Fonction exponentielle exercices corrigés

Fonction exponentielle exercices corrigés. Série d’exercices très bien structurés sur la fonction exponentielle (2^ème année bac / Terminale)

Problème d’analyse 01 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

Partie 01

On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par :

g(x) = e^2x − 2x

1. Calculer g′(x) pour tout x de ℝ puis montrer que g est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
2. En déduire que g(x) > 0 pour tout x de ℝ. (remarquer que g(0) = 1).

Partie 02

On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = ln(e^2x − 2x)

Soit (C) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O , i , j ).

1. Montrer que : lim_x→−∞ ƒ(x) = +∞.
2. Vérifier que : (∀x ∈ ℝ*). ƒ(x)/x = (e^2x/x −2) × ln(e^2x − 2x)/e^2x −2x
3. Montrer que lim_x→−∞ ƒ(x)/x = 0.
4. En déduire que la courbe (C) admet au voisinage de −∞, une branche parabolique dont on précisera la direction.

Problème d’analyse 02 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

Partie 01 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

Soit g la fonction numérique définie sur ℝ par :

g(x) = e^x − 2x

1. Calculer g′(x) pour tout x de ℝ puis en déduire que g est décroissante sur ]−∞ , ln2] et croissante sur [ln2, +∞[.
2. Vérifier que g(ln2) = 2(1 − ln2) puis déterminer le signe de g(ln2).
3. En déduire que g(x)>0 pour tout x ∈ ℝ.

Partie 02 (Fonction exponentielle exercices corrigés)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = x/e^x −2x

et soit (C) la courbe représentative de ƒ dans un repère orthonormé ( O, i , j ) (unité : 1cm).

1. Montrer que : lim_x→+∞ ƒ(x) = 0 et lim_x→−∞ ƒ(x) = −1/2.
2. Interpréter géométriquement chacun des deux derniers résultats.

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Devoir surveillé sur la fonction exponentielle

Problème d’analyse.

Partie N1

On considère la fonction numérique g définie sur ℝ par : g(x) = e^x + 2xe^x − 1.

1. Calculer g(0).
2. A partir de la courbe représentative (C_g) de la fonction g (voir la figure au dessus) déterminer le signe g(x) sur chacun des intervalles : ]−∞,0] et [0,+∞[.

Partie N2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = x(e^x − 1)²

et (C_ƒ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j). (unité : 2cm).

1. Calculer : lim_x→+∞ƒ(x).
2. Déterminer la branche infinie de la courbe (C_ƒ) au voisinage de +∞.

2. a) Vérifier que : ƒ(x) = xe^2x − 2xe^x + x pour tout x de ℝ.

b) Calculer lim_x→−∞ ƒ(x) et montrer que la droite (∆) d’équation y = x est asymptote oblique à la courbe (C_ƒ) au voisinage −∞.

3. a) étudier la dérivabilité de ƒ en 0 à droite et interpréter géométriquement le résultat.

b) Montrer que : (∀x ∈ ℝ) : ƒ′(x) = (e^x − 1)g(x).

c) Montrer que : (∀x ∈ ]−∞,0]) : e^x − 1 ≤ 0 et que (∀x ∈ [0,+∞[) : e^x − 1 ≥ 0.

d) Montrer que la fonction ƒ est croissante sur ℝ.

4. a) Résoudre dans ℝ l’équation : xe^x (e^x − 2) = 0.

b) En déduire que la courbe (C_ƒ) coupe la droite (∆) en deux points dont on déterminera les couples de coordonnées.

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Devoir surveillé exponentielle et nombres complexes

Problème d’analyse

Partie 01.

On considère la fonction numérique h définie sur ℝ par : h(x) = e^x − x − 1.

1. Calculer h′(x) pour tout x de ℝ, puis en déduire que h est croissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0].
2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ, puis déduire que e^x − x > 0 pour tout x ∈ ℝ.

Partie 02.

