Limites et continuité exercices corrigés

Limites et continuité exercices corrigés

Limites et continuité exercices corrigés pdf bac. Série d’exercices numéro 1 sur les limites et continuité (2éme année Bac / Terminale)

Exercice 1 (Calcul des limites)

Calculer les limites suivantes :

  1. limx→+∞ √x2 + 1 − √x2 − 1
  2. limx→+∞ √x2 + 4x − x
  3. limx→+∞ √x2 + x − x
  4. limx→ −2 x3 +2x2 − x − 2/x2 − 4
  5. limx→ 3 √3x − 3/x − 3
  6. limx→ π/4 tan x − 1/x − π/4
Exercice 2 (La continuité en un point)

Etudier la continuité de la fonction ƒ en x0.

ƒ(x) = x2 − 1/|x − 1| si x ≠ 1 , x0 =1

ƒ(1) = 2

ƒ(x) = 2x3− x − 14/x2− x − 2 si x > 2

ƒ(x) = x − 2/2x2+ x − 10 si x < 2 , x0 = 2

ƒ(2) = 1/9

Exercice 3 (Continuité sur un intervalle)

Etudier la continuité de la fonction ƒ sur Dƒ dans chaque cas.

  1. ƒ(x) = x + √x + 1
  2. ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x − 1
  3. ƒ(x) = 2√x − x
  4. ƒ(x) = √1 + x/1 − x
Exercice 4 (L’image d’un intervalle)

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x − 1

  1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ƒ .
  2. Etudier les variations de la fonction ƒ sur Dƒ , puis déduire le tableau de variation.
  3. Déterminer l’image des intervalles suivants par la fonction ƒ .

]−∞,1/2],  [0, 1/2] , ]1, 3/2]

Exercice 5 (la fonction réciproque)

On considère la fonction ƒ définie sur ]−∞, 2] par :

ƒ(x) = x2 − 4x +1

  1. Montrer que ƒ admet une fonction réciproque sur un intervalle J à déterminer.
  2. Donner le tableau de variation de la fonction ƒ , puis déduire le tableau de variation de la fonction ƒ−1

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Correction de la série d’exercices

Exercice 2

La continuité de la fonction ƒ en x0.

  1. On détermine le tableau de signe de : x − 1

à gauche de 1, l’expression x − 1 est négative. C’est-à-dire : ∣x − 1∣ = −(x − 1). Donc

limx→1 x2−1/∣x − 1∣ = limx→1 (x − 1)(x + 1)/−(x − 1) = limx→1 (x + 1) = − 2 ≠ ƒ(1)

Ce qui signifie que la fonction ƒ n’est pas continue à gauche de 1. À droite de 1, l’expression x − 1 est positive. C’est-à-dire : ∣x − 1= x − 1. Donc

limx→1+ x2−1/∣x−1∣ = limx→1+ (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = limx→1+ (x + 1) = 2 = ƒ(1)

Ce qui signifie que la fonction ƒ est continue à droite de 1, et par conséquent la fonction ƒ n’est pas continue en 1. Car la fonction n’est pas continue à gauche de 1.

2. Voir la correction de l’exemple qu’on a fait en cours.

3. { ƒ(x) = 2 + x2sin(1/x), x ≠ 0 et ƒ(0) = 2

N’oublie pas l’encadrement suivant :

x, ∣sin x∣ ≤ 1

Soit x*,

− 1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ⇔  −x2x2sin(1/x) ≤ x2 ⇔ 2 − x22 + x2sin(1/x) ≤ 2 + x2

Donc; on obtient l’encadrement suivant :

2 − x2 ≤ ƒ(x) ≤ 2 + x2

Comme limx→0 2 − x2 = 2 et limx→0 2 + x2 = 2, alors d’après le théorème de gendarme on obtient,

limx→0 ƒ(x) = 2

Ce qui signifie que ƒ est continue en 0.

Exercice 3 (la continuité sur un intervalle)
  1. Voir la correction de l’exemple qu’on a fait en cours.
  2. ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x−1

On a : Dƒ = − {1} = ]−∞, 1[∪]1, +∞[.

