Cours complet sur le calcul d’intégrales

Cours complet sur le calcul d’intégrales (2ème année Bac / Terminale). Nous allons commencer cette leçon par l’intégrale d’une fonction continue sur un segment [a, b] comme première partie et ensuite, nous verrons les propriétés algébriques et puis il y a l‘inégalité et valeur moyenne, l’intégration par parties et l’intégrale et surface et en termine le cours par les calculs des volumes.

Intégrale d’une fonction continue sur segment [a, b](Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Définition et exemples (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Définition 1 ƒ est une fonction continue sur un segment [a, b] et F est une primitive de la fonction ƒ sur [a, b]. L’intégrale de la fonction ƒ entre a et b est le nombre réel : F(b) − F(a) tel que :

∫^b_a ƒ(x)dx = [F(x)]^b _a = F(b) − F(a)

Exemple 2 Calculer les intégrales suivantes :

1. ∫² _-1 (x² − 4x + 3)dx :

∫² _-1 (x² − 4x + 3)dx = ⌈x³ /3 − 2x² + 3x ⌉² _-1 = (2³ /3 −2 × 2² + 3 × 2) − ((−1)³ /3 −2×(−1)² +3×(−1)) = 6

2. ∫² ₁ ln x/x dx :

∫² ₁ ln x/x dx = ⌈(ln²x)/2⌉² _-1 = (ln²2)/2 − (ln²1)/2 = 1/2 ln²2

3. ∫^π ₀ sin xdx :

∫^π ₀ sin xdx = ⌈−cos x⌉^π ₀ = − cos π + cos 0 = 2

Propriétés algébriques (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Propriété 3 Soit ƒ une fonction continue sur une intervalle I alors :

1. (∀a ∈ I), ∫^a _a ƒ(x)dx = 0.
2. Pour tous a, b et c de I tels que : a < b < c, on a :

∫^c_a ƒ(x)dx = ∫^b_a ƒ(x)dx + ∫^b_c ƒ(x)dx

Cette égalité s’appelle la relation de chasles

Exemple 4 Calculer l’intégrale suivante en utilisant la relation de chasles : ∫²_-1∣x − 1∣dx.

∫²_-1∣x − 1∣dx = ∫¹_-1 ∣x − 1∣dx + ∫²₁∣x − 1∣dx

= ∫¹_-1 −(x−1)dx + ∫²₁ x − 1dx

= −⌈(x² )/2 − x ⌉¹_-1 + ⌈(x² )/2 − x ⌉²₁

= 5/2

Propriété 5 Soit ƒ une fonction continue sur ⌈a, b⌉, alors :

∫^b_a ƒ(x)dx = − ∫^a_b ƒ(x)dx

Propriété 6 (Linéarité de l’intégrale )

Soit ƒ et g deux fonctions continues sur un intervalle I contenant a et b, alors pour tous les réels α et β, on a :

∫^b_a (αƒ + βg)(x)dx = α∫^b_a ƒ(x)dx + β∫^b_a g(x)dx

Exemple 7

Soit ƒ une fonction continue [0, 1] définie par : ƒ(x) = 5x² − 3x. Calculer en utilisant la linéarité l’intégrale suivante : ∫¹₀ ƒ(x)dx.

∫¹₀ ƒ(x)dx = ∫¹₀ 5x² − 3xdx

= 5∫¹₀ x²dx − 3∫¹₀ xdx

= 5[x³/3]¹₀ − 3[x²/2]¹₀

= 5 × 1/3 − 3 × 1/2

= 1/6

Inégalité et valeur moyenne (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Propriété 8

Soit ƒ et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b].

• Positivité

Si ƒ ≥ 0 sur [a, b] alors : ∫^b_a ƒ(x)dx ≥ 0.

• Intégration d’une inégalité

Si ƒ ≤ g sur [a, b] alors : ∫^b_a ƒ(x)dx ≤ ∫^b_a g(x)dx.

• Inégalité de la moyenne.

(∃(m, M) ∈ ℝ²)(∀x ∈ [a, b]) :

m(b − a) ≤ ∫^b_a ƒ(x)dx ≤ M(b − a)

Démonstration 9

Démontrons chaque propriété.

1. La fonction ƒ est continue sur [a, b], donc elle admet une primitive F sur [a, b] et on a :

∫^b_a ƒ(x)dx = [F(x)]^b_a = F(b) − F(a)

et on sait que pour tout x ∈ [a, b] on a : F′(x) = ƒ(x) et comme ƒ(x) ≥ 0, alors F est croissante sur [a, b] . Donc :

a ≤ b ⇒ F(a) ≤ F(b)

⇒ F(b) − F(a) ≥ 0

⇒ ∫^b_a ƒ(x)dx ≥ 0

2. On pose : h = g − ƒ.

Pour tout x ∈ [a, b] on a : h(x) ≥ 0. Donc

∫^b_a h(x)dx ≥ 0 ⇒ ∫^b_a g(x) − ƒ(x)dx ≥ 0 ⇒ ∫^b_a g(x)dx ≥ ∫^b_a ƒ(x)dx.

