Fonction réciproque exercices corrigés

Fonction réciproque exercices corrigés.(Bac/ Terminale)

Exercice 1 (Fonction réciproque exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ]−∞, 0] par :

ƒ(x) = x²+2/2x²+1

1. Montrer que ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie sur un intervalle J qu’on déterminera vers ]−∞, 0] .
2. Donner le tableau de variations de ƒ⁻¹ .
3. Montrer que : (∀x ∈ J) , ƒ⁻¹(x) = −√2−x/2x−1.

Exercice 2 (Fonction réciproque exercices corrigés)

On considère la fonction numérique ƒ définie par :

ƒ(x) = √x+1 − √x−1

1. Déterminer D_ƒ l’ensemble de définition de la fonction ƒ.
2. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x).
3. Montrer que ƒ est une bijection de D_ƒ sur intervalle J qu’on déterminera.
4. Déterminer ƒ⁻¹(x) pour tout x ∈ J.

Exercice 3 (Fonction réciproque exercices corrigés)

On considère ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = x/√x+2

1. Montrer que la fonction ƒ est continue sur ]−2, +∞[.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]−2, +∞[) , ƒ⁻¹(x) = x+4/2(x+2)√x+2 .
3. Montrer que ƒ est une bijection de ]−2, +∞[ sur un intervalle J qu’on déterminera.

Exercice 4

On considère ƒ la fonction numérique définie sur I = [1, +∞[ par :

ƒ(x) = x + 1/x

1. Montrer que ƒ est une bijection de I sur un intervalle J qu’on déterminera.
2. Déterminer ƒ⁻¹(x) pour tout x ∈ J.

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Correction des exercices

Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ]−∞, 0] par :

ƒ(x) = x²+2/2x²+1

1. ∎ La fonction ƒ est dérivable sur ]−∞, 0] car c’est la restriction d’une fonction rationnelle .

Soit x ∈ ]−∞, 0].

ƒ′(x) = 2x(2x²+1)−4x(x²+2)/(2x²+1)²

= 4x³+2x−4x³−8x/(2x²+1)²

= −6x/(2x²+1)²

comme (2x² + 1)² ≻ 0 pour tout x ∈ ]−∞, 0], donc le signe de ƒ′(x) est celui de −6x. Donc

(∀x ∈ ]−∞, 0]) , ƒ′(x) ≥ 0

Puisque ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors la fonction ƒ est strictement croissante sur ]−∞, 0] .

∎ La fonction ƒ est continue sur ]−∞, 0] .

Ceci signifie que ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie de J vers ]−∞, 0] tel que :

J = ƒ(]−∞, 0]) = ]lim_x→−∞ ƒ(x), ƒ(0)] = ]1/2, 2]

2. Le tableau de variations de ƒ⁻¹ .

La fonction ƒ⁻¹ est strictement croissante sur ]1/2, 2] .

3. Soit y ∈ ]1/2, 2] . Résolvons l’équation ƒ(x) = y dans ]−∞, 0] .

Soit x ∈ ]−∞, 0] .

ƒ(x) = y ⇔  x²+2/2x²+1 = y

⇔ x² + 2 = y(2x² + 1)

⇔ x²(1 − 2y) = y − 2

⇔ x² = y−2/1−2y , 1 − 2y ≠ 0

⇔ ∣x∣ = √y−2/1−2y

⇔ x = −√y−2/1−2y

⇔ x = −√2−y/2y−1

Comme : −√2−y/2y−1 ∈ ]−∞, 0] . Alors

(∀x ∈ ]1/2, 2]) , ƒ⁻¹(x) = −√2−x/2x−1

Exercice 2

On considère la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = √x+1 − √x−1

1. L’ensemble de définition de la fonction ƒ.

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x + 1 ≥ 0 et x − 1 ≥ 0}

= {x ∈ ℝ/ x ≥ −1 et x ≥ 1}

= {x ∈ ℝ/ x ≥ 1}

= [1, +∞[  

2. Calculons lim_x→+∞ ƒ(x) :

lim_x→+∞ ƒ(x) = lim_x→+∞ √x+1 − √x−1

= lim_x→+∞ 2/√x+1 + √x−1

= 0

3. ∎ La continuité de la fonction ƒ sur [1, +∞[ .

On pose : u : x → √x+1 et v : x → √x−1.

• w : x → x + 1 est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et surtout sur [1, +∞[ , et pour tout x ∈ [1, +∞[ : w(x) ≥ 0. Alors la fonction u = √w est continue sur [1, +∞[ .

• h : x → x − 1 est une fonction polynôme dérivable sur ℝ et surtout sur [1, +∞[ , et pour tout x ∈ [1, +∞[ : h(x) ≥ 0. Alors la fonction v = √h est continue sur [1, +∞[ .

La fonction ƒ est continue sur [1, +∞[ comme la différence de deux fonctions continues sur [1, +∞[ .

∎ La fonction ƒ est dérivable sur ]1, +∞[ comme la différence de deux fonctions dérivables sur ]1, +∞[ . (x → √x+1 et x → √x−1).

Soit x ∈ ]1, +∞[ .

ƒ′(x) = 1/2√x+1 − 1/2√x−1   

= (√x−1 − √x+1)/2√x²−1

= −2/2√x²−1(√x−1 + √x+1)

= −1/√x²−1(√x−1 + √x+1) < 0

Ceci signifie que la fonction ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ .

