Les nombres complexes 2 bac cours

Les nombres complexes 2 bac cours. C’est un cours complet sur les nombres complexes (2ème année Bac / Terminale)

1. Introduction (Les nombres complexes 2 bac cours)

• Résolution dans ℕ de l’équation x +7 = 6.

Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les entiers relatifs, on obtient alors x = −1.

• Résolution dans ℤ de l’équation 3x = 1 .

Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres rationnels, on obtient x = 1/3.

• Résolution dans ℚ de l’équation x² = 2.

Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres réels, on obtient x = √2 ou x = −√2.

• Résolution dans ℝ de l’équation x² +1 = 0.

Cette équation n’a pas de solution dans ℝ donc on va construire un ensemble plus grand que l’on appelle ℂ (complexe) dont l’élément principal ajouté est le nombre i tel que i² = −1. On obtient donc comme solution x = i et x = −i.

2. L’ensemble des nombres complexes (Les nombres complexes 2 bac cours)

2.1 Définition et vocabulaire

Définition 1 Il existe un ensemble noté ℂ, contenant l’ensemble ℝ, tel que

• L’ensemble ℂ possède un nombre noté i tel que : i² = −1.

• L’ensemble ℂ est l’ensemble des nombres z de la forme :

z = a + ib

Le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z notée : Re (z).

Le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire de z notée : Im(z).

Cette forme z = a + ib est appelée forme algébrique.

Vocabulaire

Si Im(z) = 0 le nombre complexe z est réel. Si Re(z) = 0 le nombre complexe est dit imaginaire pur.

2.2 Égalité de deux nombre complexes (Les nombres complexes 2 bac cours)

Propriété 2

On considère les nombres complexes z = a + ib et z’ = a’ + ib’.

z = z’ ⇔ Re(z) = Re(z’) et Im(z) = Im(z’)

a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ et b = b’

2.3 Les opérations sur les nombres complexes (Les nombres complexes 2 bac cours)

Propriété 3

On considère les nombres complexes z = a + ib et z′ = a′+ib′.

• La somme : z + z′ est définie par :

z + z′ = (a + ib) + (a′ + ib′) = (a + a′) + i(b + b′)

• Le produit : z × z′ est définie par :

z.z′ = (a + ib).(a′ + ib′) = (aa′ − bb′) + i(ab′ + a′b)

• Inverse d’un nombre complexe : Tout nombre complexe z non nul admet un inverse. L’inverse de z = a + ib est le nombre complexe a/a² +b² − ib/a² +b². Cet inverse est noté 1/z.

Exemple 4

Effectuer les opérations suivantes :

z₁ = (4 − 3i)² = 16 − 24i − 9 = 7 − 24i

z₂ = 4 + 7i − (2 + 4i) = 2 + 3i

2.4 Conjugué d’un nombre complexe (Les nombres complexes 2 bac cours)

Définition 5

Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est : z = a + ib. On appelle le nombre conjugué de z, le nombre noté z⁻ tel que :

z⁻ = a − ib

Exemple 6

Trouver la forme algébrique du complexe suivant :

z = 2−i/3+2i

On multiplie la fraction en haut et en bas par le complexe conjugué du dénominateur :

z = (2 − i)(3 − 2i)/(3 + 2i)(3 − 2i) = 6−4i−3i+2i²/9−(2i)² = 4−7i/13 = 4/13 − 7/13i

Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation suivante : (E) : z = (2 − i)z + 3

z = (2 − i)z + 3 ⇔ z − (2 − i)z = 3

⇔ z(1 − 2 + i) = 3

⇔ z = 3/−1+i

⇔ z = −3/1−i = −3(1+i)/1−(i²) = −3/2 −3/2i

Donc

S = { −3/2 −3/2i }

2.4.1 Propriétés  

Propriété 7

1. Le nombre complexe z est réel équivaut à : z⁻ = z.
2. Le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut à : z⁻ = − z
3. Soit z un nombre complexe et z⁻ son conjugué, tels que : z = a + ib et z⁻ = a − ib.

z + z⁻ = 2a ⇔ a = z+z⁻/2

z − z⁻ = 2ib ⇔ b = z− z⁻/2i

2.5 Représentation graphique des nombres complexes

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( O , u , v ).

Théorème 10

A tout nombre complexe z = a + ib, on peut faire correspondre un point M(a, b) dans un plan orthonormal ( O , u , v ). On dit que z est l’affixe de M. On écrit alors M(z).

Propriété 11

A(z_A), B(z_B), C(z_C) et I(z_I) sont des points du plan complexe (P).

