Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés

Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés.(Bac/ Terminale)

Exercice 1 (Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés)

Soit la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = √sinx+1+x²−1/√x²+1−1

1. Montrer que D_ƒ = ℝ*.
2. Calculer lim_x→0− ƒ(x) et lim_x→0⁺ ƒ(x) puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.

(∀x ∈ ℝ*) , ∣x∣−1/√x²+1−1 ≤ ƒ(x) ≤ √x²+2−1/√x²+1−1

Exercice 2 (Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés) 

On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par :

g(x) = 1/4(x³ − 3x − 18)

1. Étudier les variations de la fonction g.
   1. Montrer que la courbe (C_g) admet un unique point d’inflexion A qu’on déterminera.
   2. Écrire l’équation de la tangente (T) a la courbe (C_g) au point A.
2. Étudier les branches infinies de la courbe (C_g).
3. Construire (T) et la courbe (C_g) dans un repère orthonormé ( O, i , j ).

• On considère la fonction numérique ƒ définie par :

ƒ(x) = 1/3(x³+9/x²−1)

1. a) Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.

b) Déterminer les limites de ƒ aux bornes de D.

2. a) Montrer que pour tout x ∈ D :

ƒ′(x) = 4/3 × xg(x)/(x² − 1)²

b) Dresser le tableau de variations de ƒ.

3. Étudier la position relative de la courbe (C_ƒ) et son asymptote oblique (∆).

4. Construire (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

5. Discuter suivant les valeurs du paramètres réel m le nombre de solutions de l’équation :

x³ − 3mx² + 3m + 9 = 0.

6. A partir de la courbe (C_ƒ) construire la courbe représentative de la fonction h : x → ∣ƒ(x)∣.

Exercice 3 (Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = x − 1 − 1/x + 1/x²

et soit (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ puis déterminer le limite de ƒ aux bornes de D.
2. Étudier les branches infinies de la courbe (C_ƒ).
3. Étudier la position relative de la courbe (C_ƒ) et son asymptote oblique.
4. a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ* :

ƒ′(x) = (x − 1)(x² + x + 2)/x³

b) Étudier les variations de la fonction ƒ.

5. Montrer que le point I d’abscisse 3 est un point d’inflexion pour la courbe (C_ƒ).

6. Vérifier que pour tout x ∈ ℝ* :

ƒ(x) = (x − 1/x)(1 − 1/x)

et en déduire les points d’intersection de la courbe (C_ƒ) avec l’axe des abscisses.

7. Construire la courbe (C_ƒ).

8. Déterminer le signe de ƒ(x) pour tout x ∈ ℝ*.

9. Soit g la fonction numérique définie par :

g(x) = |x − 1/x| . |1 − 1/x|

a) Étudier la dérivabilité de la fonction g en 1 et −1, puis interpréter les résultats obtenus.

b) En utilisant la courbe (C_ƒ), construire la courbe (C_g) de al fonction g.

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Correction de la série N°1

Exercice 1

Soit la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = √sinx+1+x²−1/√x²+1−1

1. a) Montrons que : D_ƒ = ℝ*.

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ sin x + 1 + x² ≥ 0 et √x²+1 − 1 ≠ 0 et x² + 1 ≥ 0}

Soit x ∈ ℝ.

∣sin x∣ ≤ 1

⇔  − 1 ≤ sin x ≤ 1

⇔  0 ≤ sin x + 1 ≤ 2

⇔  x² ≤ sin x + 1 + x² ≤ 2 + x²

Donc

(∀x ∈ ℝ) , sin x + 1 + x² ≥ 0 et (∀x ∈ ℝ) , x² + 1 ≥ 0

Soit x ∈ ℝ.

√x²+1 − 1 = 0 ⇔ √x²+1 = 1

⇔ x² + 1 = 1

⇔  x² = 0

⇔  x = 0.

Donc

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x ≠ 0}

= ℝ*

b) Calculons : lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x).

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Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés (Série N°2)

Exercice 1

On considère la fonction F définie sur [0, π/2] par : F(x) = 4x(π − x) − πsin²x.

1. Montrer que F deux fois dérivables et que : F″(x) = −2(4 + πcos(2x)).
2. Étudier le sens de variations de F′ déduire le signe de F′ sur [0, π/2] .
3. En déduire que : (∀x ∈ [0, π/2]) , sin²x ≤ 4/πx(π − x).

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

{ ƒ(x) = √x/x²+1 , x ≻ 0 et ƒ(x) = √x²+1 − 1, x ≤ 0

et soit (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

1. a) Calculer : lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).

b) Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ au point x₀ = 0 et interpréter les résultats obtenus.

2. Étudier les branches infinies de la courbe (C_ƒ).

3. a) Calculer ƒ′(x) pour tout x ∈ ℝ*.

b) Dresser le tableau de variations de ƒ.

4. Construire la courbe (C_ƒ).

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Correction de la série N°2

Exercice 1

On considère la fonction F définie sur [0, π/2] par : F(x) = 4x(π − x) − πsin²x.

1. La fonction F est deux fois dérivable sur [0, π/2] comme la somme de deux fonctions deux fois dérivables sur [0, π/2] . (x → 4x(π − x) et x → −πsin²x).

Soit x ∈ [0, π/2] .

F′(x) = 4(π − x) − 4x − 2πsin x. cos x

= 4(π − 2x) − πsin(2x) 

et

F″(x) = − 8 − π × 2cos(2x)

= −8 −2πcos(2x)

= −2(4 + πcos(2x))

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F″(x) = −2(4 + πcos(2x))

2. ∎ Soit x ∈ [0, π/2] .

