Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés

Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés

Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés.(Bac/ Terminale)

Exercice 1 (Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés)

Soit la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = sinx+1+x2−1/√x2+1−1

    1. Montrer que Dƒ = *.
    2. Calculer limx→0 ƒ(x) et limx→0+ ƒ(x) puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.
    1. Montrer que : limx→+∞ sinx/x = 0.
    2. Déduire limx→+∞ ƒ(x) puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.
  1. Calculer limx→0 x.ƒ(x) .
  2. Résoudre dans * l’équation : ƒ(x) = 1.
  3. Montrer que :

(∀x*) , ∣x−1/√x2+1−1 ≤ ƒ(x) ≤ √x2+2−1/√x2+1−1

Exercice 2 (Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés) 

On considère la fonction numérique g définie sur par :

g(x) = 1/4(x3 − 3x − 18)

  1. Étudier les variations de la fonction g.
    1. Montrer que la courbe (Cg) admet un unique point d’inflexion A qu’on déterminera.
    2. Écrire l’équation de la tangente (T) a la courbe (Cg) au point A.
  2. Étudier les branches infinies de la courbe (Cg).
  3. Construire (T) et la courbe (Cg) dans un repère orthonormé ( O, i , j ).
  • On considère la fonction numérique ƒ définie par :

ƒ(x) = 1/3(x3+9/x2−1)

  1. a) Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ.

b) Déterminer les limites de ƒ aux bornes de D.

2. a) Montrer que pour tout xD :

ƒ′(x) = 4/3 × xg(x)/(x2 − 1)2

b) Dresser le tableau de variations de ƒ.

3. Étudier la position relative de la courbe (Cƒ) et son asymptote oblique (∆).

4. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

5. Discuter suivant les valeurs du paramètres réel m le nombre de solutions de l’équation :

x3 − 3mx2 + 3m + 9 = 0.

6. A partir de la courbe (Cƒ) construire la courbe représentative de la fonction h : x → ∣ƒ(x)∣.

Exercice 3 (Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie par :

ƒ(x) = x − 1 − 1/x + 1/x2

et soit (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. Déterminer D l’ensemble de définition de ƒ puis déterminer le limite de ƒ aux bornes de D.
  2. Étudier les branches infinies de la courbe (Cƒ).
  3. Étudier la position relative de la courbe (Cƒ) et son asymptote oblique.
  4. a) Montrer que pour tout x * :

ƒ′(x) = (x − 1)(x2 + x + 2)/x3

b) Étudier les variations de la fonction ƒ.

5. Montrer que le point I d’abscisse 3 est un point d’inflexion pour la courbe (Cƒ).

6. Vérifier que pour tout x* :

ƒ(x) = (x − 1/x)(1 − 1/x)

et en déduire les points d’intersection de la courbe (Cƒ) avec l’axe des abscisses.

7. Construire la courbe (Cƒ).

8. Déterminer le signe de ƒ(x) pour tout x*.

9. Soit g la fonction numérique définie par :

g(x) = |x − 1/x| . |1 − 1/x|

a) Étudier la dérivabilité de la fonction g en 1 et −1, puis interpréter les résultats obtenus.

b) En utilisant la courbe (Cƒ), construire la courbe (Cg) de al fonction g.

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Correction de la série N°1

Exercice 1

Soit la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = sinx+1+x2−1/√x2+1−1

  1. a) Montrons que : Dƒ = *.

Dƒ = {x/ sin x + 1 + x2 0 et √x2+1 − 10 et x2 + 10}

Soit x.

∣sin x∣ ≤ 1

⇔  − 1 ≤ sin x 1

⇔  0 ≤ sin x + 1 2

⇔  x2 ≤ sin x + 1 + x2 2 + x2

Donc

(∀x) , sin x + 1 + x2 0 et (∀x) , x2 + 10

Soit x.

√x2+1 − 1 = 0 ⇔ √x2+1 = 1

⇔ x2 + 1 = 1

⇔  x2 = 0

⇔  x = 0.

Donc

Dƒ = {x/ x ≠ 0}

= *

b) Calculons : limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).

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Étude des fonctions 2 bac exercices corrigés (Série N°2)

Exercice 1

On considère la fonction F définie sur [0, π/2] par : F(x) = 4x(π − x) − πsin2x.

  1. Montrer que F deux fois dérivables et que : F″(x) = −2(4 + πcos(2x)).
  2. Étudier le sens de variations de F′ déduire le signe de F′ sur [0, π/2] .
  3. En déduire que : (∀x ∈ [0, π/2]) , sin2x4/πx(π − x).

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

{ ƒ(x) = √x/x2+1 , x0 et ƒ(x) = √x2+1 − 1, x 0

et soit (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

  1. a) Calculer : limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).

b) Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ au point x0 = 0 et interpréter les résultats obtenus.

2. Étudier les branches infinies de la courbe (Cƒ).

3. a) Calculer ƒ′(x) pour tout x *.

b) Dresser le tableau de variations de ƒ.

4. Construire la courbe (Cƒ).

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Correction de la série N°2

Exercice 1

On considère la fonction F définie sur [0, π/2] par : F(x) = 4x(π − x) − πsin2x.

  1. La fonction F est deux fois dérivable sur [0, π/2] comme la somme de deux fonctions deux fois dérivables sur [0, π/2] . (x → 4x(π − x) et x−πsin2x).

Soit x ∈ [0, π/2] .

F′(x) = 4(π − x) − 4x − 2πsin x. cos x

= 4(π − 2x) − πsin(2x

et

F″(x) = − 8 − π × 2cos(2x)

= −8 −2πcos(2x)

= −2(4 + πcos(2x))

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F″(x) = −2(4 + πcos(2x))

2. ∎ Soit x ∈ [0, π/2] .