La fonction ƒ s’écrit comme la somme de deux fonctions.

u(x) = 4x + 1 et v(x) = 1/x−1

  • La fonction u est une fonction polynôme continue sur , et surtout sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[.
  • La fonction v est continue sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[, car c’est une fonction rationnelle.

Donc la fonction ƒ est continue sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[ comme la somme de deux fonctions continues sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[.

3. ƒ(x) = 2√x − x

On a : Dƒ = +.

La fonction ƒ s’écrit comme la différence de deux fonctions.

u(x) = 2√x et v(x) = x

  • La fonction v est une fonction polynôme continue sur , et surtout sur +.
  • La fonction u est une fonction continue sur +.

Donc, la fonction ƒ est continue sur + comme la différence de deux fonctions continues sur +.

4. ƒ(x) = √1+x/1−x

On cherche Dƒ.

Dƒ = {x / 1 − x ≠ 0 et 1+x/1−x 0}

On cherche le tableau de signe de l’expression : 1+x/1−x.

l’expression 1+x/1−x est positive si et seulement si x ∈ [−1, 1[.

Dƒ = [−1, 1[

  • La fonction x → 1+x/1−x est continue et positive sur [−1, 1[. Donc, ƒ est continue sur [−1, 1[.
Exercice 4 (L’image d’un intervalle)

On considère la fonction ƒ définie sur :

ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x − 1

  1. Dƒ = ]−∞, 1[∪]1, +∞[ .
  2. Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ]−∞, 1[∪]1, +∞[ :

La fonction ƒ s’écrit comme la somme de deux fonctions dérivables sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[ .

ƒ′(x) = 4 − (x − 1)′/(x − 1)2 = 4 − 1/(x − 1)2 = 4x2− 8x+3/(x−1)2

Comme (x − 1)2 0, alors le signe de ƒ′(x) est celui du trinôme : 4x2 − 8x + 3.

On factorise 4x2 − 8x + 3, après une résolution immédiate on trouve les solutions de l’équation 4x2 − 8x + 3 = 0, sont : x1 = 1/2 et x2 = 3/2.

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Devoir surveillé limites et continuité (2 bac sm/ Terminale)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

limx→1 x2/3−1/arctan(x−1) , limx→+∞ xarctan (√x) − π/2x , limx→−∞ x−∛x2/x ,

limx→+∞ (2x + 1 − ∛x−8x3) , limx→0+ 1/x arctan (√x/x+1) , limx→+∞ 2∛x+1−⁵√x.₁₅√x2/∛x−1−∛x

limx→+∞ 1/x(x2/3−x1/3)3/2

Exercice 2
  1. Montrer que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.
  2. Montrer que : (∀x ∈ ]1, +∞[), arctan (2x/1−x2) = 2arctan (x) − π.
  3. Résoudre dans ce qui suit : arctan (x) + arctan (2x) = π/3 et arctan (x) + arctan (2x) > π/3.
Exercice 3

Soit ƒ une fonction continue sur [0, 1] telle que : (∀x ∈ [0, 1] , ƒ(x) ≤ 0) et ƒ(0) = ƒ(1) = 0.

Montrer que : (∀n*)(∃c ∈ [0, 1]) , ƒ(c) = ƒ(c + 1/c).

Exercice 4

On considère la fonction g définie sur I = [0, π/4[ par : g(x) = −1/1−tan3(x).

  1. Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 définie sur un intervalle J à déterminer.
  2. Dresser le tableau de variations de g−1.
  3. Calculer g−1(x) pour tout xJ.
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Correction du devoir surveillé

Exercice 2
  1. Montrons que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Calculons d’abord : 2 arctan 2.