Donc ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie de J vers [1, +∞[ tel que :

J = ƒ([1, +∞[) = ]lim_x→+∞ ƒ(x) , ƒ(1)] = ]0 , √2] .

4. Soit y ∈ ]0, √2]. Résolvons l’équation ƒ(x) = y dans [1, +∞[ .

Soit x ∈ [1, +∞[ .

ƒ(x) = y ⇔ √x+1 − √x−1 = y

⇔ √x+1 = y + √x−1

⇔ x + 1 = y² + 2y√x−1 + x − 1

⇔ 2 − y² = 2y√x−1

⇔ (2 − y²)² = 4y²(x − 1)

⇔ (2 − y²)² = 4y²x − 4y²

⇔ 4y²x = (2 − y²)² + 4y²

⇔ x = (2 − y²)²+4y²/4y² , (y ≠ 0)

Comme : (2 − y²)²+4y²/4y² ∈ [1, +∞[ . Alors

(∀x ∈ ]0, √2]) , ƒ⁻¹(x) = (2 − y²)²+4y²/4y²

Exercice 3

On considère la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = x/√x+2

1. Montrons que ƒ est continue sur ]−2, +∞[ .

On pose : u : x → x et v : x → √x+2.

∎ u est une fonction polynôme continue sur ℝ et surtout sur ]−2, +∞[ .   

∎ w : x → x + 2 est une fonction polynôme continue sur ℝ et surtout sur ]−2, +∞[ et ne s’annule pas sur ]−2, +∞[ , et pour tout x ∈ ]−2, +∞[ : w(x) ≻ 0. Donc la fonction v = √w est continue sur ]−2, +∞[ .

Donc la fonction ƒ est continue sur ]−2, +∞[ comme le quotient de deux fonctions continues sur ]−2, +∞[ .

2. La fonction ƒ est dérivable sur ]−2, +∞[ comme le quotient de deux fonction dérivables sur ]−2, +∞[ .

Soit x ∈ ]−2, +∞[ .

ƒ′(x) = √x+2−x×1/2√x+2/x+2

= 2(x+2)−x/2(x+2)√x+2

= x+4/2(x+2)√x+2

Donc

(∀x ∈ ]−2, +∞[) , ƒ′(x) = x+4/2(x+2)√x+2

3. Montrons que ƒ est une bijection de ]−2, +∞[ sur un intervalle J.

∎ La fonction ƒ est continue sur ]−2, +∞[ .

∎ On a

(∀x ∈ ]−2, +∞[) , ƒ′(x) = x+4/2(x+2)√x+2

Comme 2(x + 2)√x+2 ≻ 0 pour tout x ∈ ]−2, +∞[, le signe de ƒ′(x) sur ]−2, +∞[ est celui de x + 4.

Donc

(∀x ∈ ]−2, +∞[) , ƒ′(x) ≻ 0

Donc la fonction ƒ est strictement croissante sur ]−2, +∞[ .

La fonction ƒ réalise une bijection de ]−2, +∞[ sur un intervalle J, tel que

J = ƒ(]−2, +∞[) = ]lim_x→−2⁺ ƒ(x), lim_x→+∞ ƒ(x)[ = ℝ.

Exercice 4

1. ∎ ƒ est dérivable sur [1, +∞[ comme la somme de deux fonction dérivable sur[1, +∞[ . (x → x et x → 1/x).   

Soit x ∈ [1, +∞[ .

ƒ′(x) = 1 − 1/x²

= x²−1/x²

Le signe ƒ′(x) sur [1, +∞[ est celui de x² − 1.

Donc

(∀x ∈ [1, +∞[) , ƒ′(x) ≥ 0

Puisque ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors la fonction ƒ est strictement croissante sur [1, +∞[ .

∎ La fonction ƒ est continue sur [1, +∞[ .

Ceci signifie que ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie de J vers [1, +∞[ tel que :

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Devoir surveillé sur l’étude des fonctions

Problème d’analyse

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = x − 2 − √x² − 2x

1. Déterminer D_ƒ .
   1. Calculer lim_x→−∞ ƒ(x).
   2. Étudier la branche infinie de la courbe (C_ƒ) au voisinage de −∞.
   3. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x), puis étudier la branche infinie de la courbe (C_ƒ) au voisinage de +∞.
2. Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite de 2 et à gauche de 0 puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.
   1. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]−∞, 0[∪]2, +∞[, puis montrer que pour tout x de ]−∞, 0[∪]2, +∞[ ƒ′(x) = √x² − 2x − (x − 1)/√x² − 2x
   1. Montrer que : ∀x ∈ ]−∞, 0[ : ƒ′(x) > 0 et ∀x ∈ ]2, +∞[ : ƒ′(x) < 0.
   2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Tracer la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
4. On considère la fonction g la restriction de la fonction ƒ sur [2, +∞[.

g(x) = ƒ(x) , x ≥ 2

1. Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie un intervalle J qu’on déterminera.
2. Calculer : (g⁻¹)′(2 − 2√2). (on donne : g(4) = 2 − 2√2).
3. Déterminer g⁻¹(x) pour tout x ∈ J.
4. Tracer la courbe (C_g−1) dans le même repère orthonormé (O , i , j).

Correction

Problème d’analyse

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = x − 2 − √x² − 2x

1. Cherchons l’ensemble de définition D_ƒ.

D_ƒ = { x ∈ ℝ/ x² − 2x≥0}

On résout l’inéquation suivante : x² − 2x ≥ 0

x² − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2

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