Cours fonction logarithme népérien. C’est une leçon complète et claire sur la fonction logarithme – 2ème année bac – terminale
1. Fonction logarithme népérien (Cours fonction logarithme népérien)
Définition 1
La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction x→ 1/x sur l’intervalle ]0, +∞[ qui s’annule en 1 et notée ln est la fonction
ln ]0, +∞[ → ℝ
x → ln x
Conséquences
- Dln = ]0, +∞[
- (∀x ∈ ]0, +∞[), ln′x = 1/x. Donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.
2. Propriétés (Cours fonction logarithme népérien)
Propriété 2
- Dln = ]0, +∞[
- (∀x ∈ ]0, +∞[), ln′x = 1/x. Donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.
- (∀x ∈ ]0, +∞[); (∀y ∈ ]0, +∞[), ln x = ln y ⇔ x = y
- (∀x ∈ ]0, +∞[); (∀y ∈ ]0, +∞[), ln x > ln y ⇔ x > y
- (∀x ∈ ]0, +∞[); (∀y ∈ ]0, +∞[), ln x ≤ ln y ⇔ x ≤ y
- ln 1 = 0
Propriété 3
L’équation ln x = 1 possède une solution unique dans ]0, +∞[, cette solution est notée e et une valeur approchée de e est 2,718. Alors ln e = 1.
Conséquences :
(∀x ∈ ]0, +∞[); (∀a ∈ ℝ), ln x = a ⇔ x = ea
Pour tous réels x et y strictement positifs, et r ∈ ℚ. On a :
- ln(x × y) = ln x + ln y
- ln 1/x = − ln x
- ln x/y = ln x − ln y
- ln xr = rln x
Exemple 4
Simplifier les deux expressions suivantes :
A = ln(3 − √5) + ln(3 + √5)
B = 3ln 2 + ln 5 − 2ln 3
- L’expression A :
A = ln(3 − √5) + ln(3 + √5)
= ln(3 − √5)(3 + √5)
= ln(9 − 5)
= ln 4 = 2ln 2
- L’expression B :
B = 3ln 2 + ln 5 − 2ln 3
= ln 23 + ln 5 − ln 32
= ln 8 + ln 5 − ln 9
= ln 40 − ln 9
= ln 40/9
3. Limites usuelles (Cours fonction logarithme népérien)
- limx→+∞ ln x = +∞
- limx→0x>0 ln x = − ∞
- limx→+∞ lnx/x = 0
- limx→+∞ lnx/xn = 0 ; n ∈ ℕ*
- limx→0x>0 xln x = 0
- limx→0x>0 xnln x = 0 ; n ∈ ℕ*
- limx→1 ln x/x −1 = 1
- limx→0 ln(1 + x)/x = 1
Exemple 5
Calculer les limites suivantes :
limx→+∞ x − ln x , limx→+∞ ln x/x−1 et limx→−1+ ln(3−2x/x+1).
- La limite : limx→+∞ x − ln x
limx→+∞ x − ln x = +∞ − ∞ (F.I)
Donc
limx→+∞ x − ln x = limx→+∞ x(1 − lnx/x) = +∞
Car : limx→+∞ 1 − lnx/x = 1
- La limite : limx→+∞ lnx/x−1.
limx→+∞ lnx/x−1 = +∞/+∞ (F.I)
Donc
limx→+∞ lnx/x−1 = limx→+∞ lnx/x(1 − 1/x) = limx→+∞ lnx/x × 1/1−1/x = 0
Car : limx→+∞ lnx/x = 0 et limx→+∞ 1/1−1/x = 1
- La limite : limx→−1+ ln(3−2x/x+1)
On a : limx→−1+ 3 − 2x = 5 et limx→−1+ x + 1 = 0+. Donc :
limx→−1+ ln(3−2x/x+1) = +∞
4. Fonction de la forme ln u (Cours fonction logarithme népérien)
Propriété 6
Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I et si u est dérivable sur I. Alors la fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I, et on a :
∀x ∈ I, (ln(u(x)))′ = u′(x)/u(x)
Propriété 7
Les fonctions primitives de la fonction x → u′(x)/u(x) sont : x → ln∣u(x)∣ + k (k ∈ ℝ).
Exemple 8
Soit ƒ la fonction définie sur ]1, +∞[, par :
ƒ(x) = ln(x − 1)
Montrer que la fonction ƒ est dérivable sur ]1, +∞[ puis calculer sa fonction dérivée ƒ′.
On pose u la fonction définie par : u : x → x − 1.
