Limites et continuité cours terminale. Cours complet sur les limites et continuité pour la deuxième année bac (2éme année Bac/ Terminale)
1. Continuité d’une fonction en un point (Limites et continuité cours terminale)
1.1 Définition et exemples
Définition 1 Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I , et soit x0 ∈ I .
On dit que ƒ est continue en x0 si et seulement si
limx→x0 ƒ(x) = ƒ(x0)
Exemple 2 On considère la fonction ƒ telle que :
ƒ(x) = √x2 + 1 − 1/x , x ≠ 0
ƒ(0) = 0
- Etudier la continuité en 0
limx→0 ƒ(x) = limx→0 √x2 + 1 − 1/x = limx→0 x2/x(√x2 + 1 − 1)
= limx→0 x/√x2 + 1 − 1
= 0/√0 +1 + 1 = 0 = ƒ(0)
Donc, ƒ est continue en 0
2. Soit ƒ la fonction définie par /
ƒ(x) = x2 + x − 12/ x − 3 , x ≠ 3
ƒ(3) = 7
Etudier la continuité en 3
2. Continuité à droite et à gauche (Limites et continuité cours terminale)
Définition 3 Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle [a, a + r[ (ou r >0)
On dit que la fonction ƒ est continue à droite de a si ƒ admet une limite finie à droite de a et
limx→a+ ƒ(x) = ƒ(a)
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a − r, a] (ou r > 0)
On dit que la fonction ƒ est continue à gauche de a si ƒ admet une limite finie à gauche de a et
limx→a− ƒ(x) = ƒ(a)
Théorème 4 Une fonction est continue en un point a si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de a. C’est-à-dire limx→a+ ƒ(x) = limx→a− ƒ(x).
Preuve Voir la série d’exercices.
Exemple 6 Considérons la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = 2x3− x − 14/x2− x − 2 , si x > 2
ƒ(x) = x − 2/2x2 + x − 10 , si x < 2
ƒ(2) = 1/9
Etudier la continuité de la fonction ƒ en 2
On trouve que : limx→2− ƒ(x) = 1/9 = ƒ(2), donc la fonction ƒ est continue à gauche de 2, et limx→2+ ƒ(x) ≠ 1/9 = ƒ(2), donc la fonction ƒ n’est pas continue à droite de 2.
Comme Iimx→2+ ƒ(x) ≠ limx→2− ƒ(x). Alors ƒ n’est pas continue en 2
3. Continuité sur un intervalle (Limites et continuité cours terminale)
Propriété 7 Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle [a, b] . On dit que ƒ est continue sur [a, b] si et seulement si :
- ƒ est continue en tout point de ]a, b[ .
- ƒ est continue à droite a et à gauche b.
Résultats importants
- Tout fonction polynôme est continue sur ℝ.
- Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
- Les fonctions x → sin x et x → cos x sont continues sur ℝ
- La fonction x → tan x est continue sur ℝ∖ { π/2 + kπ, k ∈ ℤ }.
- La fonction x → 1/x est continue sur ℝ*.
- La fonction x → √x est continue sur ℝ+ .
- La fonction valeur absolue x → ∣x∣ est définie et continue sur ℝ.
Propriété 8 Soient ƒ et g deux fonctions définies sur un intervalle I. Si les fonctions ƒ et g sont continues sur I, alors :
- Les fonctions ƒ + g, ƒ × g et λƒ sont continues en I
- Si la fonction g est non nulle sur I , alors ƒ/g est continue sur I.
- Si ƒ ≥ 0 sur I alors la fonctions √ƒ est continue sur I.
Exemple 9
Etudier la continuité des fonctions suivantes sur Dƒ .
- ƒ(x) = x3 + x − 1
- ƒ(x) = √x2 + x + 3
- ƒ(x) = 4x3 + x+ 1/x2 +2x−3
- {ƒ(x) = x2 + x + 1, si x ≥ 0 {ƒ(x) = sin x/x , si x ≺ 0
4. L’image d’un intervalle par une fonction continue (Limites et continuité cours terminale)
4.1 Image d’un segment (Intervalle fermé)
Activité
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par : ƒ(x) = x2 + 2x
Le graph ci-dessous est le graphe de la fonction ƒ dans un repère orthonormé.
Déterminer graphiquement les images des intervalles suivants : [0, 1] , [−3, −1] , [−3, 1] .
Théorème 10 (Admis)
L’image d’un segment [a, b] par une fonction continue est le segment [m, M] où
m = minx∈[a, b] ƒ(x) et M = maxx∈[a, b] ƒ(x)
4.2 Image d’un intervalle.
Théorème 11 (Admis)
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Exemple 12 Soit ƒ une fonction définie sur ]−∞, −1[ ⋃ ]−1, +∞[ par : ƒ(x) = 2x −3/x+1
Déterminer l’image des intervalles suivants par la fonction ƒ.