• Le vecteur AB a pour affixe z_B − z_A.
• Le point I milieu de [AB] a pour affixe z_I = z_A+z_B/2 .
• Les points A, B et C sont alignés ⇔ z_C−z_A/z_B−z_A = k ∈ ℝ. (Avec z_B − z_A ≠ 0).

3. Forme trigonométrique des nombres complexes

3.1 Module et argument d’un nombre complexe

3.1.1 Module d’un nombre complexe

Définition 12

On considère le point M d’affixe z = a +ib.

On appelle module de z la distance OM, c’est la quantité notée ∣z∣ tel que : ∣z∣ = √a² +b²

Exemple 13

Déterminer le module des nombres complexes suivants :

z₁ = 1+ 2i et z₂ = 1 − √3i

∣z₁∣ = √1² +2² = √5 et ∣z₂∣ = √1² + (−√3)² = √4 = 2

Remarque 14

Soient z_A, z_B et z_C les affixes des points A, B et C avec z_A ≠ z_C.

1. AB = ∣z_B − z_A∣
2. Si ∣z_B−z_A/z_C−z_A∣ = AB/AC = 1, alors le triangle ABC est isocèle en A.

Propriétés du module d’un nombre complexe :

Propriété 15

1. ∀z ∈ ℂ, ∣z∣ = 0 ⇔ z = 0
2. ∀z ∈ ℂ, ∣z∣ = ∣z⁻∣ = ∣−z∣
3. ∀(z₁,z₂) ∈ ℂ² , ∣z₁,z₂∣ = ∣z₁∣ . ∣z₂∣
4. ∀z ∈ ℂ*, ∣1/z∣ = 1/∣z∣
5. ∀(z₁,z₂) ∈ ℂ × ℂ*, ∣z₁/z₂∣ = ∣z₁∣/∣z₂∣
6. (∀z ∈ ℂ*)(∀n ∈ ℤ), ∣zⁿ∣ = ∣z∣ⁿ
7. ∀z ∈ ℂ*, ∣z∣ = 1 ⇔ z⁻ = 1/z.

3.1.2 Argument d’un nombre complexe

Définition 17

On appelle argument de z, une mesure de l’angle ( u , OM ) , c’est à dire la quantité notée arg(z) telle que si θ est un argument de z on ait :

arg(z) ≡ θ [2π] et {cos θ = a/∣z∣ et {sin θ = b/∣z∣

Exemple 18

Déterminer l’argument du nombre complexe suivant :

z = 1 + √3i

On a

{ cos θ = 1/√1²+(√3)² = 1/√4 = 1/2 et sin θ = √3/1²+(√3)² = √3/2

Donc : arg(z) ≡ π/3 [2π].

3.2 Forme trigonométrique

Définition 19

On appelle forme trigonométrique d’un nombre complexe z (z ≠ 0) dont l’écriture algébrique est a + ib, l’écriture suivante :

z = ∣z∣(cos θ + isin θ)

avec : cos θ = a/∣z∣ et sin θ = b/∣z∣.

Exemple 20

Trouver la forme trigonométrique des nombres complexes :

z₁ = 1 + i , z₂ = 2 + 2√3i, z₃ = √3 − i

• Pour le nombre complexe z₁ :

Calculons le module de z₁ : ∣z₁∣ = √1+1 = √2

z₁ = √2(1/√2 + i1/√2) = √2(√2/2 + i√2/2) = √2(cos π/4 + isin π/4)

• Pour le nombre complexe z₂ :

Cherchons le module de z₂ : ∣z₂∣ = √2²+(2√3)² = √16 = 4

z₂ = 4(2/4 + i2√3/4) = 4(1/2 + i√3/2) = 4(cos π/3 + isin π/3)

• Pour le nombre complexe z₃ :

Cherchons le module de z₃ : ∣z₃∣ = √(3)²+(−1)² = √4 = 2

z₃ = 2(√3/2 + i1/2) = 2(cos (−π/6) + sin (−π/6))

Remarque 21

cosθ − isinθ = cos(−θ) + isin(−θ)

−cosθ − isinθ = cos(π + θ) + isin(π + θ)

−cosθ + isinθ = cos(π − θ) + isin(π − θ)

Exemple 22

Trouver la forme algébrique de : z = √3(cos π/3 + isin π/3).

Propriété 23

Pour tous les complexes z et z′ non nuls, on a le relations suivantes :

arg(z, z′) ≡ arg(z) + arg(z′) [2π]

arg(zⁿ) ≡ narg(z) [2π]

arg(z/z′) ≡ arg(z) − arg(z′) [2π]

arg(z⁻) ≡ −arg(z) [2π]

Exemple 24

Soient les nombres complexes : a = (√6 + √2) + i(√6 − √2), b = 1 + i√3 et c = √2 + i√2.

