Cours fonction logarithme népérien

Cours fonction logarithme népérien. C’est une leçon complète et claire sur la fonction logarithme – 2ème année bac – terminale

1. Fonction logarithme népérien (Cours fonction logarithme népérien)

Définition 1

La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction x→ 1/x sur l’intervalle  ]0, +∞[ qui s’annule en 1 et notée ln est la fonction

ln ]0, +∞[  →  ℝ

x →  ln x

Conséquences

1. D_ln = ]0, +∞[
2. (∀x ∈ ]0, +∞[), ln′x = 1/x. Donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.

2. Propriétés (Cours fonction logarithme népérien)

Propriété 2

1. D_ln = ]0, +∞[
2. (∀x ∈ ]0, +∞[), ln′x = 1/x. Donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.
3. (∀x ∈ ]0, +∞[); (∀y ∈ ]0, +∞[), ln x = ln y ⇔  x = y
4. (∀x ∈ ]0, +∞[); (∀y ∈ ]0, +∞[), ln x > ln y ⇔  x > y
5. (∀x ∈ ]0, +∞[); (∀y ∈ ]0, +∞[), ln x ≤ ln y ⇔  x ≤ y
6. ln 1 = 0

Propriété 3

L’équation ln x = 1 possède une solution unique dans ]0, +∞[, cette solution est notée e et une valeur approchée de e est 2,718. Alors ln e = 1.

Conséquences :

(∀x ∈ ]0, +∞[); (∀a ∈ ℝ), ln x = a ⇔ x = e^a

Pour tous réels x et y strictement positifs, et r ∈ ℚ. On a :

1. ln(x × y) = ln x + ln y
2. ln 1/x = − ln x
3. ln x/y = ln x − ln y
4. ln x^r = rln x

Exemple 4

Simplifier les deux expressions suivantes :

A = ln(3 − √5) + ln(3 + √5)

B = 3ln 2 + ln 5 − 2ln 3

• L’expression A :

A = ln(3 − √5) + ln(3 + √5)

= ln(3 − √5)(3 + √5)

= ln(9 − 5)

= ln 4 = 2ln 2

• L’expression B :

B = 3ln 2 + ln 5 − 2ln 3

= ln 2³ + ln 5 − ln 3²

= ln 8 + ln 5 − ln 9

= ln 40 − ln 9

= ln 40/9

3. Limites usuelles (Cours fonction logarithme népérien)

1. lim_x→+∞ ln x = +∞
2. lim_x→0x>0 ln x = − ∞
3. lim_x→+∞ lnx/x = 0
4. lim_x→+∞ lnx/xⁿ = 0 ; n ∈ ℕ*
5. lim_x→0x>0 xln x = 0
6. lim_x→0x>0 xⁿln x = 0 ; n ∈ ℕ*
7. lim_x→1 ln x/x −1 = 1
8. lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1

Exemple 5

Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ x − ln x , lim_x→+∞ ln x/x−1 et lim_x→−1⁺ ln(3−2x/x+1).

• La limite : lim_x→+∞ x − ln x

lim_x→+∞ x − ln x = +∞ − ∞ (F.I)

Donc

lim_x→+∞ x − ln x = lim_x→+∞ x(1 − lnx/x) = +∞

Car : lim_x→+∞ 1 − lnx/x = 1

• La limite : lim_x→+∞ lnx/x−1.

lim_x→+∞ lnx/x−1 = +∞/+∞ (F.I)

Donc

lim_x→+∞ lnx/x−1 = lim_x→+∞ lnx/x(1 − 1/x) = lim_x→+∞ lnx/x × 1/1−1/x = 0

Car : lim_x→+∞ lnx/x = 0 et lim_x→+∞ 1/1−1/x = 1

• La limite : lim_x→−1⁺ ln(3−2x/x+1)

On a : lim_x→−1⁺ 3 − 2x = 5 et lim_x→−1⁺ x + 1 = 0⁺. Donc :

lim_x→−1⁺ ln(3−2x/x+1) = +∞

4. Fonction de la forme ln u (Cours fonction logarithme népérien)

Propriété 6

Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I et si u est dérivable sur I. Alors la fonction x → ln(u(x)) est dérivable sur I, et on a :

∀x ∈ I, (ln(u(x)))′ = u′(x)/u(x)

Propriété 7

Les fonctions primitives de la fonction x → u′(x)/u(x) sont : x → ln∣u(x)∣ + k (k ∈ ℝ).

Exemple 8 

Soit ƒ la fonction définie sur ]1, +∞[, par :

ƒ(x) = ln(x − 1)

Montrer que la fonction ƒ est dérivable sur ]1, +∞[ puis calculer sa fonction dérivée ƒ′.

On pose u la fonction définie par : u : x → x − 1.

• u est dérivable sur ℝ et surtout sur ]1, +∞[ car c’est une fonction polynôme, et pour tout x ∈ ]1, +∞[ , on a : u(x) ≻ 0. Ce qui signifie que la fonction ƒ est dérivable sur ]1, +∞[ .