[0, 1] , [−2, −1[ , ]−1, 1] et [2, +∞[
Remarque 13
Si ƒ n’est pas strictement monotone sur l’intervalle I, on peut utiliser les propriétés précédentes en subdivisant l’intervalle I en intervalles où ƒ est strictement monotone et on utilise la propriété : ƒ(I1 ⋃ I2) = ƒ(I1) ⋃ ƒ(I2).
5. Fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone.
5.1 Théorème et applications
Théorème 14 Soit ƒ une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle I. alors ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur J = ƒ(I) vers I.
Exemple 15
Soit ƒ la fonction numérique définie sur [0, 3] par :
ƒ(x) = x3 + x
Montrer que ƒ admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer.
- La continuité de la fonction ƒ sur [0, 3].
ƒ est une fonction polynôme continue sur ℝ et surtout sur [0, 3].
- La monotonie (strictement) de ƒ sur [0, 3].
La fonction ƒ est dérivable sur [0, 3]. Calculons ƒ′(x) pour tout x de [0, 3] :
ƒ′(x) = (x3 + x)′ = 3x2 + 1
Soit x ∈ [0, 3] .
0 ≤ x ≤ 3 ⇔ 0 ≤ 3x2 ≤ 27 ⇔ 1 ≤ 3x2 + 1 ≤ 28
Ceci signifie que : ƒ′(x) ≻ 0, pour tout x de [0, 3] . Donc, ƒ est strictement croissante sur [0, 3].
On conclut que la fonction ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 définie sur J.
- On cherche J.
On a : J = ƒ([0, 3]) = [ƒ(0), ƒ(3)] = [0, 28] . Donc : J = [0, 28] .
5.1.1 Propriétés de la fonction réciproque
Propriété 16 Si ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 de J = ƒ(I) vers I alors ƒ−1 à la même monotonie sur J que celle de ƒ sur I.
Propriété 17 La fonction réciproque ƒ−1 est continue sur J = ƒ(I).
Propriété 18 Si ƒ admet une fonction réciproque ƒ−1 de J = ƒ(I) vers I alors (Cƒ−1) et (Cƒ) sont symétriques par rapport à : (∆) : y = x.
Remarque 19 A remarquer que la symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes les symétriques, les tangentes et demi-tangentes…
6. Théorème des valeurs intermédiaires TVI
6.1 Cas général
Théorème 20 (T.V.I)
Théorème 21 On considère la fonction ƒ définie et continue sur un intervalle [a, b].
Pour tout réel k compris entre ƒ(a) et ƒ(b), l’équation ƒ(x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a, b].
6.2 Cas ƒ est strictement monotone
Théorème 22
Soit ƒ une fonction continue strictement monotone sur [a, b]. Pour tout λ compris entre ƒ(a) et ƒ(b) il existe un et un seul c ∈ [a, b] tel que ƒ(c) = λ.
Corollaire 23
Soit ƒ une fonction continue sur [a, b] .
Si ƒ(a) × ƒ(b) ≺ 0 il existe au moins un c ∈ [a, b] tel que ƒ(c) = 0.
Exemple 24
Montrer que l’équation x3 − 3x2 + 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [−1, 3].
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = x3 − 3x2 + 1
- ƒ est une fonction polynôme continue sur ℝ, et surtout sur [−1, 3].
- Calculons ƒ(−1) et ƒ(3).
On a : ƒ(−1) = −3 et ƒ(3) = 1. Donc : ƒ(−1) × ƒ(3) ≺ 0.
Alors d’après le T.V.I l’équation x3 − 3x2 + 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [−1, 3].
Autrement dit
∃c ∈ [−1, 3] / ƒ(c) = 0
Corollaire 25
Soit ƒ une fonction continue strictement monotone sur [a, b].
Si ƒ(a) × ƒ(b) ≺ 0 il existe un et un seul c dans [a, b] tel que ƒ(c) = 0
Exemple 26
Montrer que l’équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0, π].
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = x − cos x
- La continuité de la fonction ƒ sur [0, π].
La fonction ƒ s’écrit comme la différence de deux fonctions : u : x → x et v : x → cos x.
u est une fonction polynôme continue sur ℝ, et surtout sur [0, π].
v est une fonction trigonométrique continue sur ℝ, et surtout sur [0, π].
Donc, la fonction ƒ est continue sur [0, π], comme la différence de deux fonctions continues sur [0, π].
- La monotonie (strict) de la fonction ƒ sur [0, π] .
La fonction ƒ est dérivable sur [0, π] , et on a :
ƒ′(x) = 1 + sin x
Soit x ∈ [0, π] .