1. Vérifier que : bc⁻ = a.
2. Écrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.
3. Déduire la forme trigonométrique du nombre complexe a.

Solution 25

1. Vérifions que : bc⁻ = a.

bc⁻ = (1 + i√3)(√2 + i√2)⁻

= (1 + i√3)(√2 − i√2)

= √2 − i√2 + i√6 + √6

= (√2 + √6) + i(√6 − √2)

2. La forme trigonométrique des nombres complexes : b et c.

• Le nombre complexe : b

On a : ∣b∣ = √1²+(√3)² = √4 = 2. Donc

b = 1 + i√3 = 2(1/2 + i√3/2) = 2(cos π/3 + isin π/3)

• Le nombre complexe : c

On a : ∣c∣ = √(√2)²+(√2)² = √4 = 2. Donc

c = √2 + i√2 = 2(√2/2 + i√2/2) = 2(cos π/4 + isin π/4)

3. On déduit la forme trigonométrique du nombre complexe a :

• On cherche le module de a.

On sait d’après la question 1 que : bc⁻ = a. Donc, par passage au module on obtient :

∣a∣ = ∣bc⁻∣

= ∣b∣ × ∣c⁻∣

= 2 × 2 = 4

• On cherche l’argument de a.

On a : bc⁻ = a. Donc, par passage à l’argument on obtient :

arg(a) ≡ arg(bc⁻) [2π]

≡ arg(b) + arg(c⁻) [2π]

≡ arg(b) − arg(c) [2π]

≡ π/3 − π/4 [2π]

≡ π/12 [2π]

Donc, on obtient la forme trigonométrique suivante :

a = 4(cos π/12 + isin π/12)

4. La formule de Moivre

Théorème 26

Pour tout nombre complexe z = ∣z∣.(cos θ + isin θ) non nul, on a :

zⁿ = ∣z∣ⁿ(cos nθ + isin nθ)

Exemple 27

Trouver la forme trigonométrique du nombre complexe (1 − i√3)⁵ :

On cherche la forme trigonométrique du nombre complexe z = 1 − i√3 :

on a ∣z∣ = √1²+(−√3)² = √4 = 2

z = 2(1/2 − i√3/2) = 2(cos(−π/3) isin(−π/3))

Donc

(1 − i√3)⁵ = [2(cos(−π/3) + isin(−π/3))]⁵ = 32(cos(−5π/3) + isin(−5π/3))

Déterminer la forme algébrique de (1 + i)⁴/(√3 + i)³ :

On cherche les formes trigonométriques des nombres complexes suivants : 1 + i et √3 + i

1 + i = √2(cosπ/4 + isinπ/4) et √3 + i = 2(cosπ/6 +isinπ/6).

Ensuite

(1+i)⁴ = (√2)⁴(cos 4π/4 + isin 4π/4) = 4(−1) = −4 et (√3+i)³ = 2³(cos 3π/6 + isin 3π/6) = 8i

Donc

(1 + i)⁴/(√3 + i)³ = −4/8i = 1/2i

5. Notation exponentielle

Définition 28

On appelle forme exponentielle d’un nombre complexe z la forme suivante :

z = ∣z∣.e^iθ

avec θ est un argument de z.

Ainsi z = ∣z∣(cos θ + isin θ) = ∣z∣.e^iθ

Propriété 29

Pour tous réels θ et θ′.

1. e^iθ × e^iθ′ = e^{i(θ + θ′)}
2. e^iθ/e^iθ′ = e^{i(θ − θ′)}
3. e^iθ− = e^−iθ

5.1 Formules d’Euler

Pour tout réel θ,

cos θ = e^iθ+e^−iθ/2 et sin θ = e^iθ−e^−iθ/2

6. Équation du second degré

Théorème 30

Toute équation du second degré dans ℂ admet toujours deux solutions distinctes ou confondues. Si cette équation est à coefficients réels, c’est-à-dire

az² + bz + c = 0, a ∈ ℝ, b ∈ ℝ et c ∈ ℝ

elle admet comme solutions dans ℂ.

1. Si ∆ ≻ 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes :

z₁ = −b+√∆/2a et z₂ = −b−√∆/2a

2. Si ∆ = 0, l’équation admet une solution réelle :

z = −b/2a

3. Si ∆ ≺ 0, l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

z₁ = −b+i√∆/2a et z₂ = −b−i√∆/2a

Exemple 31

Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation suivante :

Cliquer ici pour télécharger les nombres complexes 2 bac cours pdf

Vous pouvez aussi consulter :

• Exercices corrigés sur les nombres complexes
• Les nombres complexes – TS – Cours complet sur Kartable