sinx). E(1/x) < sinx/x − sinx/x.

Donc

(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/xg(x) < sinx/x − sinx.

b) Déduction : limx→0 g(x).

On a

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

Comme limx→0+ sinx/x − sinx = 1 et limx→0+ sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0+ g(x) = 1.

D’autre part, on a

(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x g(x) < sinx/x − sinx.

Comme limx→0 sinx/x − sinx = 1 et limx→0 sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0 g(x) = 1.

D’où limx→0+ g(x) = limx→0 g(x) = 1. C’est-à-dire : limx→0 g(x) = 1.

3. Soit h la fonction numérique définie sur * par :

h(x) = x−E(x)/√∣x

Calculons limx→0 h(x).

∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a E(x) = 0. Donc h(x) = x/√x = √x. D’où

limx→0+ h(x) = 0.

∎ Soit x ∈ ]−1, 0[, on a E(x) = −1. Donc h(x) = x+1/√−x. D’où

limx→0 h(x) = limx→0 x+1/√−x

= limx→0 −(√−x)2/√−x + 1/√−x

= limx→0 − √−x + 1/√−x = +∞ 

Par suite h n’admet pas une limite finie en 0.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = √x∣−E(x) − x

  1. a) On cherche l’ensemble de définition D.

D = {x/ ∣x∣ − E(x) ≥ 0

∎ Si x ∈ [0, +∞[ . Alors ∣x= x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

 −x −E(x) < 1 − x

 0 x − E(x) < 1

∎ Si x ∈ ]−∞, 0] . Alors ∣x= −x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ −2x −x − E(x) < 1 − 2x

⇔ 0 −x − E(x) < 1 − 2x

Donc

D =

b) Calculons limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).

∎ Soit x ∈ [0, +∞[ . On a ƒ(x) = √x−E(x) − x.  

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ 0 x − E(x) < 1

⇔ 0√x−E(x) < 1

 −x√x−E(x) − x < 1 − x

 −x ≤ ƒ(x) < 1 − x.

D’où

(∀x ∈ [0, +∞[) , ƒ(x) < 1 − x

comme limx→+∞ 1 − x = −∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a

limx→+∞ ƒ(x) = −∞.

∎ Soit x ∈ ]−∞, 0] . On a ƒ(x) = √−x−E(x) − x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ −x − E(x) < 1 − x

⇔ −2x−x − E(x) < 1 − 2x

⇔ √−2x√−x− E(x) < √1−2x

⇔ √−2x − x √−x− E(x) − x < √1−2x − x

⇔ √−2x − x ≤ ƒ(x) < √1−2x − x

D’où

(∀x ∈ ]−∞, 0]) , √−2x − x ≤ ƒ(x)

comme limx→−∞ √−2x − x = +∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a

limx→−∞ ƒ(x) = +∞.

2. Soit k.

a) La continuité de ƒ à gauche et à droite au point x0 = k.

  • La continuité de ƒ à droite en k.

Soit x ∈ ]k, k+1[ . On a E(x) = k. Donc ƒ(x) = √x−k − x.

D’où

limx→k+ ƒ(x) = limx→k+x−k − x = √k−k − k = ƒ(k).

Par suite la fonction ƒ est continue à droite de k.

  • La continuité de ƒ à gauche en k.

Soit x ∈ ]k−1, k[ . On a E(x) = k − 1. Donc ƒ(x) = √∣x−k+1 − x.

D’où

limx→k ƒ(x) = limx→kx−k+1 − x = √k−k+1 − k ≠ ƒ(k).

Par suite la fonction ƒ n’est pas continue à gauche de k

b) La continuité de ƒ sur ]k, k+1[.

On a

(∀k ∈ ]k, k+1[) , ƒ(x) = √∣x−k − x.

∎ La fonction u : x → ∣x∣ − k est continue sur ]k, k+1[ et pour tout x ∈ ]k, k+1[ : u(x) ≥ 0. Donc la fonction x → √u(x) est continue sur ]k, k+1[.

∎ La fonction v : x → −x est continue sur ]k, k+1[.

Donc la fonction ƒ = u + v est continue sur ]k, k+1[ comme la somme de deux fonctions continues sur ]k, k+1[ .

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/E(2/x)−1

  1. On détermine Dƒ :

Dƒ = { x/ x ≠ 0 et E(2/x) − 1 ≠ 0

On résout dans l’équation : E(2/x) − 1 = 0.

E(2/x) − 1 = 0

⇔ E(2/x) = 1

⇔ 1 2/x < 2

⇔ 1/2 < x/2 1

⇔ 1 < x 2

⇔ x ∈ ]1, 2].

Donc

Dƒ = { x/ x ≠ 0 et x ≠ ]1, 2]} 

= ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[ .

a) Montrons que : (∀x Dƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x.

Soit xDƒ .

On a

2/x − 1 < E(2/x) ≤ 2/x

⇔ 2−x/x < E(2/x) ≤ 2/x

⇔ 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x.

Donc

(∀xDƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x

b) Déduction : limx→0 ƒ(x).

∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a : 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x. Puisque 2−2x/x0, alors

x/2−x 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.

Donc

(∀x ∈ ]0, 1[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.

Comme limx→0+ x/2−x = limx→0+ x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0+ ƒ(x) = 0.

∎ Soit x ∈ ]−∞, 0[ , on a : 2−2x/x < E(2/x) − 12−x/x. Puisque 2−2x/2 < 0, alors

x/2−x 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.

Donc

(∀x ∈ ]−∞, 0[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.

Comme limx→0 x/2−x = limx→0 x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0 ƒ(x) = 0.

Donc on obtient

limx→0 ƒ(x) = 0.

Exercice 5

  1. Montrons que : (∀x )(∀n*) , E(E(nx)/n) = E(x) .

Soit ƒ la fonction définie sur par :

ƒ(x) = E(E(nx)/x) − E(x)

Montrons que la fonction ƒ est 1 périodique.

∎ On a

(∀x ), (x + 1) ∈ .

∎ Soit x.

ƒ(x + 1) = E(n(x + 1))/n) − E(x + 1)

= E(E(nx + n)/n)) − (E(x) + 1)

= E(E(nx) +n/n) − E(x) − 1

= E(E(nx)/n + 1) − E(x) − 1

= E(E(nx)/n) + 1 − E(x) − 1

= E(E(nx)/n) − E(x)

= ƒ(x).

Donc

(∀x ) , ƒ(x + 1) = ƒ(x).

D’où la fonction est 1 périodique. Il suffit de prouver qu’elle est nulle sur [0, 1[ .

Soit x ∈ [0, 1[, alors 0E(nx)/n < 1 et E(x) = 0. Donc

(∀x ∈ [0, 1[) , ƒ(x) = 0.

Par périodicité on a ƒ = 0 sur . Ceci signifie que :

(∀x)(∀n *) , E(E(nx)/n) = E(x) .

2. Montrons que : (∀x)(∀n*) , ∑n−1k=0 E(x + k/n) = E(nx).

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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4 réflexions sur « Fonction partie entière »

  1. merci professeur .seulement dans l’exercice4 ..1 fait partie du domaine de définition .la preuve f(1) est égale à 1.

  2. Merci beaucoup monsieur Matioui. Vous faites un travail très remarquable. Vos documents sont d’une utilité exceptionnels pout tout enseignant du secondaire et pour tout élève du secondaire également.
    Que DIEU vous le revaut au centuple.

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