La fonction partie entière exercices corrigés.
Exercice 1 (La fonction partie entière exercices corrigés)
Soit ƒ la fonction numérique définie par :
ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)
- Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
- Calculer limx→(1/2)− ƒ(x).
Exercice 2 (La fonction partie entière exercices corrigés)
- Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = 1 − xE(1/x)
Montrer que : (∀x ∈ ℝ*), ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ et en déduire que : limx→0 ƒ(x).
2. Soit g la fonction numérique définie sur ℝ* par : g(x) = (sin x). E(1/x).
a) Montrer que :
(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x et (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.
b) Déduire limx→0g(x).
3. Soit h la fonction numérique définie sur ℝ* par :
h(x) = x−E(x)/√∣x∣
Calculer limx→0h(x).
Exercice 3 (La fonction partie entière exercices corrigés)
Soit ƒ la fonction numérique définie par :
ƒ(x) = √∣x∣−E(x) − x
- Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
- Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
- Soit k ∈ ℤ.
- Étudier la continuité de ƒ à gauche et à droite au point x0 = k.
- Étudier la continuité de ƒ sur l’intervalle ]k, k + 1[.
Exercice 4
Soit ƒ la fonction numérique définie par :
ƒ(x) = 1/E(2/x)−1
- Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.
a) Montrer que : (∀x ∈ D) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x.
b) Déduire limx→0 ƒ(x).
Exercice 5
- Montrer que :
(∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , E(E(nx)/n) = E(x) .
2. Montrer que :
(∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , ∑n−1k=0 E(x + k/n) = E(nx).
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Correction de la série d’exercices (Fonction partie entière)
Exercice 1
Soit ƒ la fonction numérique définie par :
ƒ(x) = tan(πx)/x−E(x)
- On cherche D l’ensemble de définition de ƒ :
D = {x ∈ ℝ/ πx ≠ π/2 + kπ et x − E(x) ≠ 0 /k ∈ ℤ}
= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1/2 + k et E(x) ≠ x /k ∈ ℤ}
= {x ∈ ℝ/ x ≠ 1/2 + k et x ∉ ℤ /k ∈ ℤ}
= ℝ∖({1/2 + k /k ∈ ℤ} ∪ ℤ)
2. Calculons limx→(1/2)− ƒ(x).
Soit x ∈ ]0, 1/2[. On a E(x) = 0. D’où ƒ(x) = tan(πx)/x.
On pose X = x − 1/2. Donc
tan(πx) = tan(π(X + 1/2)) = tan(πX + π/2) = −1/tan(πX).
Alors
limx→(1/2)− ƒ(x) = limX→0− −1/tan(πX)(X+1/2)
= limX→0− −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)
= limX→0− −1/tan(πX)/πx×πX × 1/(X + 1/2)
= +∞
Exercice 2
- Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = 1 − x.E(1/x)
∎ Montrons que : (∀x ∈ ℝ*) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.
Soit x ∈ ℝ*.
∣ƒ(x)∣ = ∣1 − x.E(1/x)∣ = ∣x∣.∣1/x − E(1/x)∣
On a
1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x
⇔ −1/x ≤ −E(1/x) < 1 − 1/x
⇔ 0 ≤ 1/x − E(1/x) < 1
⇒ −1 < 1/x − E(1/x) < 1
⇒ ∣1/x − E(1/x)∣ < 1.
Donc
∣x∣.∣1/x − E(1/x)∣ < ∣x∣.
C’est-à-dire
(∀x ∈ ℝ*) , ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣.
∎ La déduction : limx→0 ƒ(x).
Soit x ∈ ℝ*.
On a
∣ƒ(x)∣ < ∣x∣ ⇔ −∣x∣ < ∣ƒ(x)∣ < ∣x∣
comme limx→0 − ∣x∣ = limx→0 ∣x∣ = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :
limx→0 ƒ(x).
2. Soit g la fonction numérique définie sur ℝ* par : g(x) = (sinx).E(1/x).
a) Montrons que : (∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .
Soit x ∈ ]0, π[.
On a
1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x
⇔ sinx/x − sinx < (sinx). E(1/x) ≤ sinx/x
Donc
(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .
∎ Montrons que : (∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.
Soit x ∈ ]−π, 0[.
On a
1/x − 1 < E(1/x) ≤ 1/x
⇔ sinx/x ≤ (sinx). E(1/x) < sinx/x − sinx/x.
