Cours complet sur le calcul d'intégrales

Cours complet sur le calcul d’intégrales

Cours complet sur le calcul d’intégrales (2ème année Bac / Terminale). Nous allons commencer cette leçon par l’intégrale d’une fonction continue sur un segment [a, b]comme première partie et ensuite, nous verrons les propriétés algébriques et puis il y a l‘inégalité et valeur moyenne, l’intégration par parties et l’intégrale et surface et en termine le cours par les calculs des volumes.

Intégrale d’une fonction continue sur segment [a, b](Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Définition et exemples (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Définition 1 ƒ est une fonction continue sur un segment [a, b] et F est une primitive de la fonction ƒ sur [a, b]. L’intégrale de la fonction ƒ entre a et b est le nombre réel : F(b) − F(a) tel que :

ba ƒ(x)dx = [F(x)]b a = F(b) − F(a)

Exemple 2 Calculer les intégrales suivantes :

  1. 2 -1 (x2 − 4x + 3)dx :

2 -1 (x2 − 4x + 3)dx = ⌈x3 /3 − 2x2 + 3x2 -1 = (23 /3 −2 × 22 + 3 × 2) − ((−1)3 /3 −2×(−1)2 +3×(−1)) = 6

2. 2 1 ln x/x dx :

2 1 ln x/x dx = ⌈(ln2x)/2⌉2 -1 = (ln22)/2 − (ln21)/2 = 1/2 ln22

3. π 0 sin xdx :

π 0 sin xdx = ⌈−cos xπ 0 = − cos π + cos 0 = 2

Propriétés algébriques (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Propriété 3 Soit ƒ une fonction continue sur une intervalle I alors :

  1. (∀aI), a a ƒ(x)dx = 0.
  2. Pour tous a, b et c de I tels que : a < b < c, on a :

ca ƒ(x)dx = ba ƒ(x)dx +bc ƒ(x)dx

Cette égalité s’appelle la relation de chasles

Exemple 4 Calculer l’intégrale suivante en utilisant la relation de chasles : 2-1x − 1dx.

2-1x − 1dx = 1-1x − 1dx + 21x − 1dx

= 1-1 −(x−1)dx + 21 x − 1dx

= (x2 )/2 − x1-1 + ⌈(x2 )/2 − x21

= 5/2

Propriété 5 Soit ƒ une fonction continue sur ⌈a, b⌉, alors :

ba ƒ(x)dx = ab ƒ(x)dx

Propriété 6 (Linéarité de l’intégrale )

Soit ƒ et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant a et b, alors pour tous les réels α et β, on a :

ba (αƒ + βg)(x)dx = α∫ba ƒ(x)dx + β∫ba g(x)dx

Exemple 7

Soit ƒ une fonction continue [0, 1] définie par : ƒ(x) = 5x2 − 3x. Calculer en utilisant la linéarité l’intégrale suivante : ∫10 ƒ(x)dx.

10 ƒ(x)dx =10 5x2 − 3xdx

= 510 x2dx − 310 xdx

= 5[x3/3]10 − 3[x2/2]10

= 5 × 1/3 − 3 × 1/2

= 1/6

Inégalité et valeur moyenne (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Propriété 8

Soit ƒ et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b].

  • Positivité

Si ƒ ≥ 0 sur [a, b] alors : ba ƒ(x)dx0.

  • Intégration d’une inégalité

Si ƒ ≤ g sur [a, b] alors : ba ƒ(x)dxba g(x)dx.

  • Inégalité de la moyenne.

(∃(m, M) ∈ 2)(∀x ∈ [a, b]) :

m(b − a) ≤ ba ƒ(x)dxM(b − a)

Démonstration 9

Démontrons chaque propriété.

