Cours complet sur les équations différentielles pdf

Cours sur les équations différentielles terminale

Cours sur les équations différentielles terminale. C’est un cours complet et très bien détaillé sur les équations différentielles en format pdf (2ème année Bac / Terminale)

Equation différentielle du premier ordre (Cours sur les équations différentielles terminale)

Introduction (Cours sur les équations différentielles terminale)

Une équation différentielle est une équation :

  • dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y).
  • dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y’, ou dérivées d’ordres supérieurs y », y(3) ,…)

Exemple 1 on considère les équations différentielle suivantes :

  1. y’ + 2y = 0 est une équation différentielle de 1ère  ordre sans second membre.
  2. y » – 3y’+ 5y = ex est une équation différentielle de 2éme ordre avec second membre.

L’équation : y = ay + b avec a * (Cours sur les équations différentielles terminale)

L’équation y= ay avec a *

Soit a un réel non nul et considérons l’équation différentielle (E) : y’ = ay

y’= ay ⇔ (∀ x), y'(x) = ay(x)

  • La fonction nulle g( ∀x, g(x) = 0) est une solution de l’équation de l’équation différentielle.
  • On suppose que y ne s’annule pas sur l’ensemble on aura :

(E)⇔ (∀x∈), y'(x)= ay(x)

⇔ (∀x), y'(x)/y(x)=a

⇔ (∀x), ln ∣y(x)∣=ax+k, k

⇔ (∀x),∣y(x)∣=eax+k , k

⇔ (∀x),∣y(x)∣=ekeax , k

⇔ (∀x), y(x)= λeax , λ

et puisque même la fonction nulle g peut s’écrire de la forme g(x) = λeax avec λ = 0, on peut conclure que la propriété suivante :

Proposition 2 Soit a un réel non nul et (E) : y = y’a une équation différentielle définie sur . La solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions xy(x) = λeax ou λ est un réel.

Exemple 3 Résoudre les équations différentielles : (E1): 2y’+ 3y = 0.

Résolvons l’équation (E1) :

2y’+ 3y = 0 y’= -3/2y

Donc, la solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions y(x)=λe-3/2x avec λ est un réel.

L’équation y = ay + b avec a * et a ∈ℝ (Cours sur les équations différentielles terminale)

Soit a un réel non nul et b un réel quelconque, considérons l’équation différentielle (E) : y’= ay +b

(E) ⇔ (∀x), y'(x) = ay(x) +b

⇔ (∀x), y'(x) = y'(x) = a(y(x) +b/a)

⇔ (∀x), (y(x) + b/a)’= a(y(x)+b/a)

⇔ (∀x), z'(x)=az(x), avec z(x)=y(x)+b/a

⇔ (∀x), y(x)+b/a=λeax

⇔ (∀x), y(x)=λeax − b/a

Proposition 4 Soit a un réel non nul et b un réel, (E) : y’=ay+b une équation différentielle définie sur . La solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions x→y(x)=λeax -b/a avec λ est un réel.

Remarque 5 Le réel λ dans la solution générale de l’équation différentielle (E) peut être déterminé par les conditions initiales.

Exemple 6

  1. Résoudre l’équation différentielle (E) : y’+ 2y = 3.
  2. Déterminer la solution ℘ de (E) telle que : ℘(1)= −1.

Solution

  • Résolvons l’équation (E) :

y’ = 2y = 3 ⇔ y’ = −2y + 3

Donc, la solution générale de l’équation différentielle (E) est l’ensemble des fonctions y(x) = λe-2x + 3/2 avec λ est un réel.

  • ℘ est une solution de (E) donc ℘(x)= λe-2x + 3/2, et comme ℘(1)= −1 alors on obtient :

λe-2 + 3/2 = −1 λe-2 = −5/2λ=−5e2/2

Par suite

℘(x)=(−5e2/2)e-2x + 3/2

L’équation différentielle de second ordre : ay + by + cy = 0 (Cours sur les équations différentielles terminale)

Soit a un réel non nul et b et c sont des réels quelconques.

Définition 7 Considérons l’équation différentielle : (E) : ay′+ by+ cy = 0 l’équation (E’) : ax2 + bx + c = 0 a variable réelle r s’appelle l’équation caractéristiques de l’équation différentielle (E).

