Cours sur les équations différentielles terminale

Cours sur les équations différentielles terminale. C’est un cours complet et très bien détaillé sur les équations différentielles en format pdf (2ème année Bac / Terminale)

Equation différentielle du premier ordre (Cours sur les équations différentielles terminale)

Introduction (Cours sur les équations différentielles terminale)

Une équation différentielle est une équation :

• dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y).
• dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y’, ou dérivées d’ordres supérieurs y », y⁽³⁾ ,…)

Exemple 1 on considère les équations différentielles suivantes :

1. y’ + 2y = 0 est une équation différentielle de 1^ère  ordre sans second membre.
2. y » – 3y’+ 5y = e^x est une équation différentielle de 2^éme ordre avec second membre.

L’équation : y′ = ay + b avec a ∈ ℝ^* (Cours sur les équations différentielles terminale)

L’équation y′= ay avec a ∈ ℝ^*

Soit a un réel non nul et considérons l’équation différentielle (E) : y’ = ay

y’= ay ⇔ (∀ x ∈ ℝ), y'(x) = ay(x)

• La fonction nulle g( ∀x∈ℝ, g(x) = 0) est une solution de l’équation de l’équation différentielle.
• On suppose que y ne s’annule pas sur l’ensemble ℝ on aura :

(E)⇔ (∀x∈ℝ), y'(x)= ay(x)

⇔ (∀x∈ℝ), y'(x)/y(x)=a

⇔ (∀x∈ℝ), ln ∣y(x)∣=ax+k, k∈ℝ

⇔ (∀x∈ℝ),∣y(x)∣=e^ax+k , k∈ℝ

⇔ (∀x∈ℝ),∣y(x)∣=e^ke^ax , k∈ℝ

⇔ (∀x∈ℝ), y(x)= λe^ax , λ∈ℝ

et puisque même la fonction nulle g peut s’écrire de la forme g(x) = λe^ax avec λ = 0, on peut conclure que la propriété suivante :

Proposition 2 Soit a un réel non nul et (E) : y = y’a une équation différentielle définie sur ℝ. La solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions x→y(x) = λe^ax ou λ est un réel.

Exemple 3 Résoudre les équations différentielles : (E₁): 2y’+ 3y = 0.

Résolvons l’équation (E₁) :

2y’+ 3y = 0 ⇔ y’= -3/2y

Donc, la solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions y(x)=λe^-3/2x avec λ est un réel.

L’équation y′ = ay + b avec a ∈ ℝ^* et a ∈ℝ (Cours sur les équations différentielles terminale)

Soit a un réel non nul et b un réel quelconque, considérons l’équation différentielle (E) : y’= ay +b

(E) ⇔ (∀x∈ℝ), y'(x) = ay(x) +b

⇔ (∀x∈ℝ), y'(x) = y'(x) = a(y(x) +b/a)

⇔ (∀x∈ℝ), (y(x) + b/a)’= a(y(x)+b/a)

⇔ (∀x∈ℝ), z'(x)=az(x), avec z(x)=y(x)+b/a

⇔ (∀x∈ℝ), y(x)+b/a=λe^ax

⇔ (∀x∈ℝ), y(x)=λe^ax − b/a

Proposition 4 Soit a un réel non nul et b un réel, (E) : y’=ay+b une équation différentielle définie sur ℝ. La solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions x→y(x)=λe^ax -b/a avec λ est un réel.

Remarque 5 Le réel λ dans la solution générale de l’équation différentielle (E) peut être déterminé par les conditions initiales.

Exemple 6

1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y’+ 2y = 3.
2. Déterminer la solution ℘ de (E) telle que : ℘(1)= −1.

Solution

• Résolvons l’équation (E) :

y’ = 2y = 3 ⇔ y’ = −2y + 3

Donc, la solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions y(x) = λe^-2x + 3/2 avec λ est un réel.

