Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale

Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale (Bac / Terminale)

Problème d’analyse 1 (Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale)

Pour tout entier naturel n ≥ 1 on pose :

I_n = 1/2ⁿ⁺¹ n! ∫¹₀ (1 − t)ⁿ e^t/2 dt

1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁.
2. Démontrer que pour tout naturel n ≥1 on a : I_n+1 = I_n − 1/2ⁿ⁺¹ (n + 1)!.
3. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n ≥1 on a : √e = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2ⁿ . 1/n! + I_n.
4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 0 ≤ I_n ≤ 1/2ⁿ n! A. On pourra déterminer A en majorant la fonction : t → ( 1 − t)ⁿ .e^t/2 sur l’intervalle [0, 1].
5. En déduire la limite quand n tend vers +∞ de : u_n = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2ⁿ . 1/n!

Problème d’analyse 2

On pose, pour tout entier naturel n non nul :

I_n = 1/n!∫¹₀ (1 − x)ⁿ e^−x dx.

1. 1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁.
   2. Prouver que pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ I_n ≤ 1/n!∫¹₀ e^−x dx. En déduire : lim_n→+∞ I_n.
   3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout naturel n non nul, on a : I_n+1 = 1/(n+1)! − I_n.
2. On considère la suite réelle (a_n), définie sur ℕ* par a₁ = 0 et, pour tout entier n non nul : a_n+1 = a_n + (−1)ⁿ⁺¹/(n+1)!.
   1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : a_n = 1/e + (−1)ⁿ I_n.
   2. En déduire : lim_n→ +∞a_n.

Problème d’analyse 3 Pour tout entier n de ℕ*, on considère l’intégrale :

I_n = ∫^e₁ (ln x)ⁿ dx

1. 1. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 , e[ et pour tout entier naturel n, on a : (ln x)ⁿ − (ln x)ⁿ⁺¹ > 0.
   2. En déduire que la suite (I_n) est décroissante.
2. 1. Calculer I₁ à l’aide d’une intégration par parties.
   2. Démontrer à l’aide Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale s pdf

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