∣cos(2x)∣ ≤ 1

⇔  −1 ≤ cos(2x) ≤ 1

⇔  −π πcos(2x) ≤ π

⇔ 4 − π4 + πcos(2x) ≤ 4 + π 

⇔ −2(4 + π) ≤ −2(4 + πcos(2x)) ≤ −2(4 − π)

⇔  −2(4 + π) ≤ F″(x) ≤ −2(4 − π)

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F″(x) < 0.

Ceci signifie que la fonction F′ est strictement décroissante sur [0, π/2] .

∎ Soit x ∈ [0, π/2] .

0x π/2F′ est strictement décroissante F′(π/2) ≤ F′(x) ≤ F′(0) ⇒  0F′(x) ≤ 4π 

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , F′(x) ≥ 0

Ceci signifie que F′ est positive sur [0, π/2] .

3. On déduit que : (∀x ∈ [0, π/2]) , sin2x4/πx(π − x).

Comme la fonction F′ est positive sur [0, π/2] et puisque elle ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors la fonction F est strictement croissante sur [0, π/2].

Soit x ∈ [0, π/2] .

0x π/2

⇒  F(0) ≤ F(x) ≤ F(π/2)

⇒  0 F(x) ≤ π2 − π 

Donc

F(x) ≥ 0.

Par suite

F(x) ≥ 04x(π − x) − πsin2x0

πsin2x4x(π − x)

⇔ sin2x 4/πx(π − x)

Donc

(∀x ∈ [0, π/2]) , sin2x4/πx(π − x).

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

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Devoir surveillé N°1 sur l’étude des fonctions

Problème d’analyse

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = x − 2 − √x2 − 2x

  1. Déterminer Dƒ .
    1. Calculer limx→−∞ ƒ(x).
    2. Étudier la branche infinie de la courbe (Cƒ) au voisinage de −∞.
    3. Calculer limx→+∞ ƒ(x), puis étudier la branche infinie de la courbe (Cƒ) au voisinage de +∞.
  2. Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ à droite de 2 et à gauche de 0 puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.
    1. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur ]−∞, 0[∪]2, +∞[, puis montrer que pour tout x de ]−∞, 0[∪]2, +∞[ ƒ′(x) = √x2 2x − (x − 1)/√x2 − 2x
    1. Montrer que : ∀x ∈ ]−∞, 0[ : ƒ′(x) > 0 et ∀x ∈ ]2, +∞[ : ƒ′(x) < 0.
    2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  3. Tracer la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
  4. On considère la fonction g la restriction de la fonction ƒ sur [2, +∞[.

g(x) = ƒ(x) , x ≥ 2

    1. Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 définie un intervalle J qu’on déterminera.
    2. Calculer : (g−1)′(2 − 2√2). (on donne : g(4) = 2 − 2√2).
    3. Déterminer g−1(x) pour tout xJ.
    4. Tracer la courbe (Cg−1) dans le même repère orthonormé (O , i , j).

Correction

Problème d’analyse

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = x − 2 − √x2 − 2x

  1. Cherchons l’ensemble de définition Dƒ.

Dƒ = { x / x2 − 2x≥0}

On résout l’inéquation suivante : x2 − 2x ≥ 0

x2 − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2

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Devoir surveillé N°2 sur l’étude des fonctions

Exercice 1

Soit θ ∈ [0, π] ,

ƒθ(x) = x3/2x2+4xcosθ+2

  1. Déterminer Dƒθ suivant les valeurs de θ.
    1. Calculer ƒ′θ(x).
    2. Trouver θ pour que le signe de ƒ′θ(x) soit constant.
  2. On prend θ = 0.
    1. Calculer les limites de ƒ0 aux bornes Dƒ0 et poser le tableau de variations.
    2. Étudier les branches infinies et construire (Cƒ0) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
  3. On admet sans démonstration que (Cθ) et (Cπ−θ) sont symétriques par rapport à l’origine.

Construire (Cπ) dans le même repère orthonormé ( O , i , j ).

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Exercice 1

ƒθ(x) = x3/2x2+4xcosθ+2 , θ ∈ [0, π]

  1. On détermine Dƒθ suivant les valeurs de θ :

Dƒθ = {x/ 2x2 + 4x cosθ + 2 ≠ 0}

On résout dans l’équation : 2x2 + 4x cosθ + 2 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = (4cosθ)2 − 4 × 2 × 2 = 16cos2θ − 16 = 16(cos2θ − 1)

Soit θ ∈ [0, π] .

∣cos θ∣ ≤ 1

⇔ ∣cos θ2 1

⇔ ∣cos2 θ∣ ≤ 1

−1 ≤ cos2θ 1

−2 ≤ cos2θ − 10

Donc

(∀θ ∈ [0, π]) , cos2θ − 1 0

  • Si θ ∈ {0, π} alors : cos2θ − 1 = 0, c’est-à-dire : ∆ = 0.

L’équation admet une unique solution : x = −b/2a = −4cosθ/4 = − cos θ. Comme θ ∈ {0, π} alors x ∈ {−1, 1}.

  • Si θ ∈ ]0, π[, alors : cos2θ − 1 < 0, c’est-à-dire : ∆ < 0.

L’équation n’admet aucune solution dans . Donc : Dƒθ = .

Conclusion 2 :

  • Si θ ∈ {0, π} , alors : Dƒθ = ∖ {−1, 1}.
  • Si θ ∈ ]0, π[ , alors : Dƒθ = .

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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