Limites et continuité cours terminale

Limites et continuité cours terminale

Limites et continuité cours terminale. Cours complet sur les limites et continuité pour la deuxième année bac (2éme année Bac/ Terminale)

1. Continuité d’une fonction en un point (Limites et continuité cours terminale)

1.1 Définition et exemples

Définition 1 Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I , et soit x0I .

On dit que ƒ est continue en x0 si et seulement si

limx→x0 ƒ(x) = ƒ(x0)

Exemple 2 On considère la fonction ƒ telle que :

ƒ(x) = √x2 + 1 − 1/x , x ≠ 0

ƒ(0) = 0

  1. Etudier la continuité en 0

limx→0 ƒ(x) = limx→0 √x2 + 1 − 1/x = limx→0 x2/x(√x2 + 1 − 1)

= limx→0 x/√x2 + 1 − 1

= 0/√0 +1 + 1 = 0 = ƒ(0)

Donc, ƒ est continue en 0

2. Soit ƒ la fonction définie par /

ƒ(x) = x2 + x − 12/ x − 3 , x ≠ 3

ƒ(3) = 7

Etudier la continuité en 3

2. Continuité à droite et à gauche (Limites et continuité cours terminale)

Définition 3 Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle [a, a + r[ (ou r >0)

On dit que la fonction ƒ est continue à droite de a si ƒ admet une limite finie à droite de a et

limx→a+ ƒ(x) = ƒ(a)

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a − r, a] (ou r > 0)

On dit que la fonction ƒ est continue à gauche de a si ƒ admet une limite finie à gauche de a et

limx→a ƒ(x) = ƒ(a)

Théorème 4 Une fonction est continue en un point a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de a. C’est-à-dire limx→a+ ƒ(x) = limx→a ƒ(x).

Preuve Voir la série d’exercices.

Exemple 6 Considérons la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2x3− x − 14/x2− x − 2 , si x > 2

ƒ(x) = x − 2/2x2 + x − 10 , si x < 2

ƒ(2) = 1/9

Etudier la continuité de la fonction ƒ en 2

On trouve que : limx→2 ƒ(x) = 1/9 = ƒ(2), donc la fonction ƒ est continue à gauche de 2, et limx→2+ ƒ(x) ≠ 1/9 = ƒ(2), donc la fonction ƒ n’est pas continue à droite de 2.

Comme Iimx→2+ ƒ(x) ≠ limx→2 ƒ(x). Alors ƒ n’est pas continue en 2

3. Continuité sur un intervalle (Limites et continuité cours terminale)

Propriété 7 Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle [a, b] . On dit que ƒ est continue sur [a, b] si et seulement si :

  1. ƒ est continue en tout point de ]a, b[ .
  2. ƒ est continue à droite a et à gauche b.

Résultats importants

  1. Tout fonction polynôme est continue sur ℝ.
  2. Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
  3. Les fonctions x → sin x et x → cos x sont continues sur
  4. La fonction x → tan x est continue sur ∖ { π/2 + kπ, k }.
  5. La fonction x → 1/x est continue sur *.
  6. La fonction x → √x est continue sur + .
  7. La fonction valeur absolue x → ∣x∣ est définie et continue sur .

Propriété 8 Soient ƒ et g deux fonctions définies sur un intervalle I. Si les fonctions ƒ et g sont continues sur I, alors :

  1. Les fonctions ƒ + g, ƒ × g et λƒ sont continues en I
  2. Si la fonction g est non nulle sur I , alors ƒ/g est continue sur I.
  3. Si ƒ ≥ 0 sur I alors la fonctions √ƒ est continue sur I.
Exemple 9

Etudier la continuité des fonctions suivantes sur Dƒ .

  1. ƒ(x) = x3 + x − 1
  2. ƒ(x) = √x2 + x + 3
  3. ƒ(x) = 4x3 + x+ 1/x2 +2x−3
  4. {ƒ(x) = x2 + x + 1, si x ≥ 0 {ƒ(x) = sin x/x , si x 0

4. L’image d’un intervalle par une fonction continue

4.1 Image d’un segment (Intervalle fermé)

Activité

On considère la fonction ƒ définie sur par : ƒ(x) = x2 + 2x

Le graph ci-dessous est le graphe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé.

Déterminer graphiquement les images des intervalles suivants : [0, 1] , [3, −1] , [3, 1] .

