Fonction partie entière

Fonction partie entière

La fonction partie entière exercices corrigés.

Exercice 1 (La fonction partie entière exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)

  1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
  2. Calculer limx→(1/2) ƒ(x).

Exercice 2 (La fonction partie entière exercices corrigés)

  1. Soit ƒ la fonction définie sur * par :

ƒ(x) = 1 − xE(1/x)

Montrer que : (∀x *), ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ et en déduire que : limx→0 ƒ(x).

2. Soit g la fonction numérique définie sur * par : g(x) = (sin x). E(1/x).

a) Montrer que :

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x et (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x g(x) < sinx/x − sinx.

b) Déduire limx→0g(x).

3. Soit h la fonction numérique définie sur * par :

h(x) = x−E(x)/√∣x

Calculer limx→0h(x).

Exercice 3 (La fonction partie entière exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = √∣x∣−E(x) − x

    1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
    2. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
  1. Soit k .
    1. Étudier la continuité de ƒ à gauche et à droite au point x0 = k.
    2. Étudier la continuité de ƒ sur l’intervalle ]k, k + 1[.

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/E(2/x)−1

  1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.

a) Montrer que : (∀xD) , 2−2x/x < E(2/x) − 12−x/x.

b) Déduire limx→0 ƒ(x).

Exercice 5

  1. Montrer que :

(∀x)(∀n*) , E(E(nx)/n) = E(x) .

2. Montrer que :

(∀x)(∀n*) , ∑n−1k=0 E(x + k/n) = E(nx).

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Correction de la série d’exercices (Fonction partie entière)

Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)

  1. On cherche D l’ensemble de définition de ƒ :

D = {x / πx ≠ π/2 + kπ et x − E(x) ≠ 0 /k

= {x / x ≠ 1/2 + k et E(x) ≠ x /k}

= {x/ x ≠ 1/2 + k et x /k}

= ∖({1/2 + k /k } ∪ )

2. Calculons limx→(1/2) ƒ(x).

Soit x ∈ ]0, 1/2[. On a E(x) = 0. D’où ƒ(x) = tan(πx)/x.

On pose X = x − 1/2. Donc

tan(πx) = tan(π(X + 1/2)) = tan(πX + π/2) = −1/tan(πX).

Alors

limx→(1/2) ƒ(x) = limX→0 −1/tan(πX)(X+1/2)

= limX→0 −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)

= limX→0 −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)

= +∞ 

Exercice 2

  1. Soit ƒ la fonction définie sur * par :

ƒ(x) = 1 − x.E(1/x)

∎ Montrons que : (∀x*) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.

Soit x *.

∣ƒ(x)∣ = ∣1 − x.E(1/x)∣ = ∣x∣.∣1/x − E(1/x)∣

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ −1/x −E(1/x) < 1 − 1/x

 0 1/x − E(1/x) < 1

 −1 < 1/x − E(1/x) < 1

⇒ ∣1/x − E(1/x)∣ < 1.

Donc

x∣.∣1/x − E(1/x)∣ < ∣x∣.

C’est-à-dire

(∀x *) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.

∎ La déduction : limx→0 ƒ(x).

Soit x*.

On a

∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ ⇔ −∣x∣ < ∣ƒ(x)∣ < ∣x

comme limx→0x∣ = limx→0x= 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0 ƒ(x).

2. Soit g la fonction numérique définie sur * par : g(x) = (sinx).E(1/x).

a) Montrons que : (∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

Soit x ∈ ]0, π[.

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ sinx/x − sinx < (sinx). E(1/x) ≤ sinx/x

Donc

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

∎ Montrons que : (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/xg(x) < sinx/x − sinx.

Soit x ∈ ]−π, 0[.

On a

1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x

⇔ sinx/x ≤ (sinx). E(1/x) < sinx/x − sinx/x.

Donc

(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/xg(x) < sinx/x − sinx.

b) Déduction : limx→0 g(x).

On a

(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .

Comme limx→0+ sinx/x − sinx = 1 et limx→0+ sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0+ g(x) = 1.

D’autre part, on a

(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x g(x) < sinx/x − sinx.

Comme limx→0 sinx/x − sinx = 1 et limx→0 sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0 g(x) = 1.

D’où limx→0+ g(x) = limx→0 g(x) = 1. C’est-à-dire : limx→0 g(x) = 1.

3. Soit h la fonction numérique définie sur * par :

h(x) = x−E(x)/√∣x

Calculons limx→0 h(x).

∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a E(x) = 0. Donc h(x) = x/√x = √x. D’où

limx→0+ h(x) = 0.

∎ Soit x ∈ ]−1, 0[, on a E(x) = −1. Donc h(x) = x+1/√−x. D’où

limx→0 h(x) = limx→0 x+1/√−x

= limx→0 −(√−x)2/√−x + 1/√−x

= limx→0 − √−x + 1/√−x = +∞ 

Par suite h n’admet pas une limite finie en 0.

Exercice 3

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = √x∣−E(x) − x

  1. a) On cherche l’ensemble de définition D.

D = {x/ ∣x∣ − E(x) ≥ 0

∎ Si x ∈ [0, +∞[ . Alors ∣x= x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

 −x −E(x) < 1 − x

 0 x − E(x) < 1

∎ Si x ∈ ]−∞, 0] . Alors ∣x= −x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ −2x −x − E(x) < 1 − 2x

⇔ 0 −x − E(x) < 1 − 2x

Donc

D =

b) Calculons limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).

∎ Soit x ∈ [0, +∞[ . On a ƒ(x) = √x−E(x) − x.  

