Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf

Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf. C’est la série d’exercices numéro 1 sur les nombres complexes (2ème année bac / Terminale)

Exercice 01 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation : (E) : z² − 18z + 82 =0

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u , v ), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 9 + i, b = 9 − i et c = 11− i.

a) Montrer que : c − b/a − b = −i, puis déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.

b) Donner une forme trigonométrique du nombre complexe : 4(1− i).

c) Montrer que : (c − a)(c − b) = 4(1− i), puis déduire que : AC × BC = 4√2.

d) Soit z l’affixe d’un point M du plan et z’ l’affixe du point M’ image de M par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2 .

Montrer que : z’ = − iz + 10 + 8i puis vérifier que l’affixe du point C’ image du point C par la rotation R est : 9 − 3i.

Exercice 02 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation : (E) : z² − 8z +25 = 0.

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 4 + 3i, b = 4 − 3i et c = 10 + 3i. et la translation T de vecteur BC.

a) Montrer que l’affixe du point D image du point A par la translation T est : d = 10 + 9i .

b) Vérifier que : b − a/d − a = − 1/2(1 +i) puis écrire le nombre complexe − 1/2(1 +i) sous une forme trigonométrique.

c) Montrer que : (AD, AB) ≡ 5π/4 [2π]

Exercice 03 (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

1. On considère le nombre complexe a tel que : a = 2 + √2 + i√2.
   1. Montrer que le module du nombre complexe a est : 2√2+√2
   2. Vérifier que : a = 2(1 + cosπ/4) + 2i sinπ/4.
   1. En linéarisant cos² θ, avec θ est un nombre réel, montrer que : 1 + cos 2θ = 2cos²θ.
   2. Montrer que : a = 4cos² π/8 + 4i cos π/8 sin π/8. (Indication : sin θ = 2 cosθsinθ)
   3. Montrer que : 4cos π/8(cos π/8 + i sin π/8) est une forme trigonométrique du nombre a puis montrer que : a⁴ = (2√2 + √2)⁴i.
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, e₁, e₂), les deux points Ω et A d’affixes respectives ω et a tels que : ω = √2, a = 2 + √2 + i√2 et la rotation R de centre Ω et d’angles π/2.
   1. Montrer que l’affixe b du point B image du point A par la rotation R est 2i.
   2. Déterminer l’ensemble des point M d’affixe z tel que : ∣z − 2i∣ = 2

Cliquer ici pour télécharger Exercices corrigés sur les nombres complexes bac pdf

Correction de la série d’exercices

Exercice 01

1. On résout dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z² − 18z + 82 = 0.

Calculons ∆ :

∆ = b² − 4ac = (−18)² − 4 × 1 × 82 = − 4

Donc, l’équation admet deux solutions complexes conjugués z₁ et z₂ :

z₁ = −b+i√−∆/2a = 18+i√4/2 = 9 + i

et : z₂ = z₁⁻ = (9 + i) = 9 − i. Donc :

S = {9 − i, 9 + i} 

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O , u , v), les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : a = 9 + i, b = 9 − i et c = 11 − i.

a) Montrons que : c−b/a−b = −i

c−b/a−b = (11 − i)−(9−i)/(9+i)−(9−i) = 2/2i = 1/i = −i

Le triangle ABC est isocèle en B si, et seulement si BC = BA.

∣c−b/a−b∣ = ∣−i∣ = 1 ⇔ BC/BA = 1 ⇔ BC = BA

Donc, le triangle ABC est isocèle en B.

D’autre part,

(BA, BC) ≡ arg(z_C−z_B/z_A−z_B) [2π]

≡ arg(c−b/a−b) [2π]

≡ arg(−i) [2π]

≡ −π/2 [2π]

Ce qui signifie que ABC est rectangle en B, par suite ABC est rectangle isocèle en B.

2ème méthode

On a

c−b/a−b = −i ⇔ c−b/a−b ∈ iℝ ⇔ (BA) ⊥ (BC)

Donc, les droites (BA) et (BC) sont perpendiculaires.

b) La forme trigonométrique du complexe : 4(1 − i).

