Limites et continuité exercices corrigés

Limites et continuité exercices corrigés pdf bac. Série d’exercices numéro 1 sur les limites et continuité (2éme année Bac / Terminale)

Exercice 1 (Calcul des limites)

Calculer les limites suivantes :

1. lim_x→+∞ √x² + 1 − √x² − 1
2. lim_x→+∞ √x² + 4x − x
3. lim_x→+∞ √x² + x − x
4. lim_{x→ −2} x³ +2x² − x − 2/x² − 4
5. lim_x→ 3 √3x − 3/x − 3
6. lim_x→ π/4 tan x − 1/x − π/4

Exercice 2 (La continuité en un point)

Etudier la continuité de la fonction ƒ en x₀.

ƒ(x) = x² − 1/|x − 1| si x ≠ 1 , x₀ =1

ƒ(1) = 2

ƒ(x) = 2x³− x − 14/x²− x − 2 si x > 2

ƒ(x) = x − 2/2x²+ x − 10 si x < 2 , x₀ = 2

ƒ(2) = 1/9

Exercice 3 (Continuité sur un intervalle)

Etudier la continuité de la fonction ƒ sur D_ƒ dans chaque cas.

1. ƒ(x) = x + √x + 1
2. ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x − 1
3. ƒ(x) = 2√x − x
4. ƒ(x) = √1 + x/1 − x

Exercice 4 (L’image d’un intervalle)

On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x − 1

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction ƒ .
2. Etudier les variations de la fonction ƒ sur D_ƒ , puis déduire le tableau de variation.
3. Déterminer l’image des intervalles suivants par la fonction ƒ .

]−∞,1/2],  [0, 1/2] , ]1, 3/2]

Exercice 5 (la fonction réciproque)

On considère la fonction ƒ définie sur ]−∞, 2] par :

ƒ(x) = x² − 4x +1

1. Montrer que ƒ admet une fonction réciproque sur un intervalle J à déterminer.
2. Donner le tableau de variation de la fonction ƒ , puis déduire le tableau de variation de la fonction ƒ⁻¹

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Correction de la série d’exercices (Limites et continuité exercices corrigés)

Exercice 2 (Limites et continuité exercices corrigés)

La continuité de la fonction ƒ en x₀.

1. On détermine le tableau de signe de : x − 1

à gauche de 1, l’expression x − 1 est négative. C’est-à-dire : ∣x − 1∣ = −(x − 1). Donc

lim_x→1⁻ x²−1/∣x − 1∣ = lim_x→1⁻ (x − 1)(x + 1)/−(x − 1) = lim_x→1⁻ − (x + 1) = − 2 ≠ ƒ(1)

Ce qui signifie que la fonction ƒ n’est pas continue à gauche de 1. À droite de 1, l’expression x − 1 est positive. C’est-à-dire : ∣x − 1∣ = x − 1. Donc

lim_x→1⁺ x²−1/∣x−1∣ = lim_x→1⁺ (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = lim_x→1⁺ (x + 1) = 2 = ƒ(1)

Ce qui signifie que la fonction ƒ est continue à droite de 1, et par conséquent la fonction ƒ n’est pas continue en 1. Car la fonction n’est pas continue à gauche de 1.

2. Voir la correction de l’exemple qu’on a fait en cours.

3. { ƒ(x) = 2 + x²sin(1/x), x ≠ 0 et ƒ(0) = 2

N’oublie pas l’encadrement suivant :

∀x ∈ ℝ, ∣sin x∣ ≤ 1

Soit x ∈ ℝ*,

− 1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ⇔  −x² ≤ x²sin(1/x) ≤ x² ⇔ 2 − x²≤ 2 + x²sin(1/x) ≤ 2 + x²

Donc; on obtient l’encadrement suivant :

2 − x² ≤ ƒ(x) ≤ 2 + x²

Comme lim_x→0 2 − x² = 2 et lim_x→0 2 + x² = 2, alors d’après le théorème de gendarme on obtient,

lim_x→0 ƒ(x) = 2

Ce qui signifie que ƒ est continue en 0.

Exercice 3 (la continuité sur un intervalle)

1. Voir la correction de l’exemple qu’on a fait en cours.
2. ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x−1

On a : D_ƒ = ℝ − {1} = ]−∞, 1[∪]1, +∞[.

La fonction ƒ s’écrit comme la somme de deux fonctions.

u(x) = 4x + 1 et v(x) = 1/x−1

• La fonction u est une fonction polynôme continue sur ℝ, et surtout sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[.