Exemple 8 L’équation caractéristiques de l’équation différentielle (E) : -3y »+ 2y’ 4y = 0 est : (E’) : -3x2 + 2x − 4 = 0.

Résolution de l’équation différentielle : ay″ + by′ + cy = 0

Considérons l’équation différentielle : (E) : ay′ + by + cy = 0 l’équation (E’) : ax2 + bx + c = 0 a variable réelle x.

1er cas :

Si ∆>0 alors l’équation (E’) a deux racines, r1 et r2 réelles et distinctes. Les fonctions y1 et y2 définies sur par : y1(x)=er1x et y2(x)=er2x sont des solutions à valeurs réelles. Nous admettons que toute solution réelle s’écrit : y(x) = Aer1x + Ber2x avec A et B sont deux réels.

2éme cas :

Si ∆<0 alors l’équation ar2 + br + c = 0 a deux racines, z1 et z2 complexes conjugués. Alors les fonctions g1 et g2 définies sur par : g1(x) = ez1x et g2(x) = ez1x sont des solutions à valeurs complexes. Notons z1 = α +iω avec α = -b/2a et ω=√−∆/2a sont des réels. Donc

g1(x) = ez1x = e(α +iω)x =eαxeiωx = eax(cos(ωx)+isin(ωx)) et

g2(x) =ez1x = e(α +iω)x = eαxe-iωx = eax(cos(ωx)−isin(ωx))

comme y1 = (g1(x)-g2(x))/2 et y2 = (g1(x)+g2(x))/2i sont aussi des solutions des l’équation de l’équation différentielle (E) à valeurs réelles et on a :

(∀x), y1(x)=eaxcos(ωx) et y2(x)=eaxsin(ωx)

Nous admettrons que toutes les solutions s’écrivent de la forme : y = Aeaxcos(ωx)+ Beaxcos(ωx). Pour résumer : si z1 = p+ iq alors toutes les solutions de l’ED s’écrivent de la forme :

y(x) = epx (Acos(qx) + Bsin(qx)) avec A et B sont deux réels.

3éme cas :

Si ∆=0 l’équation ar2+ br + c = 0 a une racine double r = −b/2a.

La fonction y1= erx définie sur est solution de l’ED (E) ; nous admettrons que la fonction y2= erx est aussi solution de (E) et que toutes les solutions de (E) s’écrivent sous la forme

y(x) = (Ax + B)erx avec A et B sont deux réels

Théorème 9

Soit l’équation différentielle (E) : ay″ + by′ + c = 0 et soit (E′) : ar2 + br + c = 0 son équation caractéristique ∆ = b2 − 4ac le discriminant de (E′).

  • Si ∆ ≻ 0 l’équation (E′) a deux racines r1 et r2 réelles et distinctes et les solutions de l’équation (E) sont les fonctions y(x) = Aer1x + Br2x avec A et B deux réels.
  • Si ∆ ≺ 0 l’équation (E′) a deux racines z1 et z2 complexes conjuguées et si z1 = p − iq alors les solutions de l’équation (E) sont les fonctions y(x) = epx(Acos(qx) + Bsin(qx)) avec A et B deux réels.
  • = 0 l’équation (E′) admet une racine double r = −b/2a et les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = (Ax + B)erx avec A et B deux réels.

Exemple 10

  1. Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) : y″ −4y′ + 5y = 0.
  2. Déterminer la solution ƒ de (E) telle que : ƒ(0) = 1 et ƒ′(0) = −1.

Solution

  • L’équation caractéristique : (E′) : r2 − 4r + 5 = 0. Cherchons ∆ :

= b2 − 4ac = 16 − 20 = −4 0

Donc, l’équation (E′) admet deux solutions complexes conjuguées : r1 et r2

r1 = −b+i√−∆/2a = 4+2i/2 = 2 + i

et comme : r2 = r1 = (2 + i) = 2 − i. Donc les solutions de l’équation (E′) sont : 2 − i et 2 + i.

D’où, on prend : p = 2 et q = 1. Donc, les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = e2x(Acosx + Bsinx), avec A et B deux réels.

  • La fonction ƒ est solution de l’équation (E), donc ƒ(x) = e2x(Acosx + Bsinx).

Cherchons A et B.

