La dérivation dans R cours bac

La dérivabilité 2 bac cours

La dérivabilité 2 bac cours. Cours complet sur la dérivation dans R (2éme année Bac / Terminale)

1 Dérivabilité d’une fonction en un point x0 – dérivabilité à droite et à gauche en un point x0 (La dérivabilité 2 bac cours)

1.1 Dérivabilité (La dérivabilité 2 bac cours)

Définition 1 Soit une fonction ƒ tel que son domaine de définition contient un intervalle ouvert I et x0 ∈ I.

  1. ƒ est dérivable au point x0 si et seulement si limx→ x0 ƒ(x) − ƒ(x0 )/x − x0 = L . ( L = ƒ’(x0 ) s’appelle le nombre dérivé de ƒ en x0).
  2. ƒ est dérivable à droite de x0 si et seulement si limx→ x0+ ƒ(x) − ƒ(x0 )/x − x0 = L ℝ. (L = ƒ’d (x0) s’appelle le nombre dérivé à droite de ƒ en x0).
  3. ƒ est dérivable à gauche de x0 si et seulement si limx→ x0 ƒ(x) − ƒ(x0 )/x − x0 = L . (L = ƒ’g(x0) s’appelle le nombre dérivé à gauche de ƒ en x0).

Proposition 2 Soit ƒ une fonction définie sur I .

ƒ est dérivable au point x0 si et seulement si ƒ est dérivable à droite et à gauche en x0 et ƒ’d (x0) = ƒ’g(x0).

Autrement dit

ƒ est dérivable en x0 ⇔  limx→ x0+ ƒ(x) − ƒ(x0 )/x − x0 = limx→ x0 ƒ(x) − ƒ(x0 )/x − x0

1.2 Interprétation géométrique des nombres dérivés ƒ'(x0 ), ƒ’d (x0) et ƒ’g(x0). (La dérivabilité 2 bac cours)

1.2.1 Interprétation géométrique du nombre dérivée ƒ'(x0 )

Définition 3 Si ƒ est une fonction dérivable au point x0 alors l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cƒ) de ƒ au point A(x0 , ƒ(x0)) est

(T) : y = ƒ′(x0)(x − x0) + ƒ(x0)

Exemple 4

Trouver l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cƒ) de ƒ au point A(1, ƒ(1)) avec ƒ(x) = 2x2.

1.3 Interprétation géométrique des nombres dérivés ƒ′d(x0) et ƒ′g(x0). (La dérivabilité 2 bac cours)

Propriété 5

  1. Si ƒ est dérivable à droite de x0 alors (Cƒ) admet une demi-tangente au point A(x0, ƒ(x0)) d’équation :

(Td) : {y = ƒ′d(x0)(x − x0) + ƒ(x0) et xx0

2. Si ƒ est dérivable à gauche de x0 alors (Cƒ) admet une demi-tangente au point A(x0, ƒ(x0)) d’équation :

(Tg) : {y = ƒ′g(x0)(x − x0) + ƒ(x0) et x x0

3. Si ƒ′d(x0) ≠ ƒ′g(x0) donc ƒ n’est pas dérivable en x0 et le point A(x0, ƒ(x0)) est appelé point anguleux.

Exemple 6

Soit ƒ la fonction définie sur * par :

{ƒ(x) = −x + 2/x , x ∈ ]−∞ , 0[ ∪ ]0 , 1[ et ƒ(x) = 1+x/2√x , x ∈ [1, +∞[  

étudier la dérivabilité de la fonction ƒ en 1, puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.

Remarque 7 (Cas particuliers).

  1. Si ƒ n’est pas dérivable à droite de x0, (c-à-d : limx→x0+ ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = +∞) on a une demi-tangente à droite de x0 vers le haut.
  2. Si ƒ n’est pas dérivable à droite de x0, (c-à-d : limx→x0+ ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = −∞) on a une demi-tangente à droite de x0 vers le bas.
  3. Si ƒ n’est pas dérivable à gauche de x0, (c-à-d : limx→x0 ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = +∞) on a une demi-tangente à droite de x0 vers le bas.
  4. Si ƒ n’est pas dérivable à gauche de x0, (c-à-d : limx→x0 ƒ(x)−ƒ(x0)/x−x0 = +∞) on a une demi-tangente à droite de x0 vers le haut.

Exemple 8

Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ en x0, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

ƒ(x) = (x − 1)√1−x2; x0 = 1

2. Dérivabilité sur un intervalle (La dérivabilité 2 bac cours)

Propriété 9

ƒ est dérivable sur l’intervalle [a, b] si et seulement si :

  1. ƒ est dérivable en tout point x0 de ]a, b[.
  2. ƒ est dérivable à gauche de b et à droite de a.

