Fonction exponentielle exercices corrigés

Fonction exponentielle exercices corrigés

Fonction exponentielle exercices corrigés. Série d’exercices très bien structurés sur la fonction exponentielle (2ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse 01 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

Partie 01

On considère la fonction numérique g définie sur par :

g(x) = e2x − 2x

  1. Calculer g′(x) pour tout x de puis montrer que g est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
  2. En déduire que g(x) > 0 pour tout x de . (remarquer que g(0) = 1).

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur par :

ƒ(x) = ln(e2x − 2x)

Soit (C) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j ).

    1. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) = +∞.
    2. Vérifier que : (∀x*). ƒ(x)/x = (e2x/x −2) × ln(e2x − 2x)/e2x −2x
    3. Montrer que limx→−∞ ƒ(x)/x = 0.
    4. En déduire que la courbe (C) admet au voisinage de −∞, une branche parabolique dont on précisera la direction.
    1. Pour tout x de [0, +∞[, vérifier que : 1 − 2x/e2x >0 et que : 2x + ln(1 − 2x/e2x) = ƒ(x).
    2. En déduire que limx→+∞ ƒ(x) = +∞.
    3. Montrer que la droite (D) d’équation y = 2x est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de +∞.
    4. Montrer que : ƒ(x) − 2x ≤ 0 pour tout x de [0, +∞[ et en déduire que (C) est en-dessus de (D) sur l’intervalle [0, +∞[.
    1. Montrer que pour tout x de on a : ƒ′(x) = 2(e2x − 1)/g(x)
    2. Étudier le signe de ƒ′(x) pour tout x de puis le tableau de variations de la fonction ƒ.
  1. Tracer (D) et (C) dans le repère (O , i , j).

Problème d’analyse 02 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

Partie 01 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

Soit g la fonction numérique définie sur par :

g(x) = ex − 2x

  1. Calculer g′(x) pour tout x de puis en déduire que g est décroissante sur ]−∞ , ln2] et croissante sur [ln2, +∞[.
  2. Vérifier que g(ln2) = 2(1 − ln2) puis déterminer le signe de g(ln2).
  3. En déduire que g(x)>0 pour tout x.

Partie 02 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur par :

ƒ(x) = x/ex −2x

et soit (C) la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonormé ( O, i , j ) (unité : 1cm).

    1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) = 0 et limx→−∞ ƒ(x) = −1/2.
    2. Interpréter géométriquement chacun des deux derniers résultats.
    1. Montrer pour tout x de on a : ƒ′(x) = (1 − x)ex/(ex −2x)2
    2. Étudier le signe de ƒ′(x) sur puis dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur .
    3. Montrer que y = x est une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point O origine du repère.

Cliquer ici pour télécharger Fonction exponentielle exercices corrigés Terminale s pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction

Devoir surveillé sur la fonction exponentielle

Problème d’analyse.

Partie N1

On considère la fonction numérique g définie sur par : g(x) = ex + 2xex − 1.

  1. Calculer g(0).
  2. A partir de la courbe représentative (Cg) de la fonction g (voir la figure au dessus) déterminer le signe g(x) sur chacun des intervalles : ]−∞,0] et [0,+∞[.

Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

ƒ(x) = x(ex − 1)2

et (Cƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j). (unité : 2cm).

    1. Calculer : limx→+∞ƒ(x).
    2. Déterminer la branche infinie de la courbe (Cƒ) au voisinage de +∞.

2. a) Vérifier que : ƒ(x) = xe2x − 2xex + x pour tout x de .

b) Calculer limx→−∞ ƒ(x) et montrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe (Cƒ) au voisinage −∞.

3. a) étudier la dérivabilité de ƒ en 0 à droite et interpréter géométriquement le résultat.

b) Montrer que : (∀x ∈ ) : ƒ′(x) = (ex − 1)g(x).

c) Montrer que : (∀x ∈ ]−∞,0]) : ex − 1 ≤ 0 et que (∀x ∈ [0,+∞[) : ex − 1 ≥ 0.

d) Montrer que la fonction ƒ est croissante sur .