• La fonction v est continue sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[, car c’est une fonction rationnelle.

Donc la fonction ƒ est continue sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[ comme la somme de deux fonctions continues sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[.

3. ƒ(x) = 2√x − x

On a : D_ƒ = ℝ⁺.

La fonction ƒ s’écrit comme la différence de deux fonctions.

u(x) = 2√x et v(x) = x

• La fonction v est une fonction polynôme continue sur ℝ, et surtout sur ℝ⁺.

• La fonction u est une fonction continue sur ℝ⁺.

Donc, la fonction ƒ est continue sur ℝ⁺ comme la différence de deux fonctions continues sur ℝ⁺.

4. ƒ(x) = √1+x/1−x

On cherche D_ƒ.

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ 1 − x ≠ 0 et 1+x/1−x ≥ 0}

On cherche le tableau de signe de l’expression : 1+x/1−x.

l’expression 1+x/1−x est positive si et seulement si x ∈ [−1, 1[.

D_ƒ = [−1, 1[

• La fonction x → 1+x/1−x est continue et positive sur [−1, 1[. Donc, ƒ est continue sur [−1, 1[.

Exercice 4 (L’image d’un intervalle)

On considère la fonction ƒ définie sur :

ƒ(x) = 4x + 1 + 1/x − 1

1. D_ƒ = ]−∞, 1[∪]1, +∞[ .
2. Calculons ƒ′(x) pour tout x ∈ ]−∞, 1[∪]1, +∞[ :

La fonction ƒ s’écrit comme la somme de deux fonctions dérivables sur ]−∞, 1[∪]1, +∞[ .

ƒ′(x) = 4 − (x − 1)′/(x − 1)² = 4 − 1/(x − 1)² = 4x²− 8x+3/(x−1)²

Comme (x − 1)² ≻ 0, alors le signe de ƒ′(x) est celui du trinôme : 4x² − 8x + 3.

On factorise 4x² − 8x + 3, après une résolution immédiate on trouve les solutions de l’équation 4x² − 8x + 3 = 0, sont : x₁ = 1/2 et x₂ = 3/2.

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Devoir surveillé limites et continuité (2 bac sm/ Terminale)

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :

lim_x→1 x^2/3−1/arctan(x−1) , lim_x→+∞ xarctan (√x) − π/2x , lim_x→−∞ x−∛x²/x ,

lim_x→+∞ (2x + 1 − ∛x−8x³) , lim_x→0⁺ 1/x arctan (√x/x+1) , lim_x→+∞ 2∛x+1−⁵√x.^₁₅√x²/∛x−1−∛x

lim_x→+∞ 1/x(x^2/3−x^1/3)^3/2

Exercice 2

1. Montrer que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.
2. Montrer que : (∀x ∈ ]1, +∞[), arctan (2x/1−x²) = 2arctan (x) − π.
3. Résoudre dans ℝ ce qui suit : arctan (x) + arctan (2x) = π/3 et arctan (x) + arctan (2x) > π/3.

Exercice 3

Soit ƒ une fonction continue sur [0, 1] telle que : (∀x ∈ [0, 1] , ƒ(x) ≤ 0) et ƒ(0) = ƒ(1) = 0.

Montrer que : (∀n ∈ ℕ*)(∃c ∈ [0, 1]) , ƒ(c) = ƒ(c + 1/c).

Exercice 4

On considère la fonction g définie sur I = [0, π/4[ par : g(x) = −1/1−tan³(x).

1. Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J à déterminer.
2. Dresser le tableau de variations de g⁻¹.
3. Calculer g⁻¹(x) pour tout x ∈ J.

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Correction du devoir surveillé (Limites et continuité exercices corrigés)

Exercice 2

1. Montrons que : 2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Calculons d’abord : 2 arctan 2.

On a 2 > 0 alors arctan (2) ∈ ]0, π/2[ d’où 2 arctan (2) ∈ ]0, π[. Donc

tan(2. arctan 2) = 2tan(arctan (2))/1−tan²(arctan 2) = 2×2/1−4 = −4/3

puisque : tan (2. arctan (2)) < 0, alors

2. arctan (2) ∊ ]π/2 , π[ ⇔ π/2 < 2.arctan 2 < π

⇔ − π/2 < (2.arctan (2)) − π < 0

⇔ (2. arctan (2) − π) ∈ ]−π/2 , 0[

Or : tan(2. arctan 2) = tan((2. arctan(2)) − π), et comme tan (2. arctan 2) = −4/3 alors

tan((2. arctan(2)) − π) = −4/3 ⇔ arctan(tan((2. arctan(2)) − π) = arctan (−4/3)

Donc

2. arctan (2) − π = arctan (−4/3)

Ceci signifie que

2arctan (2) = π + arctan (−4/3) = π − arctan (4/3)

D’où

2arctan (2) + arctan (4/3) = π − arctan (4/3) + arctan (4/3) = π

On obtient

2arctan (2) + arctan (4/3) = π.