On a : sin x ≥ 0, donc 1 + sin x ≻ 0. C’est-à-dire : ƒ′(x) ≻ 0.
Ce qui signifie que la fonction ƒ est strictement croissante sur [0, π] .
- Calculons ƒ(0) et ƒ(π).
On a : ƒ(0) = − 1 et ƒ(π) = π + 1. Donc : ƒ(0) × ƒ(π) ≺ 0.
Alors, d’après le TVI l’équation x − cos x = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0, π] .
Autrement dit :
∃!c ∈ [0, π] / ƒ(c) = 0
7. Fonctions composées
7.1 Composition et continuité
Théorème 27
Soient ƒ une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur un intervalle J tels que ƒ(I) ⊂ J.
Si ƒ est continue sur I et g est continue sur J alors g o ƒ est continue sur I.
Exemple 28
On considère la fonction ƒ définie par :
ƒ(x) = √1−cosx
Montrer que la fonction ƒ est continue sur ℝ.
8. La fonction racine nième
8.1 Définition et règles de calculs
Définition 29
Soit n un élément de ℕ*, la fonction u : x → xn est une fonction continue strictement croissante sur ℝ+ elle admet donc une fonction réciproque u−1 définie de ℝ+ vers ℝ+. La fonction réciproque u−1 s’appelle la fonction racine nième et se note n√.
Propriété 30
- La fonction x → n√x est définie sur ℝ+.
- (∀x ∈ ℝ+) : n√x ≥ 0
- (∀x ∈ ℝ+)(∀y ∈ ℝ+) : n√x = y ⇔ x = yn
- La fonction x → n√x est strictement croissante sur ℝ+.
- La fonction x → n√x est continue sur ℝ+ , et dérivable sur ℝ+.
- (∀x ∈ ℝ+)(∀y ∈ ℝ+) : n√x = n√y ⇔ x = y
- (∀x ∈ ℝ+) : (n√x)n = n√xn = x
- (∀x ∈ ℝ+)(∀y ∈ ℝ+) : x ≤ y ⇔ n√x ≤ n√y
Propriété 31 (Calculs des limites)
- limx→+∞ n√x = +∞
- Si limx→+∞ u(x) = +∞ alors limx→+∞ n√u(x) = +∞.
- Si limx→+∞ u(x) = l ≥ 0 alors limx→+∞ n√u(x) = n√l.
Propriété 32 (Règles de calculs)
- (∀x ∈ ℝ+)(∀y ∈ ℝ+) : n√xy = n√xn√y
- (∀x ∈ ℝ+)(∀y ∈ ℝ+) : n√x/y = n√x/n√y
- (∀x ∈ ℝ+)(∀n ∈ ℕ*)(∀p ∈ ℕ*) : (p√n√x = np√x)
- (∀x ∈ ℝ+)(∀n ∈ ℕ*)(∀p ∈ ℕ*) : (np√xp = n√x )
Exemple 33
3√√64 = 6√64 = 6√26 = 2
Exemple 34
Simplifier le nombre suivant :
A = 15√35×3√9×5√93/5√3
Propriété 35
- (∀x ∈ ℝ+), 2√x = √x
- (∀x ∈ ℝ+), 1√x = x
8.2 La représentation graphique de la fonction racine nième
Exemple 36
Résoudre dans ℝ les équations suivants :
- x4 = 16
- (x + 1)5 = 32
- x3 + 27 = 0
- 3√2x−1 = 2
Solution 37
On résout les équations suivants dans l’ensemble ℝ.
x4 = 16 ⇔ 4√x4 = 4√16 ⇔ ∣x∣ = 4√24 ⇔ ∣x∣ = 2 ⇔ x = 2 ou x = −2
S = {−2, 2}
2.
(x + 1)5 = 32 ⇔ 5√(x + 1)5 = 5√32 ⇔ x + 1 = 5√25 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 1
S = {1}
3.
x3 = −27 ⇔ −x3 = 27 ⇔ (−x)3 = 33 ⇔ 3√(−x)3 = 3√33 ⇔ x = − 3
S = {−3}
4. La 4ème équation existe si et seulement si 2x − 1 ≥ 0, c’est-à-dire x ≥ 1/2.
Donc : x ∈ [1/2, +∞[ .
3√2x−1 = 2 ⇔ (3√2x−1)3 = 23 ⇔ 2x − 1 = 8 ⇔ x = 9/2
S = {9/2}
8.3 L’expression conjuguai et ses applications
8.8.1 ordre 3 :
On sait que : a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) et a3 + b3 = (a + b)(a2 − 2ab + b2).
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- Limites et continuité exercices corrigés
- Limites et continuité (Partie 1) terminale sur maths-et-tiques