  1. La fonction ƒ est continue sur [a, b], donc elle admet une primitive F sur [a, b] et on a :

ba ƒ(x)dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a)

et on sait que pour tout x ∈ [a, b] on a : F′(x) = ƒ(x) et comme ƒ(x) ≥ 0, alors F est croissante sur [a, b] . Donc :

a bF(a) ≤ F(b)

F(b) − F(a) ≥ 0

ba ƒ(x)dx 0

2. On pose : h = g − ƒ.

Pour tout x ∈ [a, b] on a : h(x) ≥ 0. Donc

ba h(x)dx ≥ 0 ⇒ ba g(x) − ƒ(x)dx 0 ba g(x)dxba ƒ(x)dx.

3. La fonction ƒ est continue sur [a, b]. Donc :

(∃(m, M) ∈ 2)(∀x ∈ [a, b]) :

m ≤ ƒ(x) ≤ M

ba mdx ba ƒ(x)dx ba Mdx

⇒ [mx]baba ƒ(x)dx ≤ [Mx]ba

m(b − a) ≤ ba ƒ(x)dxM(b − a)

Exemple 10

Encadrement de l’intégrale suivante : ∫90 1/1+√xdx :

On encadre la fonction x 1/1+√x sur [0, 9].

0 x9

0 √x3

11 + √x 4

1/4 1/1+√x 1

On applique ensuite l’inégalité de la moyenne :

9/4 ≤ ∫90 ƒ(x)dx9

La valeur moyenne d’une fonction (Cours complet sur le calcul d’intégrales)
Propriété 11

Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle [a, b]. La valeur moyenne de la fonction ƒ sur l’intervalle [a, b] est le réel m tel que :

m = 1/b−aba ƒ(x)dx

Exemple 12

Calculer la valeur moyenne de la fonction ƒ(x) = x3 sur l’intervalle [1, 3].

m = 1/b−aba ƒ(x)dx = 1/3+13−1 x3dx = 5

Intégration par partie (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Théorème 13

Soit u et v deux fonctions dérivables sur I telles que u′et v′ soient continues sur I . Alors :

ba u(x).v′(x)dx = [u(x).v(x)]ba − ∫ba u′(x).v(x)dx

Exemple 14

En utilisant une intégration par partie. Calculer les intégrales suivantes : ∫e1 xlnxdx , ∫π0 xsinxdx et ∫21 xexdx.

Calculons l’intégrale : ∫e1 xlnxdx :

On pose :

{ u(x) = lnx et v′(x) = x ⇒ { u′(x) = 1/x et v(x) = x2/2

Donc

e1 xlnxdx = [lnx.x2/2]e1 − ∫e1 x/2 dx

= e2/2 − 1/2e1 xdx

= e2/2 − 1/2[x2/2]e1

= e2/2 − e2/4 + 1/4

= e2+1/4

  • Calculons ensuite l’intégrale : ∫π0 xsinxdx

On pose :

{ u(x) = x et v′(x) = sin x ⇒ { u′(x) = 1 et v(x) = − cos x

Donc

π0 xsinxdx = [−xcosx]π0 + ∫π0 cos xdx

= π + [sinx]π0

= π

  • Calculons l’intégrale : ∫10 xexdx

On pose :

{ u(x) = x et v′(x) = ex ⇒ { u′(x) = 1 et v(x) = ex

Donc

10 xexdx = [xex]10 − ∫10 exdx

= e − [ex]10

= 1

Intégrale et surface

Propriété 15

Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle [a, b] l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe (Cƒ) et l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b est :

A = (∫ba ∣ƒ(x)∣dx).ua

avec ua : unité d’aire et ua =i ∥ × ∥ j ∥ .

