Devoir surveillé sur le calcul d'intégrales terminale

Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale

Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale (Bac / Terminale)

Problème d’analyse 1 (Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale)

Pour tout entier naturel n ≥ 1 on pose :

In = 1/2n+1 n!10 (1 − t)n et/2 dt

  1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
  2. Démontrer que pour tout naturel n ≥1 on a : In+1 = In − 1/2n+1 (n + 1)!.
  3. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n ≥1 on a : √e = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2n . 1/n! + In.
  4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 0 ≤ In ≤ 1/2n n! A. On pourra déterminer A en majorant la fonction : t → ( 1 − t)n .et/2 sur l’intervalle [0, 1].
  5. En déduire la limite quand n tend vers +∞ de : un = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2n . 1/n!

Problème d’analyse 2

On pose, pour tout entier naturel n non nul :

In = 1/n!10 (1 − x)n e−x dx.

    1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
    2. Prouver que pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ In ≤ 1/n!10 e−x dx. En déduire : limn→+∞ In.
    3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout naturel n non nul, on a : In+1 = 1/(n+1)! − In.
  1. On considère la suite réelle (an), définie sur * par a1 = 0 et, pour tout entier n non nul : an+1 = an + (−1)n+1/(n+1)!.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : an = 1/e + (−1)n In.
    2. En déduire : limn→ +∞an.

Problème d’analyse 3 Pour tout entier n de *, on considère l’intégrale :

In =e1 (ln x)n dx

    1. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 , e[ et pour tout entier naturel n, on a : (ln x)n − (ln x)n+1 > 0.
    2. En déduire que la suite (In) est décroissante.
    1. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.
    2. Démontrer à l’aide Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale s pdf

Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.