Les intégrales exercices corrigés

Les intégrales exercices corrigés

Les intégrales exercices corrigés 2 bac. (2ème année Bac / Terminale)

Exercice 1 (questions indépendants)
  1. En utilisant une intégration par partie, calculer l’intégrale : I = 21 ln xdx.
  2. Calculer l’intégrale : I = e1/e 1/x ∣ln xdx.
  3. En utilisant une intégration par partie, montrer que : π/20 cos x . ln (1 + cos x)dx = π/2  − 1
Exercice 2 (les intégrales exercices corrigés)

1. Vérifier que : x2/x+1 = x − 1 + 1/x+1 pour tout x de ∖〈−1〉.

2. Montrer que : 20 x2 /x+1dx = ln 3

3. En utilisant une intégration par parties, montrer que :20 x ln(x+1)dx = 3/2 ln 3.

Exercice 3

On pose : I = -1-2 x/x+3dx et J = -1-2 ln(2x +6)dx.

  1. Montrer que : I = 1 − 3ln 2 .
  2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : J = − I .

Exercice 4 1. Déterminer les fonctions primitives de la fonction x 2x(x2 − 1)2021 sur et vérifier que : √21 2x(x2 − 1)2021 .

2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : 20 (2x + 1) ln(x + 1)dx = 6 ln 3 − 2

Exercice 5 On définit, pour tout entier naturel n≥1, l’intégrale : In =20 1/n!(2 − x)n ex dx.

  1. Calculer I1 .
  2. Etablir que pour tout entier naturel n≥1, 0≤In2n/n!(e2 − 1).
  3. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :

n ∈ * , In+1 = In 2n+1 /(n+1)!

4. Démontrer par récurrence que : e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In.

5. On pose, pour tout entier naturel n≥1, un = 2n/n!

a). Calculer un+1/un et prouver que pour tout entier naturel n≥3, un+1≤1/2un .

b). En déduire que pour tout entier naturel n≥3, 0≤un ≤u3 (1/2)n-3.

c). Déduire : limn→+∞ un , puis limn→+∞ In.

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Correction de la série d’exercices

Exercice 5

On définit, pour tout entier naturel n 1, l’intégrale : In = 20 1/n! (2 − x)nexdx :

  1. Calculons I1 :

On a : I1 =20 (2 − x)nexdx. En utilisant une intégration par partie, on obtient :

On pose :

{ u(x) = 2 − x et v′(x) = ex ⇒  { u′(x) = − 1 et v(x) = ex

Donc

20 (2 − x)exdx = [(2 − x)ex]2020 −exdx

= −2 + ∫20 exdx

= − 2 + [ex]20

= − 2 + e2 − 1 = e2 − 3

2. Montrons que pour tout n1, on a : 0In 2n/n! (e2 − 1)

On a : In = 20 1/n! (2 − x)nexdx

x ∈ [0, 2] ⇒ 0 x2

⇒ 02 − x 2

0 ≤ (2 − x)n/n!2n/n!

0 1/n!(2 − x)nex 2n/n!ex

0 ≤ ∫20 1/n!(2 − x)nexdx 2n/n! 20 exdx

0 ≤ ∫20 1/n!(2 − x)nexdx2n/n! [ex]20

0In2n/n! (e2 − 1)

3. Montrons que pour tout n*, In+1 = In − 2n+1/(n+1)! :

On a : In = 20 1/n! (2 − x)nexdx = 1/n!20 (2 − x)nexdx :

On pose

{ u(x) = ex et v′(x) = (2 − x)n ⇒ { u′(x) = ex et v(x) = −(2−x)n+1/n+1

Donc

In = 1/n!([−ex.(2 − x)n+1/n+1]20 + 20 ex (2 − x)n+1/n+1 dx)

= 1/n! [−ex.(2 − x)n+1/n+1]20 +20 (2 − x)n+1/n!(n+1)ex dx

= 1/n! . 2n+1/n+1 + 20 (2 − x)n+1/(n+1)!ex dx

= 2n+1/(n + 1)! + In+1

Donc, on obtient : In = 2n+1/(n + 1)! + In+1. Ce qui signifie que :

In+1 = In − 2n+1/(n + 1)!

4. Démontrons par récurrence : e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In

Initialisation. Si n = 1, on obtient : e2 = 1 + 2/1! + I1, c’est-à-dire : e2 = e2. Ce qui signifie que l’égalité est vraie pour n = 1.

Hérédité. On suppose que e2 = 1+ 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In pour un certain entier n.

Montrons que : e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n+1/(n+1)! + In+1.

On a

e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + 2n+1/(n+1)! − 2n+1/(n+1)! + In

= (1+ 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + 2n+1/(n+1)!) + In − 2n+1/(n+1)!

= 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + 2n+1/(n+1)! + In+1

Donc, on obtient

e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + 2n+1/(n+1)! + In+1

Conclusion. D’après le principe de récurrence on en déduit que tout entier n dans * on a : e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In.