Théorème 10 (Admis)

L’image d’un segment [a, b] par une fonction continue est le segment [m, M] où

m = minx∈[a, b] ƒ(x) et M = maxx∈[a, b] ƒ(x)

4.2 Image d’un intervalle.
Théorème 11 (Admis)

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Exemple 12 Soit ƒ une fonction définie sur ]−∞, −1[ ⋃ ]−1, +∞[ par : ƒ(x) = 2x −3/x+1

Déterminer l’image des intervalles suivants par la fonction ƒ.

[0, 1] , [−2, −1[ , ]−1, 1] et [2, +∞[

Remarque 13

Si ƒ n’est pas strictement monotone sur l’intervalle I, on peut utiliser les propriétés précédentes en subdivisant l’intervalle I en intervalles où ƒ est strictement monotone et on utilise la propriété : ƒ(I1 I2) = ƒ(I1) ⋃ ƒ(I2).

5. Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone.

5.1 Théorème et applications

Théorème 14 Soit ƒ une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle I. alors ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur J = ƒ(I) vers I.

Exemple 15

Soit ƒ la fonction numérique définie sur [0, 3] par :

ƒ(x) = x3 + x

Montrer que ƒ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer.

  • La continuité de la fonction ƒ sur [0, 3].

ƒ est une fonction polynôme continue sur et surtout sur [0, 3].

  • La monotonie (strictement) de ƒ sur [0, 3].

La fonction ƒ est dérivable sur [0, 3]. Calculons ƒ′(x) pour tout x de [0, 3] :

ƒ′(x) = (x3 + x)′ = 3x2 + 1

Soit x ∈ [0, 3] .

0 ≤ x ≤ 3 ⇔ 0 ≤ 3x2 ≤ 27 ⇔ 1 ≤ 3x2 + 1 ≤ 28

Ceci signifie que : ƒ′(x) ≻ 0, pour tout x de [0, 3] . Donc, ƒ est strictement croissante sur [0, 3].

On conclut que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur J.

  • On cherche J.

On a : J = ƒ([0, 3]) = [ƒ(0), ƒ(3)] = [0, 28] . Donc : J = [0, 28] .

5.1.1 Propriétés de la fonction réciproque

Propriété 16 Si ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 de J = ƒ(I) vers I alors ƒ−1 à la même monotonie sur J que celle de ƒ sur I.

Propriété 17 La fonction réciproque ƒ−1 est continue sur J = ƒ(I).

Propriété 18 Si ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 de J = ƒ(I) vers I alors (Cƒ−1) et (Cƒ) sont symétriques par rapport à : (∆) : y = x.

Remarque 19 A remarquer que la symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes les symétriques, les tangentes et demi-tangentes…

6. Théorème des valeurs intermédiaires TVI

6.1 Cas général

Théorème 20 (T.V.I)

Théorème 21 On considère la fonction ƒ définie et continue sur un intervalle [a, b].

Pour tout réel k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), l’équation ƒ(x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a, b].

6.2 Cas ƒ est strictement monotone
Théorème 22

Soit ƒ une fonction continue strictement monotone sur [a, b]. Pour tout λ compris entre ƒ(a) et ƒ(b) il existe un et un seul c ∈ [a, b] tel que ƒ(c) = λ.

Corollaire 23

Soit ƒ une fonction continue sur [a, b] .

Si ƒ(a) × ƒ(b) ≺ 0 il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que ƒ(c) = 0.

Exemple 24

Montrer que l’équation x3 − 3x2 + 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [−1, 3].

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = x3 − 3x2 + 1

  • ƒ est une fonction polynôme continue sur , et surtout sur [−1, 3].
  • Calculons ƒ(−1) et ƒ(3).

On a : ƒ(−1) = −3 et ƒ(3) = 1. Donc : ƒ(−1) × ƒ(3) ≺ 0.

Alors d’après le T.V.I l’équation x3 − 3x2 + 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [−1, 3].

Autrement dit

c ∈ [−1, 3] / ƒ(c) = 0

Corollaire 25

Soit ƒ une fonction continue strictement monotone sur [a, b].

Si ƒ(a) × ƒ(b) ≺ 0 il existe un et un seul c dans [a, b] tel que ƒ(c) = 0

Exemple 26

Montrer que l’équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0, π].

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = x − cos x

  • La continuité de la fonction ƒ sur [0, π].

