La dérivabilité 2 bac cours

La dérivabilité 2 bac cours. Cours complet sur la dérivation dans R (2éme année Bac / Terminale)

1 Dérivabilité d’une fonction en un point x₀ – dérivabilité à droite et à gauche en un point x₀ (La dérivabilité 2 bac cours)

1.1 Dérivabilité (La dérivabilité 2 bac cours)

Définition 1 Soit une fonction ƒ tel que son domaine de définition contient un intervalle ouvert I et x₀ ∈ I.

1. ƒ est dérivable au point x₀ si et seulement si lim_x→ x0 ƒ(x) − ƒ(x₀ )/x − x₀ = L ∈ ℝ. ( L = ƒ’(x₀ ) s’appelle le nombre dérivé de ƒ en x₀).
2. ƒ est dérivable à droite de x₀ si et seulement si lim_x→ x0⁺ ƒ(x) − ƒ(x₀ )/x − x₀ = L ∈ ℝ. (L = ƒ’_d (x₀) s’appelle le nombre dérivé à droite de ƒ en x₀).
3. ƒ est dérivable à gauche de x₀ si et seulement si lim_x→ x0⁻ ƒ(x) − ƒ(x₀ )/x − x₀ = L ∈ ℝ. (L = ƒ’_g(x₀) s’appelle le nombre dérivé à gauche de ƒ en x₀).

Proposition 2 Soit ƒ une fonction définie sur I .

ƒ est dérivable au point x₀ si et seulement si ƒ est dérivable à droite et à gauche en x₀ et ƒ’_d (x₀) = ƒ’_g(x₀).

Autrement dit

ƒ est dérivable en x₀ ⇔  lim_x→ x0⁺ ƒ(x) − ƒ(x₀ )/x − x₀ = lim_x→ x0⁻ ƒ(x) − ƒ(x₀ )/x − x₀

1.2 Interprétation géométrique des nombres dérivés ƒ'(x₀ ), ƒ’_d (x₀) et ƒ’_g(x₀). (La dérivabilité 2 bac cours)

1.2.1 Interprétation géométrique du nombre dérivée ƒ'(x₀ )

Définition 3 Si ƒ est une fonction dérivable au point x₀ alors l’équation de la tangente (T) à la courbe (C_ƒ) de ƒ au point A(x₀ , ƒ(x₀)) est

(T) : y = ƒ′(x₀)(x − x₀) + ƒ(x₀)

Exemple 4

Trouver l’équation de la tangente (T) à la courbe (C_ƒ) de ƒ au point A(1, ƒ(1)) avec ƒ(x) = 2x².

1.3 Interprétation géométrique des nombres dérivés ƒ′_d(x₀) et ƒ′_g(x₀). (La dérivabilité 2 bac cours)

Propriété 5

1. Si ƒ est dérivable à droite de x₀ alors (C_ƒ) admet une demi-tangente au point A(x₀, ƒ(x₀)) d’équation :

(T_d) : {y = ƒ′_d(x₀)(x − x₀) + ƒ(x₀) et x ≥ x₀

2. Si ƒ est dérivable à gauche de x₀ alors (C_ƒ) admet une demi-tangente au point A(x₀, ƒ(x₀)) d’équation :

(T_g) : {y = ƒ′_g(x₀)(x − x₀) + ƒ(x₀) et x ≤ x₀

3. Si ƒ′_d(x₀) ≠ ƒ′_g(x₀) donc ƒ n’est pas dérivable en x₀ et le point A(x₀, ƒ(x₀)) est appelé point anguleux.

Exemple 6

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ* par :

{ƒ(x) = −x + 2/x , x ∈ ]−∞ , 0[ ∪ ]0 , 1[ et ƒ(x) = 1+x/2√x , x ∈ [1, +∞[  

étudier la dérivabilité de la fonction ƒ en 1, puis interpréter géométriquement les résultats obtenus.

Remarque 7 (Cas particuliers).

