Fonction partie entière

La fonction partie entière exercices corrigés.

Exercice 1 (La fonction partie entière exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)

1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
2. Calculer lim_x→(1/2)⁻ ƒ(x).

Exercice 2 (La fonction partie entière exercices corrigés)

1. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 1 − xE(1/x)

Montrer que : (∀x ∈ ℝ*), ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ et en déduire que : lim_x→0 ƒ(x).

2. Soit g la fonction numérique définie sur ℝ* par : g(x) = (sin x). E(1/x).

a) Montrer que :

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x et (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.

b) Déduire lim_x→0g(x).

3. Soit h la fonction numérique définie sur ℝ* par :

h(x) = x−E(x)/√∣x∣

Calculer lim_x→0h(x).

Exercice 3 (La fonction partie entière exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = √∣x∣−E(x) − x

1. 1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
   2. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
2. Soit k ∈ ℤ.
   1. Étudier la continuité de ƒ à gauche et à droite au point x₀ = k.
   2. Étudier la continuité de ƒ sur l’intervalle ]k, k + 1[.

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/E(2/x)−1

1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.

a) Montrer que : (∀x ∈ D) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x.

b) Déduire lim_x→0 ƒ(x).

Exercice 5

1. Montrer que :

(∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , E(E(nx)/n) = E(x) .

2. Montrer que :

(∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , ∑ⁿ⁻¹_k=0 E(x + k/n) = E(nx).

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Correction de la série d’exercices (Fonction partie entière)

Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)

1. On cherche D l’ensemble de définition de ƒ :

D = {x ∈ ℝ/ πx ≠ π/2 + kπ et x − E(x) ≠ 0 /k ∈ ℤ} 

= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1/2 + k et E(x) ≠ x /k ∈ ℤ}

= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1/2 + k et x ∉ ℤ /k ∈ ℤ}

= ℝ∖({1/2 + k /k ∈ ℤ} ∪ ℤ)

2. Calculons lim_x→(1/2)⁻ ƒ(x).

Soit x ∈ ]0, 1/2[. On a E(x) = 0. D’où ƒ(x) = tan(πx)/x.

On pose X = x − 1/2. Donc

tan(πx) = tan(π(X + 1/2)) = tan(πX + π/2) = −1/tan(πX).

Alors

lim_x→(1/2)⁻ ƒ(x) = lim_X→0⁻ −1/tan(πX)(X+1/2)

= lim_X→0⁻ −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)

= lim_X→0⁻ −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)

= +∞ 

Exercice 2

1. Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 1 − x.E(1/x)

∎ Montrons que : (∀x ∈ ℝ*) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.

Soit x ∈ ℝ*.

∣ƒ(x)∣ = ∣1 − x.E(1/x)∣ = ∣x∣.∣1/x − E(1/x)∣

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ −1/x ≤ −E(1/x) < 1 − 1/x

⇔ 0 ≤ 1/x − E(1/x) < 1

⇒ −1 < 1/x − E(1/x) < 1

⇒ ∣1/x − E(1/x)∣ < 1.

Donc

∣x∣.∣1/x − E(1/x)∣ < ∣x∣.

C’est-à-dire

(∀x ∈ ℝ*) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.

∎ La déduction : lim_x→0 ƒ(x).

Soit x ∈ ℝ*.

On a

∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ ⇔ −∣x∣ < ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣

comme lim_x→0 − ∣x∣ = lim_x→0 ∣x∣ = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

lim_x→0 ƒ(x).

2. Soit g la fonction numérique définie sur ℝ* par : g(x) = (sinx).E(1/x).

a) Montrons que : (∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

Soit x ∈ ]0, π[.

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ sinx/x − sinx < (sinx). E(1/x) ≤ sinx/x

Donc

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

∎ Montrons que : (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.

Soit x ∈ ]−π, 0[.

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ sinx/x ≤ (sinx). E(1/x) < sinx/x − sinx/x.