La fonction ƒ s’écrit comme la différence de deux fonctions : u : xx et v : x → cos x.

u est une fonction polynôme continue sur , et surtout sur [0, π].

v est une fonction trigonométrique continue sur , et surtout sur [0, π].

Donc, la fonction ƒ est continue sur [0, π], comme la différence de deux fonctions continues sur [0, π].

  • La monotonie (strict) de la fonction ƒ sur [0, π] .

La fonction ƒ est dérivable sur [0, π] , et on a :

ƒ′(x) = 1 + sin x

Soit x ∈ [0, π] .

On a : sin x0, donc 1 + sin x 0. C’est-à-dire : ƒ′(x) ≻ 0.

Ce qui signifie que la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, π] .

  • Calculons ƒ(0) et ƒ(π).

On a : ƒ(0) = − 1 et ƒ(π) = π + 1. Donc : ƒ(0) × ƒ(π) ≺ 0.

Alors, d’après le TVI l’équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0, π] .

Autrement dit :

∃!c ∈ [0, π] / ƒ(c) = 0

7. Fonctions composées

7.1 Composition et continuité
Théorème 27

Soient ƒ une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tels que ƒ(I) ⊂ J.

Si ƒ est continue sur I et g est continue sur J alors g o ƒ est continue sur I.

Exemple 28

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = √1−cosx

Montrer que la fonction ƒ est continue sur .

8. La fonction racine nième

8.1 Définition et règles de calculs
Définition 29

Soit n un élément de *, la fonction u : x → xn est une fonction continue strictement croissante sur + elle admet donc une fonction réciproque u−1 définie de + vers +. La fonction réciproque u−1 s’appelle la fonction racine nième et se note n√.

Propriété 30
  1. La fonction x → n√x est définie sur +.
  2. (∀x +) : n√x 0
  3. (∀x+)(∀y+) : n√x = y ⇔ x = yn
  4. La fonction x → n√x est strictement croissante sur +.
  5. La fonction x → n√x est continue sur + , et dérivable sur +.
  6. (∀x+)(∀y+) : n√x = n√y x = y
  7. (∀x +) : (n√x)n = n√xn = x
  8. (∀x+)(∀y+) : xy ⇔  n√x ≤ n√y
Propriété 31 (Calculs des limites)
  1. limx→+∞ n√x = +∞ 
  2. Si limx→+∞ u(x) = +∞ alors limx→+∞ n√u(x) = +∞.
  3. Si limx→+∞ u(x) = l0 alors limx→+∞ n√u(x) = n√l.
Propriété 32 (Règles de calculs)
  1. (∀x+)(∀y+) : n√xy = n√xn√y
  2. (∀x +)(∀y +) : n√x/y = n√x/n√y
  3. (∀x+)(∀n*)(∀p*) : (pn√x = np√x)
  4. (∀x+)(∀n*)(∀p*) : (np√xp = n√x )
Exemple 33

3√√64 = 6√64 = 6√26 = 2

Exemple 34

Simplifier le nombre suivant :

A = 15√35×3√9×5√93/5√3

Propriété 35
  • (∀x+), 2√x = √x
  • (∀x +), 1√x = x
8.2 La représentation graphique de la fonction racine nième
Exemple 36

Résoudre dans les équations suivants :

  1. x4 = 16
  2. (x + 1)5 = 32
  3. x3 + 27 = 0
  4. 3√2x−1 = 2
Solution 37

On résout les équations suivants dans l’ensemble .

x4 = 16 ⇔ 4√x4 = 4√16 ⇔ ∣x= 4√24 ⇔ ∣x = 2 x = 2 ou x = −2

S = {−2, 2

2.

(x + 1)5 = 32 5(x + 1)5 = 5√32x + 1 = 5√25x + 1 = 2 x = 1

S = {1}

3.

x3 = −27 −x3 = 27 ⇔ (−x)3 = 33 3(−x)3 = 3√33x = − 3

S = {−3}

4. La 4ème équation existe si et seulement si 2x − 1 0, c’est-à-dire x1/2.

Donc : x ∈ [1/2, +∞[ .

3√2x−1 = 2 ⇔ (3√2x−1)3 = 23 2x − 1 = 8x = 9/2

S = {9/2}

8.3 L’expression conjuguai et ses applications
8.8.1 ordre 3 :

On sait que : a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) et a3 + b3 = (a + b)(a2 − 2ab + b2).

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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