On a 2 > 0 alors arctan (2) ∈ ]0, π/2[ d’où 2 arctan (2) ∈ ]0, π[. Donc

tan(2. arctan 2) = 2tan(arctan (2))/1−tan2(arctan 2) = 2×2/1−4 = −4/3

puisque : tan (2. arctan (2)) < 0, alors

2. arctan (2) ∊ ]π/2 , π[ ⇔ π/2 < 2.arctan 2 < π

− π/2 < (2.arctan (2)) − π < 0

⇔ (2. arctan (2) − π) ∈ ]−π/2 , 0[

Or : tan(2. arctan 2) = tan((2. arctan(2)) − π), et comme tan (2. arctan 2) = −4/3 alors

tan((2. arctan(2)) − π) = −4/3 ⇔ arctan(tan((2. arctan(2)) − π) = arctan (−4/3)

Donc

2. arctan (2) − π = arctan (−4/3)

Ceci signifie que

2arctan (2) = π + arctan (−4/3) = π − arctan (4/3)

D’où

2arctan (2) + arctan (4/3) = π − arctan (4/3) + arctan (4/3) = π

On obtient

2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Montrons que pour tout x ∈ ]1, +∞[, on a arctan (2x/1−x2) = 2arctan (x) − π.

Soit x ∈ ]1, +∞[, alors il existe un unique α ∈ ]π/4, π/2[ tel que : tan α = x. (C’est-à-dire : α = arctan

Donc

2x/1−x2 = 2tan α/1−tan2α = tan () (∴)

On a

π/4 < α < π/2π/2 < < π−π/2 < 2α − π < 0 ⇔ (2α − π) ∈ ]−π/2, 0[

et comme : tan () = tan (2α − π) . Donc d’après (∴) on obtient

arctan (2x/1−x2) = arctan (tan(2α − π))

= 2α − π

= 2arctan x − π

Donc

(∀x ∈ ]1, +∞[) , arctan (2x/1−x2) = 2arctan x − π

3. Résolvons dans l’équation :

∎ (E) : arctan (x) + arctan (2x) = π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’équation (E).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’équation n’admet pas des solutions dans .

Soit x ∈ ]0, +∞[ , alors arctan x ∈ ]0, π/2[ et (π/3 − arctan (x)) ∈ ]− π/6, π/3[ . Donc

(E) ⇔ arctan 2x = π/3 − arctan (x)

⇔ tan (arctan 2x) = tan (π/3 − arctan (x))

2x = √3−x/1+√3x

2x(1 + √3x) = √3 − x

⇔  2√3x2 + 3x − √3 = 0

x = √11−√3/4 ou x = −√99−3√3/12 <0

x = √11−√3/4

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = {√11−√3/4}

∎ (I) : arctan (x) + arctan (2x) > π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’inéquation (I).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’inéquation n’admet pas des solutions dans .

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Devoir de maison limites et continuité Terminale

Toutes les réponses doivent être justifiées sauf si aucune justification n’est demandée

Exercice 1 (Les questions sont indépendantes) / Devoir de maison limites et continuité Terminale
  1. Calculer :

limx→−∞ 2x − 1 − √4x2 +3x − 2

limx→−∞ x√x/x−1 − x − 1

limx→+∞ 2x − 3/3√x+1 − 5

limx→+∞ 3√x2 + 1 − 3√x

2. Simplifier l’expression suivante :

A = (15√35 × 3√9 × 5√93) / 5√3

3. Résoudre dans l’ensemble les équations suivantes :

(E) : x4 = 12

(E) : 3√2x +1 − 16 = 0

Exercice 2 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2√x − x

  1. Déterminer Dƒ , puis déterminer le tableau de variation de la fonction ƒ.
  2. Montrer, en utilisant le théorème de T.V.I que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle  ]3,5[ , puis vérifier que α = α2/4 .
  3. Déterminer les solutions de l’équation ƒ(x) = 0 sans utiliser le théorème de TVI.
  4. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [0,1] .

a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J.

b) Donner le tableau de variation de la fonction g−1 sur J .

c) Déterminer g−1 (x) pour tout xJ .

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle I = ]−1,+∞[ par :

ƒ(x) = x/√x+1

  1. Calculer ƒ(0), limx→+∞ ƒ(x) et limx→1+ ƒ(x).
  2. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur I , puis calculer ƒ'(x), en déduire le tableau de variations de ƒ.
  3. Montrer que ƒ admet une fonction réciproque sur un intervalle J à déterminer.
  4. Donner le tableau de variation de ƒ−1
  5. Déterminer ƒ−1(x) pour tout xJ .

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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