Donc

(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.

b) Déduction : lim_x→0 g(x).

On a

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

Comme lim_x→0⁺ sinx/x − sinx = 1 et lim_x→0⁺ sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

lim_x→0⁺ g(x) = 1.

D’autre part, on a

(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.

Comme lim_x→0⁻ sinx/x − sinx = 1 et lim_x→0⁻ sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

lim_x→0⁻ g(x) = 1.

D’où lim_x→0⁺ g(x) = lim_x→0⁻ g(x) = 1. C’est-à-dire : lim_x→0 g(x) = 1.

3. Soit h la fonction numérique définie sur ℝ* par :

h(x) = x−E(x)/√∣x∣

Calculons lim_x→0 h(x).

∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a E(x) = 0. Donc h(x) = x/√x = √x. D’où

lim_x→0⁺ h(x) = 0.

∎ Soit x ∈ ]−1, 0[, on a E(x) = −1. Donc h(x) = x+1/√−x. D’où

lim_x→0⁻ h(x) = lim_x→0⁻ x+1/√−x

= lim_x→0⁻ −(√−x)²/√−x + 1/√−x

= lim_x→0⁻ − √−x + 1/√−x = +∞ 

Par suite h n’admet pas une limite finie en 0.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = √∣x∣−E(x) − x

1. a) On cherche l’ensemble de définition D.

D = {x ∈ ℝ/ ∣x∣ − E(x) ≥ 0} 

∎ Si x ∈ [0, +∞[ . Alors ∣x∣ = x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ −x ≤ −E(x) < 1 − x

⇔ 0 ≤ x − E(x) < 1

∎ Si x ∈ ]−∞, 0] . Alors ∣x∣ = −x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ −2x ≤ −x − E(x) < 1 − 2x

⇔ 0 ≤ −x − E(x) < 1 − 2x

Donc

D = ℝ

b) Calculons lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).

∎ Soit x ∈ [0, +∞[ . On a ƒ(x) = √x−E(x) − x.  

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ 0 ≤ x − E(x) < 1

⇔ 0 ≤ √x−E(x) < 1

⇔ −x ≤ √x−E(x) − x < 1 − x

⇔ −x ≤ ƒ(x) < 1 − x.

D’où

(∀x ∈ [0, +∞[) , ƒ(x) < 1 − x

comme lim_x→+∞ 1 − x = −∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a

lim_x→+∞ ƒ(x) = −∞.

∎ Soit x ∈ ]−∞, 0] . On a ƒ(x) = √−x−E(x) − x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ −x ≤ − E(x) < 1 − x

⇔ −2x ≤ −x − E(x) < 1 − 2x

⇔ √−2x ≤ √−x− E(x) < √1−2x

⇔ √−2x − x ≤ √−x− E(x) − x < √1−2x − x

⇔ √−2x − x ≤ ƒ(x) < √1−2x − x

D’où

(∀x ∈ ]−∞, 0]) , √−2x − x ≤ ƒ(x)

comme lim_x→−∞ √−2x − x = +∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a

lim_x→−∞ ƒ(x) = +∞.

2. Soit k ∈ ℤ.

a) La continuité de ƒ à gauche et à droite au point x₀ = k.

• La continuité de ƒ à droite en k.

Soit x ∈ ]k, k+1[ . On a E(x) = k. Donc ƒ(x) = √∣x∣−k − x.

D’où

lim_x→k⁺ ƒ(x) = lim_x→k⁺ √∣x∣−k − x = √∣k∣−k − k = ƒ(k).

Par suite la fonction ƒ est continue à droite de k.

• La continuité de ƒ à gauche en k.

Soit x ∈ ]k−1, k[ . On a E(x) = k − 1. Donc ƒ(x) = √∣x∣−k+1 − x.