Montrons que pour tout x ∈ ]1, +∞[, on a arctan (2x/1−x²) = 2arctan (x) − π.

Soit x ∈ ]1, +∞[, alors il existe un unique α ∈ ]π/4, π/2[ tel que : tan α = x. (C’est-à-dire : α = arctan

Donc

2x/1−x² = 2tan α/1−tan²α = tan (2α) (∴)

On a

π/4 < α < π/2 ⇔ π/2 < 2α < π ⇔ −π/2 < 2α − π < 0 ⇔ (2α − π) ∈ ]−π/2, 0[

et comme : tan (2α) = tan (2α − π) . Donc d’après (∴) on obtient

arctan (2x/1−x²) = arctan (tan(2α − π))

= 2α − π

= 2arctan x − π

Donc

(∀x ∈ ]1, +∞[) , arctan (2x/1−x²) = 2arctan x − π

3. Résolvons dans ℝ l’équation :

∎ (E) : arctan (x) + arctan (2x) = π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’équation (E).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’équation n’admet pas des solutions dans ℝ⁻.

Soit x ∈ ]0, +∞[ , alors arctan x ∈ ]0, π/2[ et (π/3 − arctan (x)) ∈ ]− π/6, π/3[ . Donc

(E) ⇔ arctan 2x = π/3 − arctan (x)

⇔ tan (arctan 2x) = tan (π/3 − arctan (x))

⇔ 2x = √3−x/1+√3x

⇔ 2x(1 + √3x) = √3 − x

⇔  2√3x² + 3x − √3 = 0

⇔ x = √11−√3/4 ou x = −√99−3√3/12 _<0

⇔ x = √11−√3/4

Donc l’ensemble des solutions de l’équation (E) est :

S = {√11−√3/4}

∎ (I) : arctan (x) + arctan (2x) > π/3.

Soit S l’ensemble des solutions de l’inéquation (I).

On sait que le signe de arctan (x) est celui de x, et puisque π/3 > 0 alors nécessairement x > 0.

Donc S ⊂ ]0, +∞[. C’est-à-dire que l’inéquation n’admet pas des solutions dans ℝ⁻.

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Devoir de maison limites et continuité Terminale

Toutes les réponses doivent être justifiées sauf si aucune justification n’est demandée

Exercice 1 (Les questions sont indépendantes) / Devoir de maison limites et continuité Terminale

1. Calculer :

lim_x→−∞ 2x − 1 − √4x² +3x − 2

lim_x→−∞ ^x√x/x−1 − x − 1

lim_x→+∞ 2x − 3/³√x+1 − 5

lim_x→+∞ ³√x² + 1 − ³√x

2. Simplifier l’expression suivante :

A = (¹⁵√3⁵ × ³√9 × ⁵√9³) / ⁵√3

3. Résoudre dans l’ensemble ℝ les équations suivantes :

(E) : x⁴ = 12

(E) : ³√2x +1 − 16 = 0

Exercice 2 On considère la fonction ƒ définie par :

ƒ(x) = 2√x − x

1. Déterminer D_ƒ , puis déterminer le tableau de variation de la fonction ƒ.
2. Montrer, en utilisant le théorème de T.V.I que l’équation ƒ(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle  ]3,5[ , puis vérifier que α = α²/4 .
3. Déterminer les solutions de l’équation ƒ(x) = 0 sans utiliser le théorème de TVI.
4. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [0,1] .

a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J.

b) Donner le tableau de variation de la fonction g⁻¹ sur J .

c) Déterminer g⁻¹ (x) pour tout x ∈ J .

Exercice 3

On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle I = ]−1,+∞[ par :

ƒ(x) = x/√x+1

1. Calculer ƒ(0), lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→1⁺ ƒ(x).
2. Justifier la dérivabilité de la fonction ƒ sur I , puis calculer ƒ'(x), en déduire le tableau de variations de ƒ.
3. Montrer que ƒ admet une fonction réciproque sur un intervalle J à déterminer.
4. Donner le tableau de variation de ƒ⁻¹
5. Déterminer ƒ⁻¹(x) pour tout x ∈ J .

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