Géométrie dans l'espace terminale exercices

Géométrie dans l’espace terminale exercices. Série d’exercices sur la géométrie dans l’espace (Bac / Terminale)

Exercice 1

On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k) le point A(1, −1, 3) et le plan (P) d’équation : x − y + 3z = 0.

1. Vérifier que : {x = t ; y = −t ; z = 3t / (t ∈ ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (OA).
2. Déterminer une équation cartésienne du plan (Q) orthogonal à la droite (OA) au point A.
3. Vérifier que (P) et parallèle à (Q).
On considère la sphère (S) tangente du plan (Q) en A et qui se coupe avec le plan (P) suivant le cercle (T) de centre O et de rayon √33.
1. Démontrer que Ω(a, b, c) centre de la sphère (S) appartient à (OA) puis en déduire que b = −a et c = 3a.
2. Démontrer que : ΩA² − ΩO² = 33 puis en déduire que : a − b + 3c = −11.
3. En déduire les coordonnées de Ω centre de la sphère (S) puis démontrer que son rayon est égale à 2√11.

Exercice 2

On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O, i , j , k) les points A(2,0,−1) , B(2, 4, 2) , C(3, 3, 3) et la sphère (S) d’équation cartésienne :

x² + y² + z² − 4x − 4y − 8z + 20 = 0

Démontrer que le centre de la sphère (S) est le point Ω(2,2,4) et que son rayon est égal à 2.
Soit (P) le plan passant par le point A et orthogonal à la droite (BC). Démontrer que : x − y + z − 1 = 0 est une équation cartésienne du plan (P).
1. Démontrer que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (T) de rayon égale à 1.
2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆) passant par Ω et orthogonal à (P).
3. Déterminer les coordonnées du point ω centre du cercle (T).