4. a) Résoudre dans l’équation : xex (ex − 2) = 0.

b) En déduire que la courbe (Cƒ) coupe la droite (∆) en deux points dont on déterminera les couples de coordonnées.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur la fonction exponentielle terminale s pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction (Devoir surveillé)

Devoir surveillé exponentielle et nombres complexes

Problème d’analyse

Partie 01.

On considère la fonction numérique h définie sur par : h(x) = ex − x − 1.

  1. Calculer h′(x) pour tout x de , puis en déduire que h est croissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0].
  2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x, puis déduire que ex − x > 0 pour tout x.

Partie 02.

On considère la fonction numérique ƒ définie sur [0,+∞[ par : ƒ(x) = ex − 1/ex − x

  1. Vérifier que : ƒ(x) = 1 − ex/1 − xe−x , puis déduire que : limx→+∞ ƒ(x) = 1.

On admet le résultat suivante : la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, 1].

2. Montrer que pout tout x de [0, 1] on a : ƒ(x) ∈ [0, 1].

3. Soit (D) la droit d’équation : y = x.

a). Montrer que pour tout x de [0, 1] : ƒ(x) − x = (1− x)h(x)/ex − x , puis étudier le signe de ƒ(x) − x sur [0, 1].

b). Déduire la position relative de la courbe (Cƒ) et la droite (D) sur l’intervalle [0, 1].

4. On considère la suite (un) définie par : u0 = 1/2 et un+1 = ƒ(un), pour tout n.

a) Montrer que : (∀n ) : 1/2 ≤ un ≤ 1.

b) Montrer que la suite (un) est croissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : On pourra utiliser la question 3-a)

c) . Montrer que : limn→+∞ un = 1.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

  1. Résoudre dans l’équation : (E) : z2 − 6z + 18 = 0.
  2. On considère les points A et B d’affixes respectives : a = 3 + 3i , b = 3 − 3i.
    1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
  3. On considère la translation T de vecteur OA.
    1. Montrer que b′ l’affixe du point B′ image du point B par la translation T est : 6.
    2. Montrer que : b − b′/a − b′ = i, puis en déduire que le triangle AB′B est rectangle isocèle en B′.
    3. Déduire de ce qui précède que le quadrilatère OAB′B est un carré.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur la fonction exponentielle et les nombres complexes terminale pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction

Devoir surveillé exponentielle et nombres complexes N2

Problème d’analyse

Partie 01. On considère la fonction numérique h définie sur par : h(x) = e−x + x − 1.

  1. Calculer h′(x) pour tout x, puis en déduire que h est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
  2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x de .

Partie 02. On considère la fonction numérique ƒ définie sur par : ƒ(x) = x/x + e−x

  1. Montrer que : ƒ′(x) = (x + 1)e−x/(x + e−x)2 pour tout x de .
  2. Etudier le signe ƒ′(x) puis dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
  3. Vérifier : x − ƒ(x) = xh(x)/h(x) + 1 pour tout x de puis étudier le signe x − ƒ(x) sur .
  4. Déduire de la question précédente que la courbe (Cƒ) est au-dessous de la droite (∆) d’équation : y = x sur l’intervalle [0, +∞[ et au-dessus sur l’intervalle ]−∞, 0].
  5. On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 et un+1 = ƒ(un), pour tout n.
    1. Montrer que : (∀n) : 0 ≤ un ≤ 1.
    2. Montrer que la suite (un) est décroissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : on pourra utiliser le résultat de la question 3)
    3. Montrer que : limn→+∞ un = 0.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

  1. Résoudre dans l’équation : (E) : 2z2 + 2z + 5 = 0.
  2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2 − 2i , b = − √3/2 + 1/2i et c = 1 − √3 + ( 1 + √3)i.
    1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
  3. On considère la rotation R de centre le point O et d’angle 5π/6.
    1. Soit z l’affixe d’un point M du plan complexe et z′ l’affixe du point M′ l’image de M par la rotation R. Montrer que : z′ = bz, puis vérifier que le point C est l’image du point A par la rotation R.

Cliquer ici pour télécharger ds sur la fonction exponentielle et les nombres complexes N2 terminale pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir surveillé N2

Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.