3. La fonction ƒ est continue sur [a, b]. Donc :

(∃(m, M) ∈ ℝ²)(∀x ∈ [a, b]) :

m ≤ ƒ(x) ≤ M

⇒ ∫^b_a mdx ≤ ∫^b_a ƒ(x)dx ≤ ∫^b_a Mdx

⇒ [mx]^b_a ≤ ∫^b_a ƒ(x)dx ≤ [Mx]^b_a

⇒ m(b − a) ≤ ∫^b_a ƒ(x)dx ≤ M(b − a)

Exemple 10

Encadrement de l’intégrale suivante : ∫⁹₀ 1/1+√xdx :

On encadre la fonction x → 1/1+√x sur [0, 9].

0 ≤ x ≤ 9

⇒ 0 ≤ √x ≤ 3

⇒ 1 ≤ 1 + √x ≤ 4

⇒ 1/4 ≤ 1/1+√x ≤ 1

On applique ensuite l’inégalité de la moyenne :

9/4 ≤ ∫⁹₀ ƒ(x)dx ≤ 9

La valeur moyenne d’une fonction (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Propriété 11

Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle [a, b]. La valeur moyenne de la fonction ƒ sur l’intervalle [a, b] est le réel m tel que :

m = 1/b−a∫^b_a ƒ(x)dx

Exemple 12

Calculer la valeur moyenne de la fonction ƒ(x) = x³ sur l’intervalle [−1, 3].

m = 1/b−a∫^b_a ƒ(x)dx = 1/3+1∫³₋₁ x³dx = 5

Intégration par partie (Cours complet sur le calcul d’intégrales)

Théorème 13

Soit u et v deux fonctions dérivables sur I telles que u′et v′ soient continues sur I . Alors :

∫^b_a u(x).v′(x)dx = [u(x).v(x)]^b_a − ∫^b_a u′(x).v(x)dx

Exemple 14

En utilisant une intégration par partie. Calculer les intégrales suivantes : ∫^e₁ xlnxdx , ∫^π₀ xsinxdx et ∫²₁ xe^xdx.

Calculons l’intégrale : ∫^e₁ xlnxdx :

On pose :

{ u(x) = lnx et v′(x) = x ⇒ { u′(x) = 1/x et v(x) = x²/2

Donc

∫^e₁ xlnxdx = [lnx.x²/2]^e₁ − ∫^e₁ x/2 dx

= e²/2 − 1/2∫^e₁ xdx

= e²/2 − 1/2[x²/2]^e₁

= e²/2 − e²/4 + 1/4

= e²+1/4

• Calculons ensuite l’intégrale : ∫^π₀ xsinxdx

On pose :

{ u(x) = x et v′(x) = sin x ⇒ { u′(x) = 1 et v(x) = − cos x

Donc

∫^π₀ xsinxdx = [−xcosx]^π₀ + ∫^π₀ cos xdx

= π + [sinx]^π₀

= π

• Calculons l’intégrale : ∫¹₀ xe^xdx

On pose :

{ u(x) = x et v′(x) = e^x ⇒ { u′(x) = 1 et v(x) = e^x

Donc

∫¹₀ xe^xdx = [xe^x]¹₀ − ∫¹₀ e^xdx

= e − [e^x]¹₀

= 1

Intégrale et surface

Propriété 15

Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle [a, b] l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe (C_ƒ) et l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b est :

A = (∫^b_a ∣ƒ(x)∣dx).ua

avec ua : unité d’aire et ua = ∥ i ∥ × ∥ j ∥ .

Conclusion 16

Soit ƒ une fonction continue sur [a, b] et A l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine situé entre la courbe (C_ƒ) et l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

1. Si ƒ est une fonction positive sur [a, b] .

Donc

A = (∫^b_a ƒ(x)dx). ua

2. Si ƒ est une fonction négative sur [a, b] .

Donc

A = −(∫^b_a ƒ(x)dx). ua

3. Si la fonction ƒ est positive et négative sur [a, b] et il existe c sur [a, b] tel que : ƒ(c) = 0.

Donc

A = (∫^c_a ƒ(x)dx − ∫^b_c ƒ(x)dx).ua

Calculs des volumes

• L’espace est muni d’un repère orthogonal ( O , i , j , k ).

• (C_ƒ) la courbe d’une fonction continue sur [a, b] avec (a ≺ b).

• On suppose que (C_ƒ) tourne au tour de l’axe des abscisses de 360° la forme obtenue s’appelle le solide de révolution.

• Le solide de révolution obtenu à pour volume :

Propriété 17

L’espace est muni d’un repère orthogonal ( O , i , j , k ).