1. Si ƒ n’est pas dérivable à droite de x₀, (c-à-d : lim_x→x0⁺ ƒ(x)−ƒ(x₀)/x−x₀ = +∞) on a une demi-tangente à droite de x₀ vers le haut.
2. Si ƒ n’est pas dérivable à droite de x₀, (c-à-d : lim_x→x0⁺ ƒ(x)−ƒ(x₀)/x−x₀ = −∞) on a une demi-tangente à droite de x₀ vers le bas.
3. Si ƒ n’est pas dérivable à gauche de x₀, (c-à-d : lim_x→x0⁻ ƒ(x)−ƒ(x₀)/x−x₀ = +∞) on a une demi-tangente à droite de x₀ vers le bas.
4. Si ƒ n’est pas dérivable à gauche de x₀, (c-à-d : lim_x→x0⁻ ƒ(x)−ƒ(x₀)/x−x₀ = +∞) on a une demi-tangente à droite de x₀ vers le haut.

Exemple 8

Étudier la dérivabilité de la fonction ƒ en x₀, puis interpréter géométriquement le résultat obtenu.

ƒ(x) = (x − 1)√1−x²; x₀ = 1

2. Dérivabilité sur un intervalle (La dérivabilité 2 bac cours)

Propriété 9

ƒ est dérivable sur l’intervalle [a, b] si et seulement si :

1. ƒ est dérivable en tout point x₀ de ]a, b[.
2. ƒ est dérivable à gauche de b et à droite de a.

Propriété 10 (Résultats importantes)

1. Tout fonction polynôme est dérivable sur ℝ.
2. Tout fonction rationnelle ƒ est dérivable sur son domaine de définition D_ƒ.
3. Les fonctions x → sin x et x → cos x sont dérivables sur ℝ
4. La fonction x → tan x est dérivable sur ℝ ∖ {π/2 + kπ, k ∈ ℤ}.
5. La fonction x → 1/x est dérivable sur ℝ*.
6. La fonction x → √x est dérivable sur ]0 , +∞[.

Propriété 11  

Soient ƒ et g deux fonctions dérivables sur l’ouvert I.

1. Les fonctions ƒ + g , ƒ × g et αƒ tel que α ∈ ℝ, sont dérivables sur I.
2. Si la fonction g est non nulle sur I, alors ƒ/g est dérivable sur I.

2. 1 Les opérations sur les fonctions dérivables

Propriété 12

Soient ƒ et g deux fonctions dérivables sur I, on a :

1. La fonction ƒ + g est dérivable sur I et : (f + g)′(x) = f′(x) + g′(x).
2. La fonction αƒ est dérivable sur I et : (αf)′(x) = αf′(x) avec α ∈ ℝ.
3. La fonction ƒ × g est dérivable sur I et : (f × g)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x).
4. Si la fonction g ne s’annule pas sur I , alors la fonction 1/g est dérivable sur I, et : (1/g)′(x) = −g′(x)/g²(x) .
5. Si la fonction g ne s’annule pas sur I, alors la fonction ƒ/g est dérivable sur I, et :(ƒ/g)′(x) = ƒ′(x)g(x)− ƒ(x)g′(x)/g²(x).
6. La fonction ƒⁿ avec n ∈ ℕ* est dérivable sur I, et on a : (fⁿ)′(x) = nfⁿ⁻¹(x)f′(x).
7. Si ƒ(x) ≻ 0 pour tout x ∈ I, alors : √ƒ(x)′ = ƒ′(x)/2√ƒ(x).

Exemple 13

Justifier dans chaque cas la dérivabilité de la fonction ƒ sur I , puis calculer ƒ′(x).

1. ƒ(x) = √x²+1/x, I = ]0 , +∞[
2. g(x) = 2x+3/(3x−1)², I = ]1/3 , +∞[
3. h(x) = (x² + x + 1)⁴√2x+3, I = ]−3/2 , +∞[

Propriété 14

Toute fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, elle est continue sur I.