Calculons le module : ∣4(1 − i)∣ = ∣4 − 4i∣ = √4²+(−4)²= √32 = 4√2. Donc

4(1 − i) = 4 − 4i

= 4√2(4/2√2 − i4/2√2)

= 4√2(√2/2 − i√2/2)

= 4√2(cos(−π/4) + i sin(−π/4))

c) Calculons l’expression : (c − a)(c − b)

(c − a)(c − b) = (11 − i − (9 + i))(11 − i − (9 − i))

= (11 − i − 9 − i)(11 − i − 9 + i)

= 2(2 − 2i)

= 4(1 − i)

• On déduit que : AC × BC = 4√2

AC × BC = ∣c − a∣∣c − b∣ = ∣(c − a)(c − b)∣ = ∣4(1 − i)∣ = 4√2

d) Montrons que : z′ = −iz + 10 + 8i

Soit z l’affixe d’un point M du plan et z′ l’affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2.

R(M) = M′ ⇔  z′ − b = e^3π/2i(z − b)

⇔ z′ − (9 − i) = −i(z −(9 − i))

⇔ z′ − 9 + i = − i(z − 9 + i)

⇔ z′ − 9 + i = − iz + 9i − i²

⇔ z′ = −iz + 9 + 1 + 8i

⇔ z′ = −iz + 10 + 8i

• Montrons que : c′ = 9 − 3i est l’affixe du point C′ par la rotation R de centre B et d’angle 3π/2 :

R(C) = C′ ⇔  c′ = −ic + 10 + 8i

⇔ c′ = −i(11 − i) + 10 + 8i

⇔ c′ = −11i − 1 + 10 + 8i

⇔ c′ = 9 − 3i

Donc, l’affixe du point C′ est c′ = 9 − 3i

Exercice 02

1. On résout dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z² − 8z + 25 = 0.

Cliquer ici pour télécharger Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf (la correction)

Série d’exercices sur les nombres complexes N1

Exercice 1

Dans le plan complexe rapporté au repère (O, u, v).

Déterminer géométriquement l’ensemble des points M d’affixes z vérifiant :

1. ∣z − 1 + i∣ = ∣z + 2 − i∣
2. ∣iz + 1 − i∣ = ∣z + 3∣
3. ∣z⁻ + 2 − i∣ = 2.

Exercice 2

Étant donné z ∈ ℂ ∖ {2i}, on forme Z = z+i/z−2i

1. Déterminer l’ensemble (E₁) des images des nombres z tels que Z ∈ ℝ.
2. Déterminer l’ensemble (E₂) des images des nombres z tels que Z ∈ iℝ.

Exercice 3

Soit z₁ = 1 + i et z₂ = √3 − i.

1. Écrire z₁ et z₂ sous forme trigonométrique.
2. Écrire z₁ × z₂ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique.
3. Déduire cos (π/12) et sin (π/12).

Exercice 4

Déterminer la forme algébrique de (1 + i)⁴/(√3 + i)³.

Exercice 5

Dans un plan complexe, considérons les points A, B, C et D d’affixes respectives z₁ = √3 − i , z₂ = −z₁ , z₃ = √3 + 3i et z₄ = z₃ ⁻.

1. Calculer z₁−z₃/z₁−z₄ puis déduire que les points A, C et D sont alignés.
2. Vérifier que : z₃−z₁/z₃+z₁ = 1+i√3/2, puis déterminer la mesure de l’angle orienté (CB, CA).
3. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.

Exercice 6

Cliquer ici pour télécharger la série d’exercices N 1

Correction de la série d’exercices N 1

Exercice 1

1. Soit z ∈ ℂ, on a

∣z − 1 + i∣ = ∣z + 2 − i∣

⇔ ∣z − (1 − i)∣ = ∣z − (−2 + i)∣

⇔ ∣z − z_A∣ = ∣z − z_B∣ / Notons A(1 − i) et B(−2 + i)

⇔ AM = BM

Donc l’ensemble des points M (z) est la droite médiatrice du segment [AB]

2. Soit z ∈ ℂ, on a

∣iz + 1 − i∣ = ∣z + 3∣

⇔ ∣i(z + 1/i − 1)∣ = ∣z + 3∣

⇔ ∣i∣ ∣z + 1/i − 1∣ = ∣z + 3∣

⇔ ∣z − i − 1∣ = ∣z + 3∣

⇔ ∣z − (1 + i)∣ = ∣z − (−3)∣

⇔ ∣z − z_I∣ = ∣z − z_F∣ / Notons I (1 + i) et F(−3)

⇔ IM = FM

Donc l’ensemble des points M(z) est la droite médiatrice du segment [IF].