Conclusion 16

Soit ƒ une fonction continue sur [a, b] et A l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe (Cƒ) et l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

  1. Si ƒ est une fonction positive sur [a, b] .

Donc

A = (∫ba ƒ(x)dx). ua

2. Si ƒ est une fonction négative sur [a, b] .

Donc

A = −(∫ba ƒ(x)dx). ua

3. Si la fonction ƒ est positive et négative sur [a, b] et il existe c sur [a, b] tel que : ƒ(c) = 0.

Donc

A = (∫ca ƒ(x)dx − ∫bc ƒ(x)dx).ua

Calculs des volumes

  • L’espace est muni d’un repère orthogonal ( O , i , j , k ).
  • (Cƒ) la courbe d’une fonction continue sur [a, b] avec (ab).
  • On suppose que (Cƒ) tourne au tour de l’axe des abscisses de 360° la forme obtenue s’appelle le solide de révolution.
  • Le solide de révolution obtenu à pour volume :
Propriété 17

L’espace est muni d’un repère orthogonal ( O , i , j , k ).

(Cƒ) la courbe d’une fonction continue sur [a, b] avec (ab). Le solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe (Cƒ) de la fonction ƒ sur [a, b] au tour de l’axe des abscisses de 360° son volume V est :

V = (∫ba π(ƒ(x))2dx). uv

avec ua : unité de volume. uv = ∥ i ∥ × ∥ j ∥ × ∥ k

Exemple 18

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O , i , j , k ), tel que : ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = ∥ k= 1cm

On considère la fonction ƒ(x) = x − 5 sur [−1, 2] et (Cƒ) sa courbe représentative dans le repère (O , i , j).

Le solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe (Cƒ) de la fonction ƒ sur [−1, 2] au tour de l’axe des abscisses de 360°.

On calcule V le volume du solide de révolution obtenu :

V =2−1 π(x − 5)2dx.i ∥ × ∥ j ∥ × ∥ k

= π2−1 (x − 5)2dx.cm3

Calculons l’intégrale : ∫2−1 (x − 5)2dx :

2−1 (x − 5)2dx = [(x − 5)3/3]2−1 = 63

donc, on obtient : V = 63πcm3.

Le volume du solide de révolution est : V = 63πcm3.

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Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Exercice 1
  1. Calculer les intégrales suivantes : I =21 x/x+1 dx et J =e1 ln2(x)/x dx.
  2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫π/20 cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
  3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
  4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (Cƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
    • Calculer l’aire en cm2 du domaine délimité par (Cƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.
Exercice 2
  • Résoudre dans l’ensemble l’équation (E) : z2 − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : zA = 2√3 − 2i et zB = 2√3 + 2i.

  1. a) Écrire zA et zB sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 []. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : zI = 2√3, puis en déduire que : zC = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [].

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Correction Devoir surveillé nombres complexes et le calcul d’intégrales (version 2)

Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales

Problème d’analyse 1

Pour tout entier naturel n ≥ 1 on pose :

In = 1/2n+1 n!10 (1 − t)n et/2 dt

  1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
  2. Démontrer que pour tout naturel n ≥1 on a : In+1 = In − 1/2n+1 (n + 1)!.
  3. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n ≥1 on a : √e = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2n . 1/n! + In.
  4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 0 ≤ In ≤ 1/2n n! A. On pourra déterminer A en majorant la fonction : t → ( 1 − t)n .et/2 sur l’intervalle [0, 1].
  5. En déduire la limite quand n tend vers +∞ de : un = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2n . 1/n!
Problème d’analyse 2

On pose, pour tout entier naturel n non nul :

In = 1/n!10 (1 − x)n e−x dx.

    1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I1.
    2. Prouver que pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ In ≤ 1/n!10 e−x dx. En déduire : limn→+∞ In.
    3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout naturel n non nul, on a : In+1 = 1/(n+1)! − In.
  1. On considère la suite réelle (an), définie sur * par a1 = 0 et, pour tout entier n non nul : an+1 = an + (−1)n+1/(n+1)!.
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul : an = 1/e + (−1)n In.
    2. En déduire : limn→ +∞an.

Problème d’analyse 3 Pour tout entier n de *, on considère l’intégrale :

In =e1 (ln x)n dx

    1. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 , e[ et pour tout entier naturel n, on a : (ln x)n − (ln x)n+1 > 0.
    2. En déduire que la suite (In) est décroissante.
    1. Calculer I1 à l’aide d’une intégration par parties.
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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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