- u est dérivable sur ℝ et surtout sur ]1, +∞[ car c’est une fonction polynôme, et pour tout x ∈ ]1, +∞[ , on a : u(x) ≻ 0. Ce qui signifie que la fonction ƒ est dérivable sur ]1, +∞[ .
Soit x ∈ ]1, +∞[ . Calculons u′(x) :
ƒ′(x) = (ln(x − 1))′
= (x − 1)′/(x − 1)
= 1/x−1
5. L’étude de la fonction ln
Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[, par :
ƒ(x) = ln x
On note (Cƒ) la courbe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O, i , j ).
- On a
limx→+∞ ƒ(x) = limx→+∞ ln x = +∞ et limx→+∞ ƒ(x)/x = 0
Donc (Cƒ) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage +∞.
et : limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ ln x = −∞. Donc (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.
- Tableau de variations de la fonction ƒ sur ]0, +∞[ .
La fonction ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[ et on a ln 1 = 0 et ln e = 1.
La courbe représentative de la fonction ƒ
- Le signe de la fonction ƒ sur ]0, +∞[ .
La fonction ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[ . alors :
x ∈ ]0, 1] ⇔ 0 ≺ x ≼ 1
⇔ ƒ(x) ≼ ƒ(1)
⇔ ƒ(x) ≼ 0.
et
x ∈ [1, +∞[ ⇔ x ≥ 1
⇔ ƒ(x) ≥ ƒ(1)
⇔ ƒ(x) ≥ 0.
Ceci signifie que la fonction ƒ est positive sur [1, +∞[ et négative sur ]0, 1]. Donc
Exemple 9
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :
g(x) = x − 1 − ln x
- Calculer g′(x) pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[ puis étudier le sens de variations de la fonction g.
- En déduire que : g(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ]0, +∞[.
Justifions la dérivabilité de la fonction g sur ]0, +∞[.
La fonction g s’écrit comme la différence de deux fonctions u et v telles que : u(x) = x − 1 et v(x) = ln x.
* u est une fonction polynôme dérivable sur ℝ, et surtout sur ]0, +∞[ .
* v est dérivable sur ]0, +∞[ .
Donc, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la différence de deux fonctions dérivables sur ]0, +∞[ . Calculons g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[ .
g′(x) = (x − 1 − ln x)′
= 1 − 1/x
= x − 1/x
comme x ≻ 0, alors le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 1, et comme l’expression x − 1 s’annule en 1. Alors :
Ceci implique que :
(∀x ∈ ]0, 1]), g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [1, +∞[), g′(x) ≥ 0
Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[ . Donc, on déduit le tableau de variations suivant :
limx→+∞ g(x) = +∞ et limx→0+ g(x) = +∞.
- D’après le tableau de variations on déduit que la fonction g admet 0 comme valeur minimale en point d’abscisse 1 sur ]0, +∞[ . Ceci signifie que pour tout x de ]0, +∞[ on a : g(x) ≥ g(1). et comme g(1) = 0, alors :
∀x ∈ ]0, +∞[ , g(x) ≥ 0
6. Fonction logarithme de base α ∈ ℝ*+∖ {1}
Définition 10
La fonction logarithme de base a est la fonction définie par :
∀x ∈ ]0, +∞[, loga(x) = ln x/ln a
Cas particuliers
loge(x) = ln x/ln e = ln x et loge(1) = 0
6.1 Propriétés
Pour tous réels x et y strictement positifs, et r ∈ ℚ, on a :
- loga(x × y) = loga(x) + loga(y)
- loga(xr) = rloga(x)
- loga(1/x) = −loga(x)
- loga(x/y) = loga(x) − loga(y)
Propriété 11
Pour tous réels x et y strictement positifs, et r ∈ ℚ, on a :
- loga(x) = loga(y) ⇔ x = y
- loga(x) = r ⇔ x = ar
6.2 Les variations de la fonction logα
Propriété 12
La fonction loga est dérivable sur ]0, +∞[ , et on a
∀x ∈ ]0, +∞[ , log′a(x) = 1/xln a
Cas 1
Si : 0 ≺ a ≺ 1, alors la fonction loga est strictement décroissante sur ]0, +∞[.
Cas 2
Si : a ≻ 1, alors la fonction loga est strictement croissante sur ]0, +∞[.
Propriété 13
Si : a ∈ ]0, 1[
- loga(x) ≻ loga(y) ⇔ x ≺ y
- limx→+∞ loga(x) = −∞ et limx→0+ loga(x) = +∞
Propriété 14
Si : a ∈ ]1, +∞[
- loga(x) ≻ loga(y) ⇔ x ≻ y
- limx→+∞ loga(x) = +∞ et limx→0+ loga(x) = −∞
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