Propriété 10 (Résultats importantes)

  1. Tout fonction polynôme est dérivable sur .
  2. Tout fonction rationnelle ƒ est dérivable sur son domaine de définition Dƒ.
  3. Les fonctions x → sin x et x → cos x sont dérivables sur
  4. La fonction x → tan x est dérivable sur ∖ {π/2 + kπ, k }.
  5. La fonction x → 1/x est dérivable sur *.
  6. La fonction x → √x est dérivable sur ]0 , +∞[.

Propriété 11  

Soient ƒ et g deux fonctions dérivables sur l’ouvert I.

  1. Les fonctions ƒ + g , ƒ × g et αƒ tel que α, sont dérivables sur I.
  2. Si la fonction g est non nulle sur I, alors ƒ/g est dérivable sur I.

2. 1 Les opérations sur les fonctions dérivables

Propriété 12

Soient ƒ et g deux fonctions dérivables sur I, on a :

  1. La fonction ƒ + g est dérivable sur I et : (f + g)′(x) = f′(x) + g′(x).
  2. La fonction αƒ est dérivable sur I et : (αf)′(x) = αf′(x) avec α.
  3. La fonction ƒ × g est dérivable sur I et : (f × g)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x).
  4. Si la fonction g ne s’annule pas sur I , alors la fonction 1/g est dérivable sur I, et : (1/g)′(x) = −g′(x)/g2(x) .
  5. Si la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction ƒ/g est dérivable sur I, et :(ƒ/g)′(x) = ƒ′(x)g(x)− ƒ(x)g′(x)/g2(x).
  6. La fonction ƒn avec n* est dérivable sur I, et on a : (fn)′(x) = nfn−1(x)f′(x).
  7. Si ƒ(x) ≻ 0 pour tout xI, alors : √ƒ(x)′ = ƒ′(x)/2√ƒ(x).

Exemple 13

Justifier dans chaque cas la dérivabilité de la fonction ƒ sur I , puis calculer ƒ′(x).

  1. ƒ(x) = √x2+1/x, I = ]0 , +∞[
  2. g(x) = 2x+3/(3x−1)2, I = ]1/3 , +∞[
  3. h(x) = (x2 + x + 1)4√2x+3, I = ]−3/2 , +∞[

Propriété 14

Toute fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, elle est continue sur I.

3. Dérivabilité de la fonction composée

Théorème 15

Soit ƒ une fonction dérivable sur l’intervalle ouvert I, et g une fonction dérivable sur l’intervalle J telle que ƒ(I) ⊂ J, alors g o ƒ est dérivable sur I , et on a

x I, (g o ƒ)′(x) = g′(ƒ(x)) × ƒ′(x)

Exemple 16

Calculer la dérivée de la fonction ƒ :

ƒ(x) = sin(x2 − 2x − 3)

Corollaire 17 (Conséquences)

  1. (sin(ax + b))′ = acos(ax + b), pour tout x.
  2. (cos(ax + b))′ = −asin(ax + b), pour tout x.
  3. (tan(ax + b))′ = a/cos2(ax+b) avec ax + b ≠ π/2 + kπ; k.

4. Dérivabilité de la fonction racine n-éme

Propriété 18

Soit u une fonction dérivable sur l’intervalle ouvert I et strictement positif sur I, alors la fonction x → n√u est dérivable sur I, et en a

x I, (n√u(x))′ = u′(x)/n(n√u(x))n−1

Exemple 19

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = 5√x2+1

Montrer que la fonction ƒ est dérivable sur , puis calculer ƒ′(x).

5. Dérivabilité de la fonction réciproque

Théorème 20

Soit ƒ une fonction continue et strictement monotone sur I et J = ƒ(I), ƒ−1 est la fonction réciproque de la fonction ƒ.

{ xI et y = ƒ(x) ⇔  { yJ et x = ƒ−1(y)

Si ƒ est dérivable en un point x0 de I et si ƒ′(x0) ≠ 0, alors ƒ−1 est dérivable au point y0 = ƒ(x0) et on a :

−1)′(y0) = 1/ƒ′(ƒ−1(y0))

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Complément sur la dérivation dans l’ensemble des réels (La dérivabilité 2 bac cours)

Applications de la dérivation

Dérivée nulle sur un intervalle

Théorème 1

Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors,

ƒ est constante sur I ⇔  ∀x I , ƒ′(x) = 0

Monotonie et signe de la dérivée

Théorème 2

Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de . Alors :

  • ƒ est croissante (resp. décroissante) sur I , si et seulement si, ƒ′(x) ≥ 0 (resp. ƒ′(x) ≤ 0) pour tout x I.
  • Si pour tout xI , ƒ′(x) ≥ 0 et ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors ƒ est strictement croissante sur I.
  • Si pour tout xI , ƒ′(x) ≤ 0 et ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors ƒ est strictement décroissante sur I.
  • En particulier, si ƒ′ est strictement positive sur I , alors ƒ est strictement croissante sur I . (On dispose bien sûr d’un résultat analogue sur les fonctions décroissantes).