Donc
(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.
b) Déduction : limx→0 g(x).
On a
(∀x ∈ ]0, π[) , sinx/x − sinx < g(x) ≤ sinx/x .
Comme limx→0+ sinx/x − sinx = 1 et limx→0+ sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :
limx→0+ g(x) = 1.
D’autre part, on a
(∀x ∈ ]−π, 0[), sinx/x ≤ g(x) < sinx/x − sinx.
Comme limx→0− sinx/x − sinx = 1 et limx→0− sinx/x = 1. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :
limx→0− g(x) = 1.
D’où limx→0+ g(x) = limx→0− g(x) = 1. C’est-à-dire : limx→0 g(x) = 1.
3. Soit h la fonction numérique définie sur ℝ* par :
h(x) = x−E(x)/√∣x∣
Calculons limx→0 h(x).
∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a E(x) = 0. Donc h(x) = x/√x = √x. D’où
limx→0+ h(x) = 0.
∎ Soit x ∈ ]−1, 0[, on a E(x) = −1. Donc h(x) = x+1/√−x. D’où
limx→0− h(x) = limx→0− x+1/√−x
= limx→0− −(√−x)2/√−x + 1/√−x
= limx→0− − √−x + 1/√−x = +∞
Par suite h n’admet pas une limite finie en 0.
Exercice 3
Soit ƒ la fonction numérique définie par :
ƒ(x) = √∣x∣−E(x) − x
- a) On cherche l’ensemble de définition D.
D = {x ∈ ℝ/ ∣x∣ − E(x) ≥ 0}
∎ Si x ∈ [0, +∞[ . Alors ∣x∣ = x.
On a
x − 1 < E(x) ≤ x
⇔ −x ≤ −E(x) < 1 − x
⇔ 0 ≤ x − E(x) < 1
∎ Si x ∈ ]−∞, 0] . Alors ∣x∣ = −x.
On a
x − 1 < E(x) ≤ x
⇔ −2x ≤ −x − E(x) < 1 − 2x
⇔ 0 ≤ −x − E(x) < 1 − 2x
Donc
D = ℝ
b) Calculons limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
∎ Soit x ∈ [0, +∞[ . On a ƒ(x) = √x−E(x) − x.
On a
x − 1 < E(x) ≤ x
⇔ 0 ≤ x − E(x) < 1
⇔ 0 ≤ √x−E(x) < 1
⇔ −x ≤ √x−E(x) − x < 1 − x
⇔ −x ≤ ƒ(x) < 1 − x.
D’où
(∀x ∈ [0, +∞[) , ƒ(x) < 1 − x
comme limx→+∞ 1 − x = −∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a
limx→+∞ ƒ(x) = −∞.
∎ Soit x ∈ ]−∞, 0] . On a ƒ(x) = √−x−E(x) − x.
On a
x − 1 < E(x) ≤ x
⇔ −x ≤ − E(x) < 1 − x
⇔ −2x ≤ −x − E(x) < 1 − 2x
⇔ √−2x ≤ √−x− E(x) < √1−2x
⇔ √−2x − x ≤ √−x− E(x) − x < √1−2x − x
⇔ √−2x − x ≤ ƒ(x) < √1−2x − x
D’où
(∀x ∈ ]−∞, 0]) , √−2x − x ≤ ƒ(x)
comme limx→−∞ √−2x − x = +∞. Alors d’après les propriétés des limites et l’ordre, on a
limx→−∞ ƒ(x) = +∞.
2. Soit k ∈ ℤ.
a) La continuité de ƒ à gauche et à droite au point x0 = k.
- La continuité de ƒ à droite en k.
Soit x ∈ ]k, k+1[ . On a E(x) = k. Donc ƒ(x) = √∣x∣−k − x.
D’où
limx→k+ ƒ(x) = limx→k+ √∣x∣−k − x = √∣k∣−k − k = ƒ(k).
Par suite la fonction ƒ est continue à droite de k.
- La continuité de ƒ à gauche en k.
Soit x ∈ ]k−1, k[ . On a E(x) = k − 1. Donc ƒ(x) = √∣x∣−k+1 − x.
D’où
limx→k− ƒ(x) = limx→k− √∣x∣−k+1 − x = √∣k∣−k+1 − k ≠ ƒ(k).