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ 0 x − E(x) < 1

⇔ 0√x−E(x) < 1

 −x√x−E(x) − x < 1 − x

 −x ≤ ƒ(x) < 1 − x.

D’où

(∀x ∈ [0, +∞[) , ƒ(x) < 1 − x

comme limx→+∞ 1 − x = −∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a

limx→+∞ ƒ(x) = −∞.

∎ Soit x ∈ ]−∞, 0] . On a ƒ(x) = √−x−E(x) − x.

On a

x − 1 < E(x) ≤ x

⇔ −x − E(x) < 1 − x

⇔ −2x−x − E(x) < 1 − 2x

⇔ √−2x√−x− E(x) < √1−2x

⇔ √−2x − x √−x− E(x) − x < √1−2x − x

⇔ √−2x − x ≤ ƒ(x) < √1−2x − x

D’où

(∀x ∈ ]−∞, 0]) , √−2x − x ≤ ƒ(x)

comme limx→−∞ √−2x − x = +∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a

limx→−∞ ƒ(x) = +∞.

2. Soit k.

a) La continuité de ƒ à gauche et à droite au point x0 = k.

  • La continuité de ƒ à droite en k.

Soit x ∈ ]k, k+1[ . On a E(x) = k. Donc ƒ(x) = √x−k − x.

D’où

limx→k+ ƒ(x) = limx→k+x−k − x = √k−k − k = ƒ(k).

Par suite la fonction ƒ est continue à droite de k.

  • La continuité de ƒ à gauche en k.

Soit x ∈ ]k−1, k[ . On a E(x) = k − 1. Donc ƒ(x) = √∣x−k+1 − x.

D’où

limx→k ƒ(x) = limx→kx−k+1 − x = √k−k+1 − k ≠ ƒ(k).

Par suite la fonction ƒ n’est pas continue à gauche de k

b) La continuité de ƒ sur ]k, k+1[.

On a

(∀k ∈ ]k, k+1[) , ƒ(x) = √∣x−k − x.

∎ La fonction u : x → ∣x∣ − k est continue sur ]k, k+1[ et pour tout x ∈ ]k, k+1[ : u(x) ≥ 0. Donc la fonction x → √u(x) est continue sur ]k, k+1[.

∎ La fonction v : x → −x est continue sur ]k, k+1[.

Donc la fonction ƒ = u + v est continue sur ]k, k+1[ comme la somme de deux fonctions continues sur ]k, k+1[ .

Exercice 4

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = 1/E(2/x)−1

  1. On détermine Dƒ :

Dƒ = { x/ x ≠ 0 et E(2/x) − 1 ≠ 0

On résout dans l’équation : E(2/x) − 1 = 0.

E(2/x) − 1 = 0

⇔ E(2/x) = 1

⇔ 1 2/x < 2

⇔ 1/2 < x/2 1

⇔ 1 < x 2

⇔ x ∈ ]1, 2].

Donc

Dƒ = { x/ x ≠ 0 et x ≠ ]1, 2]} 

= ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[ .

a) Montrons que : (∀x Dƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x.

Soit xDƒ .

On a

2/x − 1 < E(2/x) ≤ 2/x

⇔ 2−x/x < E(2/x) ≤ 2/x

⇔ 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x.

Donc

(∀xDƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x

b) Déduction : limx→0 ƒ(x).

∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a : 2−2x/x < E(2/x) − 1 2−x/x. Puisque 2−2x/x0, alors

x/2−x 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.

Donc

(∀x ∈ ]0, 1[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.

Comme limx→0+ x/2−x = limx→0+ x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0+ ƒ(x) = 0.

∎ Soit x ∈ ]−∞, 0[ , on a : 2−2x/x < E(2/x) − 12−x/x. Puisque 2−2x/2 < 0, alors

x/2−x 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.

Donc

(∀x ∈ ]−∞, 0[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.

Comme limx→0 x/2−x = limx→0 x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :

limx→0 ƒ(x) = 0.

Donc on obtient

limx→0 ƒ(x) = 0.

Exercice 5

  1. Montrons que : (∀x )(∀n*) , E(E(nx)/n) = E(x) .

Soit ƒ la fonction définie sur par :

ƒ(x) = E(E(nx)/x) − E(x)

Montrons que la fonction ƒ est 1 périodique.

∎ On a

(∀x ), (x + 1) ∈ .

∎ Soit x.

ƒ(x + 1) = E(n(x + 1))/n) − E(x + 1)

= E(E(nx + n)/n)) − (E(x) + 1)

= E(E(nx) +n/n) − E(x) − 1

= E(E(nx)/n + 1) − E(x) − 1

= E(E(nx)/n) + 1 − E(x) − 1

= E(E(nx)/n) − E(x)

= ƒ(x).

Donc

(∀x ) , ƒ(x + 1) = ƒ(x).

D’où la fonction est 1 périodique. Il suffit de prouver qu’elle est nulle sur [0, 1[ .

Soit x ∈ [0, 1[, alors 0E(nx)/n < 1 et E(x) = 0. Donc

(∀x ∈ [0, 1[) , ƒ(x) = 0.

Par périodicité on a ƒ = 0 sur . Ceci signifie que :

(∀x)(∀n *) , E(E(nx)/n) = E(x) .

2. Montrons que : (∀x)(∀n*) , ∑n−1k=0 E(x + k/n) = E(nx).

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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2 réflexions sur « Fonction partie entière »

  1. merci professeur .seulement dans l’exercice4 ..1 fait partie du domaine de définition .la preuve f(1) est égale à 1.

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