Cours complet et très bien détaillé sur les nombres complexes

Les nombres complexes 2 bac cours

Les nombres complexes 2 bac cours. C’est un cours complet sur les nombres complexes (2ème année Bac / Terminale)

1. Introduction (Les nombres complexes 2 bac cours)

  • Résolution dans de l’équation x +7 = 6.

Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les entiers relatifs, on obtient alors x = −1.

  • Résolution dans de l’équation 3x = 1 .

Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres rationnels, on obtient x = 1/3.

  • Résolution dans de l’équation x2 = 2.

Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres réels, on obtient x = √2 ou x = −√2.

  • Résolution dans de l’équation x2 +1 = 0.

Cette équation n’a pas de solution dans donc on va construire un ensemble plus grand que l’on appelle (complexe) dont l’élément principal ajouté est le nombre i tel que i2 = −1. On obtient donc comme solution x = i et x = −i.

2. L’ensemble des nombres complexes

2.1 Définition et vocabulaire

Définition 1 Il existe un ensemble noté , contenant l’ensemble , tel que

  • L’ensemble possède un nombre noté i tel que : i2 = −1.
  • L’ensemble est l’ensemble des nombres z de la forme :

z = a + ib

Le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z notée : Re (z).

Le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire de z notée : Im(z).

Cette forme z = a + ib est appelée forme algébrique.

Vocabulaire

Si Im(z) = 0 le nombre complexe z est réel. Si Re(z) = 0 le nombre complexe est dit imaginaire pur.

2.2 Égalité de deux nombre complexes (Les nombres complexes 2 bac cours)
Propriété 2

On considère les nombres complexes z = a + ib et z’ = a’ + ib’.

z = z’ ⇔ Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)

a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ et b = b’

2.3 Les opérations sur les nombres complexes (Les nombres complexes 2 bac cours)
Propriété 3

On considère les nombres complexes z = a + ib et z′ = a′+ib′.

  • La somme : z + z′ est définie par :

z + z′ = (a + ib) + (a′ + ib′) = (a + a′) + i(b + b′)

  • Le produit : z × z′ est définie par :

z.z′ = (a + ib).(a′ + ib′) = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b)

  • Inverse d’un nombre complexe : Tout nombre complexe z non nul admet un inverse. L’inverse de z = a + ib est le nombre complexe a/a2 +b2 − ib/a2 +b2. Cet inverse est noté 1/z.
Exemple 4

Effectuer les opérations suivantes :

z1 = (4 − 3i)2 = 16 − 24i − 9 = 7 − 24i

z2 = 4 + 7i − (2 + 4i) = 2 + 3i

2.4 Conjugué d’un nombre complexe
Définition 5

Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est : z = a + ib. On appelle le nombre conjugué de z, le nombre noté z tel que :

z = a − ib

Exemple 6

Trouver la forme algébrique du complexe suivant :

z = 2−i/3+2i

On multiplie la fraction en haut et en bas par le complexe conjugué du dénominateur :

z = (2 − i)(3 − 2i)/(3 + 2i)(3 − 2i) = 6−4i−3i+2i2/9−(2i)2 = 4−7i/13 = 4/13 − 7/13i

Résoudre dans l’ensemble l’équation suivante : (E) : z = (2 − i)z + 3

z = (2 − i)z + 3 z − (2 − i)z = 3

z(1 − 2 + i) = 3

z = 3/−1+i

z = −3/1−i = −3(1+i)/1−(i2) = −3/2 −3/2i

Donc

S =−3/2 −3/2i }

2.4.1 Propriétés  
Propriété 7
  1. Le nombre complexe z est réel équivaut à : z = z.
  2. Le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut à : z = − z
  3. Soit z un nombre complexe et z son conjugué, tels que : z = a + ib et z = a − ib.

z + z = 2aa = z+z/2

z − z = 2ib b = z− z/2i

2.5 Représentation graphique des nombres complexes

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O , u , v ).

Théorème 10

A tout nombre complexe z = a + ib, on peut faire correspondre un point M(a, b) dans un plan orthonormal ( O , u , v ). On dit que z est l’affixe de M. On écrit alors M(z).