On considère la fonction numérique ƒ définie sur [0,+∞[ par : ƒ(x) = e^x − 1/e^x − x

1. Vérifier que : ƒ(x) = 1 − e^x/1 − xe^−x , puis déduire que : lim_x→+∞ ƒ(x) = 1.

On admet le résultat suivante : la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, 1].

2. Montrer que pout tout x de [0, 1] on a : ƒ(x) ∈ [0, 1].

3. Soit (D) la droit d’équation : y = x.

a). Montrer que pour tout x de [0, 1] : ƒ(x) − x = (1− x)h(x)/e^x − x , puis étudier le signe de ƒ(x) − x sur [0, 1].

b). Déduire la position relative de la courbe (C_ƒ) et la droite (D) sur l’intervalle [0, 1].

4. On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 1/2 et u_n+1 = ƒ(u_n), pour tout n ∈ ℕ.

a) Montrer que : (∀n ∈ ℕ) : 1/2 ≤ u_n ≤ 1.

b) Montrer que la suite (u_n) est croissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : On pourra utiliser la question 3-a)

c) . Montrer que : lim_n→+∞ u_n = 1.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

1. Résoudre dans ℂ l’équation : (E) : z² − 6z + 18 = 0.
2. On considère les points A et B d’affixes respectives : a = 3 + 3i , b = 3 − 3i.
   1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
3. On considère la translation T de vecteur OA.
   1. Montrer que b′ l’affixe du point B′ image du point B par la translation T est : 6.
   2. Montrer que : b − b′/a − b′ = i, puis en déduire que le triangle AB′B est rectangle isocèle en B′.
   3. Déduire de ce qui précède que le quadrilatère OAB′B est un carré.

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Devoir surveillé exponentielle et nombres complexes N2

Problème d’analyse

Partie 01. On considère la fonction numérique h définie sur ℝ par : h(x) = e^−x + x − 1.

1. Calculer h′(x) pour tout x ∈ ℝ, puis en déduire que h est croissante sur [0, +∞[ et décroissante sur ]−∞, 0].
2. Montrer que h(x) ≥ 0 pour tout x de ℝ.

Partie 02. On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x/x + e^−x

1. Montrer que : ƒ′(x) = (x + 1)e^−x/(x + e^−x)² pour tout x de ℝ.
2. Etudier le signe ƒ′(x) puis dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.
3. Vérifier : x − ƒ(x) = xh(x)/h(x) + 1 pour tout x de ℝ puis étudier le signe x − ƒ(x) sur ℝ.
4. Déduire de la question précédente que la courbe (C_ƒ) est au-dessous de la droite (∆) d’équation : y = x sur l’intervalle [0, +∞[ et au-dessus sur l’intervalle ]−∞, 0].
5. On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 1 et u_n+1 = ƒ(u_n), pour tout n ∈ ℕ.
   1. Montrer que : (∀n ∈ ℕ) : 0 ≤ u_n ≤ 1.
   2. Montrer que la suite (u_n) est décroissante, puis montrer qu’elle est convergente. (Indication : on pourra utiliser le résultat de la question 3)
   3. Montrer que : lim_n→+∞ u_n = 0.

Exercice 1

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O , u , v ).

1. Résoudre dans ℂ l’équation : (E) : 2z² + 2z + 5 = 0.
2. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : a = 2 − 2i , b = − √3/2 + 1/2i et c = 1 − √3 + ( 1 + √3)i.
   1. Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des deux nombres complexes : a et b.
3. On considère la rotation R de centre le point O et d’angle 5π/6.
   1. Soit z l’affixe d’un point M du plan complexe et z′ l’affixe du point M′ l’image de M par la rotation R. Montrer que : z′ = bz, puis vérifier que le point C est l’image du point A par la rotation R.

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• Cours complet et bien détaillé sur la fonction exponentielle
• Exercices corrigés fonction exponentielle sur annales2maths