Par suite la fonction ƒ n’est pas continue à gauche de k
b) La continuité de ƒ sur ]k, k+1[.
On a
(∀k ∈ ]k, k+1[) , ƒ(x) = √∣x∣−k − x.
∎ La fonction u : x → ∣x∣ − k est continue sur ]k, k+1[ et pour tout x ∈ ]k, k+1[ : u(x) ≥ 0. Donc la fonction x → √u(x) est continue sur ]k, k+1[.
∎ La fonction v : x → −x est continue sur ]k, k+1[.
Donc la fonction ƒ = u + v est continue sur ]k, k+1[ comme la somme de deux fonctions continues sur ]k, k+1[ .
Exercice 4
Soit ƒ la fonction numérique définie par :
ƒ(x) = 1/E(2/x)−1
- On détermine Dƒ :
Dƒ = { x ∈ ℝ/ x ≠ 0 et E(2/x) − 1 ≠ 0}
On résout dans ℝ l’équation : E(2/x) − 1 = 0.
E(2/x) − 1 = 0
⇔ E(2/x) = 1
⇔ 1 ≤ 2/x < 2
⇔ 1/2 < x/2 ≤ 1
⇔ 1 < x ≤ 2
⇔ x ∈ ]1, 2].
Donc
Dƒ = { x ∈ ℝ/ x ≠ 0 et x ≠ ]1, 2]}
= ]−∞, 0[ ∪ ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[ .
a) Montrons que : (∀x ∈ Dƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x.
Soit x ∈ Dƒ .
On a
2/x − 1 < E(2/x) ≤ 2/x
⇔ 2−x/x < E(2/x) ≤ 2/x
⇔ 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x.
Donc
(∀x ∈ Dƒ) , 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x
b) Déduction : limx→0 ƒ(x).
∎ Soit x ∈ ]0, 1[, on a : 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x. Puisque 2−2x/x ≻ 0, alors
x/2−x ≤ 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.
Donc
(∀x ∈ ]0, 1[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.
Comme limx→0+ x/2−x = limx→0+ x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :
limx→0+ ƒ(x) = 0.
∎ Soit x ∈ ]−∞, 0[ , on a : 2−2x/x < E(2/x) − 1 ≤ 2−x/x. Puisque 2−2x/2 < 0, alors
x/2−x ≤ 1/E(2/x)−1 < x/2−2x.
Donc
(∀x ∈ ]−∞, 0[) , x/2−x ≤ ƒ(x) < x/2−2x.
Comme limx→0− x/2−x = limx→0− x/2−2x = 0. Donc d’après le théorème des gendarmes on obtient :
limx→0− ƒ(x) = 0.
Donc on obtient
limx→0 ƒ(x) = 0.
Exercice 5
- Montrons que : (∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , E(E(nx)/n) = E(x) .
Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :
ƒ(x) = E(E(nx)/x) − E(x)
Montrons que la fonction ƒ est 1 périodique.
∎ On a
(∀x ∈ ℝ), (x + 1) ∈ ℝ.
∎ Soit x ∈ ℝ.
ƒ(x + 1) = E(n(x + 1))/n) − E(x + 1)
= E(E(nx + n)/n)) − (E(x) + 1)
= E(E(nx) +n/n) − E(x) − 1
= E(E(nx)/n + 1) − E(x) − 1
= E(E(nx)/n) + 1 − E(x) − 1
= E(E(nx)/n) − E(x)
= ƒ(x).
Donc
(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x + 1) = ƒ(x).
D’où la fonction est 1 périodique. Il suffit de prouver qu’elle est nulle sur [0, 1[ .
Soit x ∈ [0, 1[, alors 0 ≤ E(nx)/n < 1 et E(x) = 0. Donc
(∀x ∈ [0, 1[) , ƒ(x) = 0.
Par périodicité on a ƒ = 0 sur ℝ. Ceci signifie que :
(∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , E(E(nx)/n) = E(x) .
2. Montrons que : (∀x ∈ ℝ)(∀n ∈ ℕ*) , ∑n−1k=0 E(x + k/n) = E(nx).
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Vous pouvez aussi consulter :
merci professeur .seulement dans l’exercice4 ..1 fait partie du domaine de définition .la preuve f(1) est égale à 1.
Oui c’est juste, bonne remarque !