∣cos(2x)∣ ≤ 1

⇔  −1 ≤ cos(2x) ≤ 1

⇔  −π ≤ πcos(2x) ≤ π

⇔ 4 − π ≤ 4 + πcos(2x) ≤ 4 + π 

⇔ −2(4 + π) ≤ −2(4 + πcos(2x)) ≤ −2(4 − π)

⇔  −2(4 + π) ≤ F″(x) ≤ −2(4 − π)

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F″(x) < 0.

Ceci signifie que la fonction F′ est strictement décroissante sur [0, π/2] .

∎ Soit x ∈ [0, π/2] .

0 ≤ x ≤ π/2 ⇒_{F′ est strictement décroissante} F′(π/2) ≤ F′(x) ≤ F′(0) ⇒  0 ≤ F′(x) ≤ 4π 

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F′(x) ≥ 0

Ceci signifie que F′ est positive sur [0, π/2] .

3. On déduit que : (∀x ∈ [0, π/2]) , sin²x ≤ 4/πx(π − x).

Comme la fonction F′ est positive sur [0, π/2] et puisque elle ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors la fonction F est strictement croissante sur [0, π/2].

Soit x ∈ [0, π/2] .

0 ≤ x ≤ π/2

⇒  F(0) ≤ F(x) ≤ F(π/2)

⇒  0 ≤ F(x) ≤ π² − π 

Donc

F(x) ≥ 0.

Par suite

F(x) ≥ 0 ⇔ 4x(π − x) − πsin²x ≥ 0

⇔ πsin²x ≤ 4x(π − x)

⇔ sin²x ≤ 4/πx(π − x)

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , sin²x ≤ 4/πx(π − x).

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

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Devoir surveillé N°1 sur l’étude des fonctions

Problème d’analyse

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = x − 2 − √x² − 2x

1. Déterminer D_ƒ .
   1. Calculer lim_x→−∞ ƒ(x).
   2. Étudier la branche infinie de la courbe (C_ƒ) au voisinage de −∞.
   3. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x), puis étudier la branche infinie de la courbe (C_ƒ) au voisinage de +∞.
2. Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite de 2 et à gauche de 0 puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.
   1. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]−∞, 0[∪]2, +∞[, puis montrer que pour tout x de ]−∞, 0[∪]2, +∞[ ƒ′(x) = √x² − 2x − (x − 1)/√x² − 2x
   1. Montrer que : ∀x ∈ ]−∞, 0[ : ƒ′(x) > 0 et ∀x ∈ ]2, +∞[ : ƒ′(x) < 0.
   2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Tracer la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
4. On considère la fonction g la restriction de la fonction ƒ sur [2, +∞[.

g(x) = ƒ(x) , x ≥ 2

1. Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie un intervalle J qu’on déterminera.
2. Calculer : (g⁻¹)′(2 − 2√2). (on donne : g(4) = 2 − 2√2).
3. Déterminer g⁻¹(x) pour tout x ∈ J.
4. Tracer la courbe (C_g−1) dans le même repère orthonormé (O , i , j).

Correction

Problème d’analyse

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = x − 2 − √x² − 2x

1. Cherchons l’ensemble de définition D_ƒ.

D_ƒ = { x ∈ ℝ/ x² − 2x≥0}

On résout l’inéquation suivante : x² − 2x ≥ 0

x² − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2

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Devoir surveillé N°2 sur l’étude des fonctions

Exercice 1

Soit θ ∈ [0, π] ,

ƒ_θ(x) = x³/2x²+4xcosθ+2

1. Déterminer D_ƒθ suivant les valeurs de θ.
   1. Calculer ƒ′_θ(x).
   2. Trouver θ pour que le signe de ƒ′_θ(x) soit constant.
2. On prend θ = 0.
   1. Calculer les limites de ƒ₀ aux bornes D_ƒ0 et poser le tableau de variations.
   2. Étudier les branches infinies et construire (C_ƒ0) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
3. On admet sans démonstration que (C_θ) et (C_π−θ) sont symétriques par rapport à l’origine.

Construire (C_π) dans le même repère orthonormé ( O , i , j ).

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Exercice 1

ƒ_θ(x) = x³/2x²+4xcosθ+2 , θ ∈ [0, π]

1. On détermine D_ƒθ suivant les valeurs de θ :

D_ƒθ = {x ∈ ℝ/ 2x² + 4x cosθ + 2 ≠ 0}

On résout dans ℝ l’équation : 2x² + 4x cosθ + 2 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = (4cosθ)² − 4 × 2 × 2 = 16cos²θ − 16 = 16(cos²θ − 1)

Soit θ ∈ [0, π] .

∣cos θ∣ ≤ 1

⇔ ∣cos θ∣² ≤ 1

⇔ ∣cos² θ∣ ≤ 1

⇔ −1 ≤ cos²θ ≤ 1

⇔ −2 ≤ cos²θ − 1 ≤ 0

Donc

(∀θ ∈ [0, π]) , cos²θ − 1 ≤ 0

• Si θ ∈ {0, π} alors : cos²θ − 1 = 0, c’est-à-dire : ∆ = 0.

L’équation admet une unique solution : x = −b/2a = −4cosθ/4 = − cos θ. Comme θ ∈ {0, π} alors x ∈ {−1, 1}.

• Si θ ∈ ]0, π[, alors : cos²θ − 1 < 0, c’est-à-dire : ∆ < 0.

L’équation n’admet aucune solution dans ℝ. Donc : D_ƒθ = ℝ.

Conclusion 2 :

• Si θ ∈ {0, π} , alors : D_ƒθ = ℝ ∖ {−1, 1}.
• Si θ ∈ ]0, π[ , alors : D_ƒθ = ℝ.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Limites et continuité exercices corrigés
• Fonction logarithme népérien exercices et problèmes corrigés pdf