Méthode 02

Soit n* on a : In+1 − In = −2n+1/(n+1)!. (Question 3/)

Donc

{ I1 − I0 = −21/1! et I2 − I1 = −22/2! et I3 − I2 = −23/3! et I4 − I3 = −24/4! … In − In−1 = −2n/n!

ensuite on fait la somme de ces égalités, on obtient :

(I1 − I0) + (I2 − I1) + (I3 − I2) + … + (In − In−1) = − (21/1! + 22/2! + 23/3! + … + 2n/n!)

en simplifiant et on obtient :

−I0 + In = − (21/1! + 22/2! + 23/3! + … + 2n/n!)

Donc : I0 = 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In et comme I0 = e2 − 1, alors on aura :

e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In

5. On pose pour tout entier naturel n 1, un = 2n/n!

a) Calculons un+1/un

un+1/un = 2n+1/(n+1)!/2n/n! = 2n+1/(n+1)! × n!/2n = 2/n+1

Montrons que pour tout entier naturel n ≥ 3, on a : un+1 1/2un

On a pour tout entier naturel n 3. un+1/un = 2/n+1. Comme 2/n+1 1/2 , donc un+1/un 1/2. Ce qui signifie que : un+11/2un.

b) Pour tout entier naturel n3, on a : un+1 1/2un.

{ u4 1/2u3 et u51/2u4 et u6 1/2u5 et u71/2u6 … un1/2un−1

ensuite en fait le produit de ces inégalités (n − 3)fois, on obtient

u4 × u5 × u6 × u7 × … × un ≤ (1/2 × 1/2 × … × 1/2)(n − 3)fois × u3 × u4 × u5 × u6 × … × un−1

en simplifiant, on obtient : un u3(1/2)n−1, et comme un 0 pour tout entier n 3 alors

n3, 0un u3(1/2)n−1

c) On cherche : limn→+∞ un :

On sait que pour tout entier naturel n3, on a : 0 unu3(1/2)n−1, et comme limn→+∞ (1/2)n−1 = 0 car −11/21. Donc, on obtient :

limn→+∞ un = 0

On cherche : limn→+∞ In :

On sait que pour tout entier naturel n1, on a : 0 In2n/n!(e2 − 1), et comme limn→+∞ 2n/n! = 0. Donc, on obtient :

limn→+∞ In = 0

6. Justifions que e2 = limn→+∞ (1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n!) :

On sait que pour tout n* on a : e2 = 1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n! + In, et comme limn→+∞ In = 0. Donc par passage à la limite, on obtient :

e2 = limn→+∞ (1 + 2/1! + 22/2! + … + 2n/n!)

        

Les intégrales exercices corrigés Terminale pdf (la correction de la série)

Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Exercice 1
  1. Calculer les intégrales suivantes : I =21 x/x+1 dx et J =e1 ln2(x)/x dx.
  2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫π/20 cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
  3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
  4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
    • Calculer l’aire en cm2 du domaine délimité par (Cƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.
Exercice 2
  • Résoudre dans l’ensemble l’équation (E) : z2 − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : zA = 2√3 − 2i et zB = 2√3 + 2i.

  1. a) Écrire zA et zB sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 []. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : zI = 2√3, puis en déduire que : zC = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [].

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Correction Devoir surveillé nombres complexes et les intégrales exercices corrigés (version 2)

Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales

Problème d’analyse 1

Pour tout entier naturel n ≥ 1 on pose :

In = 1/2n+1 n!10 (1 − t)n et/2 dt

  1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
  2. Démontrer que pour tout naturel n ≥1 on a : In+1 = In − 1/2n+1 (n + 1)!.
  3. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n ≥1 on a : √e = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2n . 1/n! + In.
  4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 0 ≤ In ≤ 1/2n n! A. On pourra déterminer A en majorant la fonction : t → ( 1 − t)n .et/2 sur l’intervalle [0, 1].
  5. En déduire la limite quand n tend vers +∞ de : un = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2n . 1/n!
Problème d’analyse 2

On pose, pour tout entier naturel n non nul :

In = 1/n!10 (1 − x)n e−x dx.

    1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
    2. Prouver que pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ In ≤ 1/n!10 e−x dx. En déduire : limn→+∞ In.
    3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout naturel n non nul, on a : In+1 = 1/(n+1)! − In.
  1. On considère la suite réelle (an), définie sur * par a1 = 0 et, pour tout entier n non nul : an+1 = an + (−1)n+1/(n+1)!.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : an = 1/e + (−1)n In.
    2. En déduire : limn→ +∞an.

Problème d’analyse 3 Pour tout entier n de *, on considère l’intégrale :

In =e1 (ln x)n dx

    1. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 , e[ et pour tout entier naturel n, on a : (ln x)n − (ln x)n+1 > 0.
    2. En déduire que la suite (In) est décroissante.
    1. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.
    2. Démontrer à l’aide Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale s pdf

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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