ƒ(0) = 1 ⇔  A = 1

D’autre part, calculons la fonction dérivée ƒ′ :

ƒ′(x) = 2e2x(cosx + Bsinx) + e2x(−sinx + Bcosx)

Donc

ƒ′(0) = 1 ⇔ 2 + B = 1 B = − 3

Par suite, les solutions de l’équation (E) sont : ƒ(x) = e2x(cosx − 3sinx).

Exemple 11

  1. Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) : y″ − 2y′ − 3y = 0.
  2. Déterminer la solution ƒ de (E) telle que : ƒ(0) = 1 et ƒ′(0) = −1.

Solution

  • L’équation caractéristique : (E′) : r2 − 2r − 3 = 0. Cherchons ∆ :

= b2 − 4ac = 4 + 12 = 160

Donc, l’équation (E′) admet deux solutions réelles distinctes r1 et r2 :

r2 = −b+√∆/2a = 2+4/2 = 3 et r1 = −b−√∆/2a = 2−4/2 = −1

Donc, les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = Ae3x + Be−x, avec A et B deux réels.

  • La fonction ƒ est solution de l’équation (E), donc ƒ(x) = Ae−x + Be3x.

Cherchons A et B.

ƒ(0) = 1 ⇔ A + B = 1

D’autre part, calculons la fonction dérivée ƒ′ :

ƒ′(x) = −Ae−x + 3Be3x

Donc

ƒ′(0) = −1 ⇔ −A + 3B = −1

On obtient le système suivant : { A + B = 1 et −A + 3B = −1

On fait la somme des deux équations, on obtient :

(A + B) + (−A + 3B) = 0  4B = 0 B = 0

et comme : A + B = 1 et on a B = 0. Alors : A = 1.

Donc, on aura

ƒ(x) = e−x

Exemple 12

Résoudre l’équation différentielle suivante : (E) : y″ + 2y′ + y = 0.

  • L’équation caractéristique : (E′) : r2 + 2r + 1 = 0. Cherchons ∆ :

= b2 − 4ac = 4 − 4 = 0

Donc, l’équation (E′) admet une racine r = −b/2a = − 1.

Donc, les solutions de l’équation (E) sont les fonctions : y(x) = (Ax + B)e−x, avec A et B deux réels.

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Devoir maison sur les nombres complexes et les équations différentielles

Exercice 1 (Les nombres complexes)

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2 − √2z + 1 = 0.
  2. On pose : a = √2/2 + √2/2i
    1. Écrire a sous la forme trigonométrique et en déduire que a2020 est nombre réel.
    2. Déduire les entiers naturel n tels que : an .
    3. Soit le nombre complexe b = cos π/8 + i sin π/8. Montrer que : b2 = a.
  3. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , v ), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a, b et c tels que : c = 1. La rotation R de centre O et d’angle π/8 transforme le point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′.
    1. Vérifier que : z′ = bz.
    2. Déterminer l’image de C par la rotation R et montrer que A est l’image de B par R.
    1. Montrer que : ∣a − b∣ = ∣b − c∣ et en déduire la nature du triangle ABC.
    2. Déterminer une mesure de l’angle (BA, BC).
  4. Soit T la translation de vecteur u et D l’image de A par T.
    1. Vérifier que l’affixe de D est b2 + 1.
    2. Montrer que : b2 +1/b = b + b et en déduire que les points O , B et D sont alignés.

Exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( O , u , j ). On note A, B et I les points du plan d’affixes respectives zA = 1 + i√3 , zB = 2i et zI = 1/2 + i√3 +2/2.

    1. Mettre les nombres complexes zA et zB sous la forme exponentielle.
    2. Vérifier que A et B sont deux points du cercle (C) de centre O et de rayon 2.
    3. Vérifier que I est le milieu du segment [AB] .
    4. Construire de manière rigoureuse le cercle (C) ainsi que les points A, B et I.
    1. Justifier que la demi-droite [OI) est la bissectrice de l’angle AOB.
    2. Vérifier que : (OA, OB) ≡ π/6 [].
    3. Montrer que : (u, OI) ≡ 5π/12 [].
    4. En déduire que : zI = √2+√3ei5π/12.
  1. Donner alors les valeurs exactes de cos(5π/12) et sin(5π/12).

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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