3. Soit z ∈ ℂ, on a

∣z⁻ + 2 − i∣ = 2

⇔ ∣z + 2 + i⁻∣ = 2

⇔ ∣z + 2 + i∣ = 2

⇔ ∣z − (−2 − i)∣ = 2

⇔ ∣z − z_J∣ = 2 / Notons J(−2 − i)

⇔ JM = 2

⇔ M appartient au cercle de centre J et de rayon 2

Donc l’ensemble des points M(z) est le cercle de centre J et de rayon 2.

Cliquer ici pour télécharger la correction

Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Exercice 1 (Les nombres complexes)

1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation : z² − √2z + 1 = 0.
2. On pose : a = √2/2 + √2/2i
   1. Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a²⁰²⁰ est nombre réel.
   2. Déduire les entiers naturel n tels que : aⁿ ∈ ℝ.
   3. Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b² = a.
3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
   1. Vérifier que : z′ = bz.
   2. Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
   1. Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
   2. Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
4. Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
   1. Vérifier que l’affixe de D est b² + 1.
   2. Montrer que : b² +1/b = b + b⁻ et en déduire que les points O , B et D sont alignés.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives z_A = 1 + i√3 , z_B = 2i et z_I = 1/2 + i√3 +2/2.

1. Mettre les nombres complexes z_A et z_B sous la forme exponentielle.
2. Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
3. Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
4. Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.

Cliquer ici pour télécharger Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles terminale pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction

Devoir maison sur les nombres complexes et la fonction exponentielle

Problème d’analyse (Exercices corrigés sur les nombres complexes terminale s pdf)

On considère la fonction numérique ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = −x + 5/2 − 1/2 e^x-2 (e^x-2 − 4)

et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i , j ). (unité : 2cm).

1. Montrer que lim_x→−∞ ƒ(x) = + ∞ et lim_x→+∞ ƒ(x) = − ∞.

a) Démontrer que la droite (∆) d’équation y = −x + 5/2 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de − ∞.

b) Résoudre l’équation e^x−2 − 4 = 0 puis montrer que la courbe (C) est au dessus de (∆) sur l’intervalle ]− ∞, 2 + ln 4] et en dessous de (∆) sur l’intervalle [2 + ln 4, + ∞[ .

2. Montrer que lim_x→+∞ ƒ(x)/x = − ∞ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

a) Montrer que pour tout x ∈ ℝ, ƒ’(x) = −(e^x−2 − 1)²

b) Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ.

3. Calculer ƒ »(x) pour tout x ∈ ℝ, puis montrer que A(2,2) est un point d’inflexion de (C).

4. Montrer que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α telle que : 2 + ln 3 < α < 2 + ln 4, puis en utilisant la méthode de dichotomie déterminer un encadrement de α de longueur ln 4 − ln (12)/2 .

5. Construire (∆) et (C) dans le même repère (O , i , j) (on prend ln 2 ≃ 0,7 et ln 3 ≃ 1,1).

a) Montrer que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ⁻¹ définie sur ℝ.

b) Construire dans le même repère (O , i , j) la courbe représentative de la fonction ƒ⁻¹ .

c) Justifier puis calculer (ƒ⁻¹ )'(2 − ln 3). (Indication : ƒ⁻¹ (2 − ln 3) = 2 + ln 3.

Cliquer ici pour télécharger Devoir maison sur les nombres complexes Terminale. C’est le devoir maison numéro 2 sur les nombres complexes et la fonction exponentielle

Cliquer ici pour télécharger la correction

Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Exercice 1

1. Calculer les intégrales suivantes : I = ∫²₁ x/x+1 dx et J = ∫^e₁ ln²(x)/x dx.
2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫^π/2₀ cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (C_ƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
   • Calculer l’aire en cm² du domaine délimité par (C_ƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.

Exercice 2

• Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z² − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : z_A = 2√3 − 2i et z_B = 2√3 + 2i.

1. a) Écrire z_A et z_B sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 [2π]. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : z_I = 2√3, puis en déduire que : z_C = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [2π].

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral terminale s pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction

Vous pouvez aussi consulter :

• Cours complet sur les nombres complexes
• Exercices corrigés – Nombres complexes sur annales2maths