• ℘ est une solution de (E) donc ℘(x)= λe^-2x + 3/2, et comme ℘(1)= −1 alors on obtient :

λe^-2 + 3/2 = −1 ⇔ λe^-2 = −5/2 ⇔ λ=−5e²/2

Par suite

℘(x)=(−5e²/2)e^-2x + 3/2

L’équation différentielle de second ordre : ay″ + by′ + cy = 0 (Cours sur les équations différentielles terminale)

Soit a un réel non nul et b et c sont des réels quelconques.

Définition 7 Considérons l’équation différentielle : (E) : ay′′+ by′+ cy = 0 l’équation (E’) : ax² + bx + c = 0 a variable réelle r s’appelle l’équation caractéristiques de l’équation différentielle (E).

Exemple 8 L’équation caractéristiques de l’équation différentielle (E) : -3y »+ 2y’ − 4y = 0 est : (E’) : -3x² + 2x − 4 = 0.

Résolution de l’équation différentielle : ay″ + by′ + cy = 0

Considérons l’équation différentielle : (E) : ay′′ + by′ + cy = 0 l’équation (E’) : ax² + bx + c = 0 a variable réelle x.

1er cas :

Si ∆>0 alors l’équation (E’) a deux racines, r₁ et r₂ réelles et distinctes. Les fonctions y₁ et y₂ définies sur ℝ par : y₁(x)=e^r₁x et y₂(x)=e^r₂x sont des solutions à valeurs réelles. Nous admettons que toute solution réelle s’écrit : y(x) = Ae^r₁x + Be^r₂x avec A et B sont deux réels.

2éme cas :

Si ∆<0 alors l’équation ar² + br + c = 0 a deux racines, z₁ et z₂ complexes conjugués. Alors les fonctions g₁ et g₂ définies sur ℝ par : g₁(x) = e^z₁x et g₂(x) = e^z₁x sont des solutions à valeurs complexes. Notons z₁ = α +iω avec α = -b/2a et ω=√−∆/2a sont des réels. Donc

g₁(x) = e^z₁x = e^{(α +iω)x} =e^αxe^iωx = e^ax(cos(ωx)+isin(ωx)) et

g₂(x) =e^z₁x = e^{(α +iω)x} = e^αxe^-iωx = e^ax(cos(ωx)−isin(ωx))

comme y₁ = (g₁(x)-g₂(x))/2 et y₂ = (g₁(x)+g₂(x))/2i sont aussi des solutions des l’équation de l’équation différentielle (E) à valeurs réelles et on a :

(∀x∈ℝ), y₁(x)=e^axcos(ωx) et y₂(x)=e^axsin(ωx)

Nous admettrons que toutes les solutions s’écrivent de la forme : y = Ae^axcos(ωx)+ Be^axcos(ωx). Pour résumer : si z₁ = p+ iq alors toutes les solutions de l’ED s’écrivent de la forme :

y(x) = e^px (Acos(qx) + Bsin(qx)) avec A et B sont deux réels.

3éme cas :

Si ∆=0 l’équation ar²+ br + c = 0 a une racine double r = −b/2a.

La fonction y₁= e^rx définie sur ℝ est solution de l’ED (E) ; nous admettrons que la fonction y₂= e^rx est aussi solution de (E) et que toutes les solutions de (E) s’écrivent sous la forme

y(x) = (Ax + B)e^rx avec A et B sont deux réels

Théorème 9

Soit l’équation différentielle (E) : ay″ + by′ + c = 0 et soit (E′) : ar² + br + c = 0 son équation caractéristique ∆ = b² − 4ac le discriminant de (E′).

• Si ∆ ≻ 0 l’équation (E′) a deux racines r₁ et r₂ réelles et distinctes et les solutions de l’équation (E) sont les fonctions y(x) = Ae^r₁x + B^r₂x avec A et B deux réels.

• Si ∆ ≺ 0 l’équation (E′) a deux racines z₁ et z₂ complexes conjuguées et si z₁ = p − iq alors les solutions de l’équation (E) sont les fonctions y(x) = e^px(Acos(qx) + Bsin(qx)) avec A et B deux réels.

• ∆ = 0 l’équation (E′) admet une racine double r = −b/2a et les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = (Ax + B)e^rx avec A et B deux réels.