Exemple 3

On considère la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = x3

La fonction ƒ est dérivable sur .

Pour tout x,

ƒ′(x) = 3x2

On a pour tout x de , ƒ′(x) ≥ 0 et comme ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors la fonction ƒ est strictement croissante sur .

Méthode : Étudier les variations d’une fonctions.

  • On justifier que la fonction est bien dérivable ;
  • On calcule la dérivée de la fonction ;
  • On détermine le signe de la dérivée avant de conclure ;

Exemple 4

Soit ƒ la fonction définie sur par :

ƒ(x) = 2x3 − 15x2 + 36x + 7

Étudier les variations de la fonction ƒ.

  • La fonction ƒ est dérivable sur en tant que polynôme.

Pour tout x,

ƒ′(x) = 6x2 − 30x + 36

étudions le signe de ce polynôme de degré 2. Son discriminant vaut donc ∆ = (−30)2 − 4 × 6 × 36 = 36.

L’équation : 6x2 − 30x + 36 = 0 admet donc deux racine réelles distinctes qui sont :

x1 = −b+√∆/2a = 30−√36/2×6 = 2 et x2 = −b−√∆/2a = 30+√36/2×6 = 3

On en déduit le tableau de signe de ƒ′ et le tableau de variation de ƒ :

Extremum d’une fonction

Rappel

Définition 5

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle I et a un élément de I.

  1. On dit que ƒ(a) est une valeur maximale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x I.
  2. On dit que ƒ(b) est une valeur minimale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≥ ƒ(b) pour tout xI.
  3. On dit aussi que m est un extremum de ƒ si c’est un maximum ou minimum.

Extremum local

Définition 6

Soit ƒ : I →  une fonction définie sur un intervalle I.

  • On dit que ƒ admet un maximum local en x0 (resp. un minimum local en x0) s’il existe un intervalle ouvert J contenant x0 tel que pour tout x de I J, ƒ(x) ≤ ƒ(x0) (resp. ƒ(x) ≥ ƒ(x0)).
  • On dit que ƒ admet un extremum local en x0 si ƒ admet un maximum local ou minimum local en ce point.

Théorème 7

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0I. Si ƒ est dérivable en x0 et si ƒ présente un extremum local en x0, alors ƒ′(x0) = 0.

Convexité

Dérivée seconde

Définition 8

Soit une fonction ƒ deux fois dérivable sur I. On appelle dérivée seconde de ƒ , notée ƒ″, la fonction dérivée de ƒ′ : (ƒ′)′= ƒ″ .

Exemple 9

Soit la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = 2x3 + 5x2 − 3x − 1

La fonction ƒ est deux fois dérivables sur .

x, ƒ″(x) = 12x + 10

Propriété 10

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I.

  • ƒ est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x I, ƒ″(x) ≥ 0.
  • ƒ est concave sur I si, et seulement si, pour tout x I, ƒ″(x) ≤ 0.

Exemple 11

Reprenons : ƒ(x) = 2x3 + 5x2 − 3x − 1, on a : ƒ″(x) = 12x + 10.

  • ƒ″(x) = 0 ⇔ 12x + 10 = 0 x = −5/6. Donc
  • Sur ]−∞  , −5/6] on a ƒ″≤ 0. Donc la fonction ƒ est concave.
  • Sur [−5/6, −∞[ on a ƒ″ ≥ 0. Donc la fonction ƒ est convexe.

Point d’inflexion

Définition 12

Soit ƒ une fonction et (Cƒ) sa courbe représentative. Un point d’inflexion de la courbe (Cƒ) est un point où la courbe (Cƒ) traverse sa tangente en ce point. C’est aussi le point où la convexité change de sens.

Théorème 13

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I de courbe représentative (Cƒ).

Soit A(a, ƒ(a)) un point de (Cƒ) de tangente (Ta).

Si ƒ″(a) = 0 en changeant de signe alors (Cƒ) admet un point d’inflexion en A.

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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