Propriété 11

A(zA), B(zB), C(zC) et I(zI) sont des points du plan complexe (P).

  • Le vecteur AB a pour affixe zB − zA.
  • Le point I milieu de [AB] a pour affixe zI = zA+zB/2 .
  • Les points A, B et C sont alignés ⇔ zC−zA/zB−zA = k . (Avec zB − zA ≠ 0).

3. Forme trigonométrique des nombres complexes

3.1 Module et argument d’un nombre complexe
3.1.1 Module d’un nombre complexe
Définition 12

On considère le point M d’affixe z = a +ib.

On appelle module de z la distance OM, c’est la quantité notée ∣z∣ tel que : ∣z= √a2 +b2

Exemple 13

Déterminer le module des nombres complexes suivants :

z1 = 1+ 2i et z2 = 1 − √3i

z1= √12 +22 = √5 et ∣z2= √12 + (−√3)2 = √4 = 2

Remarque 14

Soient zA, zB et zC les affixes des points A, B et C avec zA ≠ zC.

  1. AB =zB − zA
  2. Si ∣zB−zA/zC−zA= AB/AC = 1, alors le triangle ABC est isocèle en A.
Propriétés du module d’un nombre complexe :
Propriété 15
  1. z, ∣z= 0z = 0
  2. z, ∣z∣ = ∣z∣ = ∣−z
  3. ∀(z1,z2) ∈ 2 , ∣z1,z2∣ = ∣z1∣ . ∣z2
  4. z*, ∣1/z∣ = 1/∣z
  5. ∀(z1,z2) ∈ × *, ∣z1/z2∣ = ∣z1∣/∣z2
  6. (∀z*)(∀n), ∣zn∣ = ∣zn
  7. z*, ∣z = 1 z = 1/z.
3.1.2 Argument d’un nombre complexe
Définition 17

On appelle argument de z, une mesure de l’angle ( u , OM ) , c’est à dire la quantité notée arg(z) telle que si θ est un argument de z on ait :

arg(z) ≡ θ [] et {cos θ = a/∣z∣ et {sin θ = b/∣z

Exemple 18

Déterminer l’argument du nombre complexe suivant :

z = 1 + √3i

On a

{ cos θ = 1/√12+(√3)2 = 1/√4 = 1/2 et sin θ = √3/12+(√3)2 = √3/2

Donc : arg(z) ≡ π/3 [].

3.2 Forme trigonométrique
Définition 19

On appelle forme trigonométrique d’un nombre complexe z (z ≠ 0) dont l’écriture algébrique est a + ib, l’écriture suivante :

z =z∣(cos θ + isin θ)

avec : cos θ = a/∣z∣ et sin θ = b/∣z∣.

Exemple 20

Trouver la forme trigonométrique des nombres complexes :

z1 = 1 + i , z2 = 2 + 2√3i, z3 = √3 − i

  • Pour le nombre complexe z1 :

Calculons le module de z1 : ∣z1= √1+1 = √2

z1 = √2(1/√2 + i1/√2) = √2(√2/2 + i√2/2) = √2(cos π/4 + isin π/4)

  • Pour le nombre complexe z2 :

Cherchons le module de z2 : ∣z2= √22+(2√3)2 = √16 = 4

z2 = 4(2/4 + i2√3/4) = 4(1/2 + i√3/2) = 4(cos π/3 + isin π/3)

  • Pour le nombre complexe z3 :

Cherchons le module de z3 : ∣z3∣ = √(3)2+(−1)2 = √4 = 2

z3 = 2(√3/2 + i1/2) = 2(cos (−π/6) + sin (−π/6))

Remarque 21

cosθ − isinθ = cos(−θ) + isin(−θ)

−cosθ − isinθ = cos(π + θ) + isin(π + θ)

−cosθ + isinθ = cos(π − θ) + isin(π − θ)

Exemple 22

Trouver la forme algébrique de : z = √3(cos π/3 + isin π/3).

Propriété 23

Pour tous les complexes z et z′ non nuls, on a le relations suivantes :

arg(z, z′) ≡ arg(z) + arg(z′) []

arg(zn) ≡ narg(z) []

arg(z/z′) ≡ arg(z) − arg(z′) []

arg(z) ≡ −arg(z) []

Exemple 24

Soient les nombres complexes : a = (√6 + √2) + i(√6 − √2), b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2.