D’où

lim_x→k⁻ ƒ(x) = lim_x→k⁻ √∣x∣−k+1 − x = √∣k∣−k+1 − k ≠ ƒ(k).

Par suite la fonction ƒ n’est pas continue à gauche de k

b) La continuité de ƒ sur ]k, k+1[.

On a

(∀k ∈ ]k, k+1[) , ƒ(x) = √∣x∣−k − x.

∎ La fonction u : x → ∣x∣ − k est continue sur ]k, k+1[ et pour tout x ∈ ]k, k+1[ : u(x) ≥ 0. Donc la fonction x → √u(x) est continue sur ]k, k+1[.

∎ La fonction v : x → −x est continue sur ]k, k+1[.

Donc la fonction ƒ = u + v est continue sur ]k, k+1[ comme la somme de deux fonctions continues sur ]k, k+1[ .

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/E(2/x)−1

1. On détermine D_ƒ :

D_ƒ = { x ∈ ℝ/ x ≠ 0 et E(2/x) − 1 ≠ 0} 

On résout dans ℝ l’équation : E(2/x) − 1 = 0.

E(2/x) − 1 = 0

⇔ E(2/x) = 1

⇔ 1 ≤ 2/x < 2

⇔ 1/2 < x/2 ≤ 1

⇔ 1 < x ≤ 2

⇔ x ∈ ]1, 2].

Donc

D_ƒ = { x ∈ ℝ/ x ≠ 0 et x ≠ ]1, 2]} 

= ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[ .

a) Montrons que : (∀x ∈ D_ƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x.

Soit x ∈ D_ƒ .

On a

2/x − 1 < E(2/x) ≤ 2/x

⇔ 2−x/x < E(2/x) ≤ 2/x

⇔ 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x.

Donc

(∀x ∈ D_ƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x

b) Déduction : lim_x→0 ƒ(x).

∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a : 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x. Puisque 2−2x/x ≻ 0, alors

x/2−x ≤ 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.

Donc

(∀x ∈ ]0, 1[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.

Comme lim_x→0⁺ x/2−x = lim_x→0⁺ x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

lim_x→0⁺ ƒ(x) = 0.

∎ Soit x ∈ ]−∞, 0[ , on a : 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x. Puisque 2−2x/2 < 0, alors

x/2−x ≤ 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.

Donc

(∀x ∈ ]−∞, 0[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.

Comme lim_x→0⁻ x/2−x = lim_x→0⁻ x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

lim_x→0⁻ ƒ(x) = 0.

Donc on obtient

lim_x→0 ƒ(x) = 0.

Exercice 5

1. Montrons que : (∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , E(E(nx)/n) = E(x) .

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :

ƒ(x) = E(E(nx)/x) − E(x)

Montrons que la fonction ƒ est 1 périodique.

∎ On a

(∀x ∈ ℝ), (x + 1) ∈ ℝ.

∎ Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x + 1) = E(n(x + 1))/n) − E(x + 1)

= E(E(nx + n)/n)) − (E(x) + 1)

= E(E(nx) +n/n) − E(x) − 1

= E(E(nx)/n + 1) − E(x) − 1

= E(E(nx)/n) + 1 − E(x) − 1

= E(E(nx)/n) − E(x)

= ƒ(x).

Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x + 1) = ƒ(x).

D’où la fonction est 1 périodique. Il suffit de prouver qu’elle est nulle sur [0, 1[ .

Soit x ∈ [0, 1[, alors 0 ≤ E(nx)/n < 1 et E(x) = 0. Donc

(∀x ∈ [0, 1[) , ƒ(x) = 0.

Par périodicité on a ƒ = 0 sur ℝ. Ceci signifie que :

(∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , E(E(nx)/n) = E(x) .

2. Montrons que : (∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , ∑ⁿ⁻¹_k=0 E(x + k/n) = E(nx).

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Vous pouvez aussi consulter :

• Fonction réciproque exercices corrigés
• Étude de la fonction arctangente