3. Dérivabilité de la fonction composée

Théorème 15

Soit ƒ une fonction dérivable sur l’intervalle ouvert I, et g une fonction dérivable sur l’intervalle J telle que ƒ(I) ⊂ J, alors g o ƒ est dérivable sur I , et on a

∀x ∈ I, (g o ƒ)′(x) = g′(ƒ(x)) × ƒ′(x)

Exemple 16

Calculer la dérivée de la fonction ƒ :

ƒ(x) = sin(x² − 2x − 3)

Corollaire 17 (Conséquences)

1. (sin(ax + b))′ = acos(ax + b), pour tout x ∈ ℝ.
2. (cos(ax + b))′ = −asin(ax + b), pour tout x ∈ ℝ.
3. (tan(ax + b))′ = a/cos²(ax+b) avec ax + b ≠ π/2 + kπ; k ∈ ℤ.

4. Dérivabilité de la fonction racine n-éme

Propriété 18

Soit u une fonction dérivable sur l’intervalle ouvert I et strictement positif sur I, alors la fonction x → ⁿ√u est dérivable sur I, et en a

∀x ∈ I, (ⁿ√u(x))′ = u′(x)/n(ⁿ√u(x))ⁿ⁻¹

Exemple 19

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = ⁵√x²+1

Montrer que la fonction ƒ est dérivable sur ℝ, puis calculer ƒ′(x).

5. Dérivabilité de la fonction réciproque

Théorème 20

Soit ƒ une fonction continue et strictement monotone sur I et J = ƒ(I), ƒ⁻¹ est la fonction réciproque de la fonction ƒ.

{ x ∈ I et y = ƒ(x) ⇔  { y ∈ J et x = ƒ⁻¹(y)

Si ƒ est dérivable en un point x₀ de I et si ƒ′(x₀) ≠ 0, alors ƒ⁻¹ est dérivable au point y₀ = ƒ(x₀) et on a :

(ƒ⁻¹)′(y₀) = 1/ƒ′(ƒ⁻¹(y₀))

Cliquer ici pour télécharger La dérivabilité 2 bac cours pdf

Complément sur la dérivation dans l’ensemble des réels (La dérivabilité 2 bac cours)

Applications de la dérivation

Dérivée nulle sur un intervalle

Théorème 1

Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Alors,

ƒ est constante sur I ⇔  ∀x ∈ I , ƒ′(x) = 0

Monotonie et signe de la dérivée

Théorème 2

Soit ƒ une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de ℝ. Alors :

• ƒ est croissante (resp. décroissante) sur I , si et seulement si, ƒ′(x) ≥ 0 (resp. ƒ′(x) ≤ 0) pour tout x ∈ I.

• Si pour tout x ∈ I , ƒ′(x) ≥ 0 et ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors ƒ est strictement croissante sur I.

• Si pour tout x ∈ I , ƒ′(x) ≤ 0 et ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors ƒ est strictement décroissante sur I.

• En particulier, si ƒ′ est strictement positive sur I , alors ƒ est strictement croissante sur I . (On dispose bien sûr d’un résultat analogue sur les fonctions décroissantes).

Exemple 3

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = x³

La fonction ƒ est dérivable sur ℝ.

Pour tout x ∈ ℝ,

ƒ′(x) = 3x²

On a pour tout x de ℝ, ƒ′(x) ≥ 0 et comme ƒ′ ne s’annule qu’en un nombre fini de points alors la fonction ƒ est strictement croissante sur ℝ.

Méthode : Étudier les variations d’une fonctions.

• On justifier que la fonction est bien dérivable ;
• On calcule la dérivée de la fonction ;
• On détermine le signe de la dérivée avant de conclure ;

Exemple 4

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 2x³ − 15x² + 36x + 7

Étudier les variations de la fonction ƒ.