  1. Vérifier que : bc = a.
  2. Écrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.
  3. Déduire la forme trigonométrique du nombre complexe a.
Solution 25
  1. Vérifions que : bc = a.

bc = (1 + i√3)(√2 + i√2)

= (1 + i√3)(√2 − i√2)

= √2 − i√2 + i√6 + √6

= (√2 + √6) + i(√6 − √2)

2. La forme trigonométrique des nombres complexes : b et c.

  • Le nombre complexe : b

On a : ∣b∣ = √12+(√3)2 = √4 = 2. Donc

b = 1 + i√3 = 2(1/2 + i√3/2) = 2(cos π/3 + isin π/3)

  • Le nombre complexe : c

On a : ∣c∣ =(√2)2+(√2)2 = √4 = 2. Donc

c = √2 + i√2 = 2(√2/2 + i√2/2) = 2(cos π/4 + isin π/4)

3. On déduit la forme trigonométrique du nombre complexe a :

  • On cherche le module de a.

On sait d’après la question 1 que : bc = a. Donc, par passage au module on obtient :

a∣ = ∣bc

= ∣b∣ × ∣c

= 2 × 2 = 4

  • On cherche l’argument de a.

On a : bc = a. Donc, par passage à l’argument on obtient :

arg(a) ≡ arg(bc) []

≡ arg(b) + arg(c) []

≡ arg(b) − arg(c) []

π/3 − π/4 []

π/12 []

Donc, on obtient la forme trigonométrique suivante :

a = 4(cos π/12 + isin π/12)

4. La formule de Moivre

Théorème 26

Pour tout nombre complexe z = ∣z∣.(cos θ + isin θ) non nul, on a :

zn = zn(cos + isin )

Exemple 27

Trouver la forme trigonométrique du nombre complexe (1 − i√3)5 :

On cherche la forme trigonométrique du nombre complexe z = 1 − i√3 :

on a ∣z= √12+(−√3)2 = √4 = 2

z = 2(1/2 − i√3/2) = 2(cos(−π/3) isin(−π/3))

Donc

(1 − i√3)5 = [2(cos(−π/3) + isin(−π/3))]5 = 32(cos(−5π/3) + isin(−5π/3))

Déterminer la forme algébrique de (1 + i)4/(√3 + i)3 :

On cherche les formes trigonométriques des nombres complexes suivants : 1 + i et √3 + i

1 + i = √2(cosπ/4 + isinπ/4) et √3 + i = 2(cosπ/6 +isinπ/6).

Ensuite

(1+i)4 = (√2)4(cos 4π/4 + isin 4π/4) = 4(−1) = −4 et (√3+i)3 = 23(cos 3π/6 + isin 3π/6) = 8i

Donc

(1 + i)4/(√3 + i)3 = −4/8i = 1/2i

5. Notation exponentielle

Définition 28

On appelle forme exponentielle d’un nombre complexe z la forme suivante :

z =z∣.e

avec θ est un argument de z.

Ainsi z = ∣z∣(cos θ + isin θ) = ∣z∣.e

Propriété 29

Pour tous réels θ et θ′.

  1. e × eiθ′ = ei(θ + θ′)
  2. e/eiθ′ = ei(θ − θ′)
  3. eiθ− = e−iθ
5.1 Formules d’Euler

Pour tout réel θ,

cos θ = e+e−iθ/2 et sin θ = e−e−iθ/2

6. Équation du second degré

Théorème 30

Toute équation du second degré dans admet toujours deux solutions distinctes ou confondues. Si cette équation est à coefficients réels, c’est-à-dire

az2 + bz + c = 0, a, bet c

elle admet comme solutions dans .

  1. Si ∆ ≻ 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes :

z1 = −b+√∆/2a et z2 = −b−√∆/2a

2. Si ∆ = 0, l’équation admet une solution réelle :

z = −b/2a

3. Si ∆ ≺ 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z1 = −b+i√∆/2a et z2 = −b−i√∆/2a

Exemple 31

Résoudre dans l’ensemble l’équation suivante :

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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