Exemple 10

1. Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) : y″ −4y′ + 5y = 0.
2. Déterminer la solution ƒ de (E) telle que : ƒ(0) = 1 et ƒ′(0) = −1.

Solution

• L’équation caractéristique : (E′) : r² − 4r + 5 = 0. Cherchons ∆ :

∆ = b² − 4ac = 16 − 20 = −4 ≺ 0

Donc, l’équation (E′) admet deux solutions complexes conjuguées : r₁ et r₂

r₁ = −b+i√−∆/2a = 4+2i/2 = 2 + i

et comme : r₂ = r₁⁻ = (2 + i)⁻ = 2 − i. Donc les solutions de l’équation (E′) sont : 2 − i et 2 + i.

D’où, on prend : p = 2 et q = 1. Donc, les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = e^2x(Acosx + Bsinx), avec A et B deux réels.

• La fonction ƒ est solution de l’équation (E), donc ƒ(x) = e^2x(Acosx + Bsinx).

Cherchons A et B.

ƒ(0) = 1 ⇔  A = 1

D’autre part, calculons la fonction dérivée ƒ′ :

ƒ′(x) = 2e^2x(cosx + Bsinx) + e^2x(−sinx + Bcosx)

Donc

ƒ′(0) = 1 ⇔ 2 + B = 1 ⇔ B = − 3

Par suite, les solutions de l’équation (E) sont : ƒ(x) = e^2x(cosx − 3sinx).

Exemple 11

1. Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) : y″ − 2y′ − 3y = 0.
2. Déterminer la solution ƒ de (E) telle que : ƒ(0) = 1 et ƒ′(0) = −1.

Solution

• L’équation caractéristique : (E′) : r² − 2r − 3 = 0. Cherchons ∆ :

∆ = b² − 4ac = 4 + 12 = 16 ≻ 0

Donc, l’équation (E′) admet deux solutions réelles distinctes r₁ et r₂ :

r₂ = −b+√∆/2a = 2+4/2 = 3 et r₁ = −b−√∆/2a = 2−4/2 = −1

Donc, les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = Ae^3x + Be^−x, avec A et B deux réels.

• La fonction ƒ est solution de l’équation (E), donc ƒ(x) = Ae^−x + Be^3x.

Cherchons A et B.

ƒ(0) = 1 ⇔ A + B = 1

D’autre part, calculons la fonction dérivée ƒ′ :

ƒ′(x) = −Ae^−x + 3Be^3x

Donc

ƒ′(0) = −1 ⇔ −A + 3B = −1

On obtient le système suivant : { A + B = 1 et −A + 3B = −1

On fait la somme des deux équations, on obtient :

(A + B) + (−A + 3B) = 0 ⇒ 4B = 0 ⇒ B = 0

et comme : A + B = 1 et on a B = 0. Alors : A = 1.

Donc, on aura

ƒ(x) = e^−x

Exemple 12

Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) : y″ + 2y′ + y = 0.

• L’équation caractéristique : (E′) : r² + 2r + 1 = 0. Cherchons ∆ :

∆ = b² − 4ac = 4 − 4 = 0

Donc, l’équation (E′) admet une racine r = −b/2a = − 1.

Donc, les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = (Ax + B)e^−x, avec A et B deux réels.

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Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Exercice 1 (Les nombres complexes)

1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation : z² − √2z + 1 = 0.
2. On pose : a = √2/2 + √2/2i
   1. Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a²⁰²⁰ est nombre réel.
   2. Déduire les entiers naturel n tels que : aⁿ ∈ ℝ.
   3. Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b² = a.
3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
   1. Vérifier que : z′ = bz.
   2. Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
   1. Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
   2. Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
4. Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
   1. Vérifier que l’affixe de D est b² + 1.
   2. Montrer que : b² +1/b = b + b⁻ et en déduire que les points O , B et D sont alignés.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives z_A = 1 + i√3 , z_B = 2i et z_I = 1/2 + i√3 +2/2.

1. Mettre les nombres complexes z_A et z_B sous la forme exponentielle.
2. Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
3. Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
4. Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Cours complet et très bien détaillé sur les nombres complexes
• Équations différentielles cours sur Exo7