Soit x ∈ ]1, +∞[ . Calculons u′(x) :

ƒ′(x) = (ln(x − 1))′

= (x − 1)′/(x − 1)

= 1/x−1

5. L’étude de la fonction ln

Soit ƒ la fonction définie sur ]0, +∞[, par :

ƒ(x) = ln x

On note (C_ƒ) la courbe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé (O, i , j ).

• On a

lim_x→+∞ ƒ(x) = lim_x→+∞ ln x = +∞  et lim_x→+∞ ƒ(x)/x = 0

Donc (C_ƒ) admet une branche parabolique de direction l’axe des abscisses au voisinage +∞.

et : lim_x→0⁺ ƒ(x) = lim_x→0⁺ ln x = −∞. Donc (C_ƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

• Tableau de variations de la fonction ƒ sur ]0, +∞[ .

La fonction ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[ et on a ln 1 = 0 et ln e = 1.

La courbe représentative de la fonction ƒ

• Le signe de la fonction ƒ sur ]0, +∞[ .

La fonction ƒ est strictement croissante sur ]0, +∞[ . alors :

x ∈ ]0, 1] ⇔  0 ≺ x ≼ 1

⇔ ƒ(x) ≼ ƒ(1)

⇔ ƒ(x) ≼ 0.

et

x ∈ [1, +∞[ ⇔  x ≥ 1

⇔ ƒ(x) ≥ ƒ(1)

⇔ ƒ(x) ≥ 0.

Ceci signifie que la fonction ƒ est positive sur [1, +∞[ et négative sur ]0, 1]. Donc

Exemple 9  

On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0, +∞[ par :

g(x) = x − 1 − ln x

1. Calculer g′(x) pour tout x de l’intervalle ]0, +∞[ puis étudier le sens de variations de la fonction g.
2. En déduire que : g(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ]0, +∞[.

Justifions la dérivabilité de la fonction g sur ]0, +∞[.

La fonction g s’écrit comme la différence de deux fonctions u et v telles que : u(x) = x − 1 et v(x) = ln x.

* u est une fonction polynôme dérivable sur ℝ, et surtout sur ]0, +∞[ .

* v est dérivable sur ]0, +∞[ .

Donc, la fonction g est dérivable sur ]0, +∞[ comme la différence de deux fonctions dérivables sur ]0, +∞[ . Calculons g′(x) pour tout x ∈ ]0, +∞[ .

g′(x) = (x − 1 − ln x)′

= 1 − 1/x

= x − 1/x

comme x ≻ 0, alors le signe de g′(x) sur ]0, +∞[ est celui de x − 1, et comme l’expression x − 1 s’annule en 1. Alors :

Ceci implique que :

(∀x ∈ ]0, 1]), g′(x) ≤ 0 et (∀x ∈ [1, +∞[), g′(x) ≥ 0

Ce qui signifie que la fonction g est décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[ . Donc, on déduit le tableau de variations suivant :

lim_x→+∞ g(x) = +∞ et lim_x→0⁺ g(x) = +∞.

• D’après le tableau de variations on déduit que la fonction g admet 0 comme valeur minimale en point d’abscisse 1 sur ]0, +∞[ . Ceci signifie que pour tout x de ]0, +∞[ on a : g(x) ≥ g(1). et comme g(1) = 0, alors :

∀x ∈ ]0, +∞[ , g(x) ≥ 0

6. Fonction logarithme de base α ∈ ℝ*₊∖ {1}

Définition 10

La fonction logarithme de base a est la fonction définie par :

∀x ∈ ]0, +∞[, log_a(x) = ln x/ln a

Cas particuliers

log_e(x) = ln x/ln e = ln x et log_e(1) = 0

6.1 Propriétés

Pour tous réels x et y strictement positifs, et r ∈ ℚ, on a :

1. log_a(x × y) = log_a(x) + log_a(y)
2. log_a(x^r) = rlog_a(x)
3. log_a(1/x) = −log_a(x)
4. log_a(x/y) = log_a(x) − log_a(y)

Propriété 11

Pour tous réels x et y strictement positifs, et r ∈ ℚ, on a :

1. log_a(x) = log_a(y) ⇔ x = y
2. log_a(x) = r ⇔ x = a^r 

6.2 Les variations de la fonction log_α

Propriété 12

La fonction log_a est dérivable sur ]0, +∞[ , et on a

∀x ∈ ]0, +∞[ , log′_a(x) = 1/xln a

Cas 1

Si : 0 ≺ a ≺ 1, alors la fonction log_a est strictement décroissante sur ]0, +∞[.

Cas 2

Si : a ≻ 1, alors la fonction log_a est strictement croissante sur ]0, +∞[.

Propriété 13

Si : a ∈ ]0, 1[

1. log_a(x) ≻ log_a(y) ⇔ x ≺ y
2. lim_x→+∞ log_a(x) = −∞  et lim_x→0⁺ log_a(x) = +∞

Propriété 14

Si : a ∈ ]1, +∞[

1. log_a(x) ≻ log_a(y) ⇔ x ≻ y
2. lim_x→+∞ log_a(x) = +∞ et lim_x→0⁺ log_a(x) = −∞

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• Cours complet et bien détaillé sur les fonctions primitives
• La fonction logarithme népérien cours sur Kartable