• La fonction ƒ est dérivable sur ℝ en tant que polynôme.

Pour tout x ∈ ℝ,

ƒ′(x) = 6x² − 30x + 36

étudions le signe de ce polynôme de degré 2. Son discriminant vaut donc ∆ = (−30)² − 4 × 6 × 36 = 36.

L’équation : 6x² − 30x + 36 = 0 admet donc deux racine réelles distinctes qui sont :

x₁ = −b+√∆/2a = 30−√36/2×6 = 2 et x₂ = −b−√∆/2a = 30+√36/2×6 = 3

On en déduit le tableau de signe de ƒ′ et le tableau de variation de ƒ :

Extremum d’une fonction

Rappel

Définition 5

Soit ƒ une fonction numérique définie sur un intervalle I et a un élément de I.

1. On dit que ƒ(a) est une valeur maximale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≤ ƒ(a) pour tout x ∈ I.
2. On dit que ƒ(b) est une valeur minimale de la fonction ƒ sur l’intervalle I si, et seulement si ƒ(x) ≥ ƒ(b) pour tout x ∈ I.
3. On dit aussi que m est un extremum de ƒ si c’est un maximum ou minimum.

Extremum local

Définition 6

Soit ƒ : I → ℝ une fonction définie sur un intervalle I.

• On dit que ƒ admet un maximum local en x₀ (resp. un minimum local en x₀) s’il existe un intervalle ouvert J contenant x₀ tel que pour tout x de I ∩ J, ƒ(x) ≤ ƒ(x₀) (resp. ƒ(x) ≥ ƒ(x₀)).

• On dit que ƒ admet un extremum local en x₀ si ƒ admet un maximum local ou minimum local en ce point.

Théorème 7

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x₀ ∈ I. Si ƒ est dérivable en x₀ et si ƒ présente un extremum local en x₀, alors ƒ′(x₀) = 0.

Convexité

Dérivée seconde

Définition 8

Soit une fonction ƒ deux fois dérivable sur I. On appelle dérivée seconde de ƒ , notée ƒ″, la fonction dérivée de ƒ′ : (ƒ′)′= ƒ″ .

Exemple 9

Soit la fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 2x³ + 5x² − 3x − 1

La fonction ƒ est deux fois dérivables sur ℝ.

∀x ∈ ℝ, ƒ″(x) = 12x + 10

Propriété 10

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I.

• ƒ est convexe sur I si, et seulement si, pour tout x ∈ I, ƒ″(x) ≥ 0.

• ƒ est concave sur I si, et seulement si, pour tout x ∈ I, ƒ″(x) ≤ 0.

Exemple 11

Reprenons : ƒ(x) = 2x³ + 5x² − 3x − 1, on a : ƒ″(x) = 12x + 10.

• ƒ″(x) = 0 ⇔ 12x + 10 = 0 ⇔ x = −5/6. Donc

• Sur ]−∞  , −5/6] on a ƒ″≤ 0. Donc la fonction ƒ est concave.

• Sur [−5/6, −∞[ on a ƒ″ ≥ 0. Donc la fonction ƒ est convexe.

Point d’inflexion

Définition 12

Soit ƒ une fonction et (C_ƒ) sa courbe représentative. Un point d’inflexion de la courbe (C_ƒ) est un point où la courbe (C_ƒ) traverse sa tangente en ce point. C’est aussi le point où la convexité change de sens.

Théorème 13

Soit ƒ une fonction deux fois dérivable sur I de courbe représentative (C_ƒ).

Soit A(a, ƒ(a)) un point de (C_ƒ) de tangente (T_a).

Si ƒ″(a) = 0 en changeant de signe alors (C_ƒ) admet un point d’inflexion en A.

Cliquer ici pour télécharger Complément sur La dérivabilité 2 bac cours

Vous pouvez aussi consulter :

• Devoir de maison (dérivation et étude des fonctions) bac
• Fiche de révision du bac – Études de fonction sur studyrama