(C_ƒ) la courbe d’une fonction continue sur [a, b] avec (a ≺ b). Le solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe (C_ƒ) de la fonction ƒ sur [a, b] au tour de l’axe des abscisses de 360° son volume V est :

V = (∫^b_a π(ƒ(x))²dx). uv

avec ua : unité de volume. uv = ∥ i ∥ × ∥ j ∥ × ∥ k ∥

Exemple 18

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O , i , j , k ), tel que : ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = ∥ k ∥ = 1cm

On considère la fonction ƒ(x) = x − 5 sur [−1, 2] et (C_ƒ) sa courbe représentative dans le repère (O , i , j).

Le solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe (C_ƒ) de la fonction ƒ sur [−1, 2] au tour de l’axe des abscisses de 360°.

On calcule V le volume du solide de révolution obtenu :

V = ∫²₋₁ π(x − 5)²dx. ∥ i ∥ × ∥ j ∥ × ∥ k ∥

= π∫²₋₁ (x − 5)²dx.cm³

Calculons l’intégrale : ∫²₋₁ (x − 5)²dx :

∫²₋₁ (x − 5)²dx = [(x − 5)³/3]²₋₁ = 63

donc, on obtient : V = 63πcm³.

Le volume du solide de révolution est : V = 63πcm³.

Cliquer ici pour télécharger cours complet sur le calcul d’intégrales en format pdf

Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégral

Exercice 1

1. Calculer les intégrales suivantes : I = ∫²₁ x/x+1 dx et J = ∫^e₁ ln²(x)/x dx.
2. En utilisant une intégration par partie, montrer que : ∫^π/2₀ cos x. ln(1 + cos x)dx = π/2 − 1.
3. Calculer la valeur moyenne de la fonction : ƒ(x) = cos 2x sur [0, π/4].
4. On considère la fonction ƒ définie par : ƒ(x) = x lnx . Et (C_ƒ) la courbe représentative de la fonction ƒ dans un repère orthonormé ( O , i , j ). (On prendra ∥ i ∥ = ∥ j ∥ = 1cm). On admet que la fonction ƒ est positive sur l’intervalle [1, e].
   • Calculer l’aire en cm² du domaine délimité par (C_ƒ), l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = e.

Exercice 2

• Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation (E) : z² − 4√3z + 16 = 0.

Dans le plan complexe (P) rapporté à un repère orthonormé ( O , u , v ), on considère les pointes A et B d’affixes respectifs : z_A = 2√3 − 2i et z_B = 2√3 + 2i.

1. a) Écrire z_A et z_B sous forme trigonométrique.

b) En déduire que : OA = OB et (OA, OB) ≡ π/3 [2π]. Puis en déduire la nature du triangle OAB.

2. Le point I est le milieu du segment [AB] et soit C l’image de I par l’homothétie h de centre O et de rapport k = 2.

a) Montrer que l’affixe de I est : z_I = 2√3, puis en déduire que : z_C = 4√3.

b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

c) Déduire que : (AC, AO) ≡ 2π/3 [2π].

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégrales terminale s pdf

Cliquer ici pour télécharger la correction

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur les nombres complexes et le calcul d’intégrales version 2 terminale s pdf

Correction Devoir surveillé nombres complexes et le calcul d’intégrales (version 2)

Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales

Problème d’analyse 1

Pour tout entier naturel n ≥ 1 on pose :

I_n = 1/2ⁿ⁺¹ n! ∫¹₀ (1 − t)ⁿ e^t/2 dt

1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁.
2. Démontrer que pour tout naturel n ≥1 on a : I_n+1 = I_n − 1/2ⁿ⁺¹ (n + 1)!.
3. En déduire par récurrence que pour tout entier naturel n ≥1 on a : √e = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2ⁿ . 1/n! + I_n.
4. Montrer que l’on peut trouver une constante A telle que : 0 ≤ I_n ≤ 1/2ⁿ n! A. On pourra déterminer A en majorant la fonction : t → ( 1 − t)ⁿ .e^t/2 sur l’intervalle [0, 1].
5. En déduire la limite quand n tend vers +∞ de : u_n = 1 + 1/2 . 1/1! + … + 1/2ⁿ . 1/n!

Problème d’analyse 2

On pose, pour tout entier naturel n non nul :

I_n = 1/n!∫¹₀ (1 − x)ⁿ e^−x dx.

1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁.
2. Prouver que pour tout entier naturel n non nul : 0 ≤ I_n ≤ 1/n!∫¹₀ e^−x dx. En déduire : lim_n→+∞ I_n.
3. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour tout naturel n non nul, on a : I_n+1 = 1/(n+1)! − I_n.

Problème d’analyse 3 Pour tout entier n de ℕ*, on considère l’intégrale :

I_n = ∫^e₁ (ln x)ⁿ dx

1. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1 , e[ et pour tout entier naturel n, on a : (ln x)ⁿ − (ln x)ⁿ⁺¹ > 0.
2. En déduire que la suite (I_n) est décroissante.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur le calcul d’intégrales terminale s pdf

Vous pouvez aussi consulter :

• Exercices corrigés sur les intégrales
• Exercices corrigés – Calcul exact d’intégrales sur Bibmath