Les suites numériques 2 bac cours

Les suites numériques 2 bac cours

Les suites numériques 2 bac cours.(Bac/ Terminale)

Rappel (1ère S)
Suites majorées, minorées et bornées (Les suites numériques 2 bac cours)
Définition 1 (Les suites numériques 2 bac cours)
  • La suite (un)n est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout entier n, unM.
  • La suite (un)n est minorée s’il existe un réel m tel que pour tout entier n, unm.
  • La suite (un)n est bornée si elle à la fois majorée et minorée.
Remarque 2
  • Les suites de terme général cos n ou (−1)n sont bornées.
  • La suite de terme général n2 est minorée par 0.
Exemple 3

Soit (un)n la suite numérique définie par :

(∀n) , un = 2+cosn/3−sin√n

Soit n.

On a

−1 ≤ cos n11 2 + cos n 3

et

−1 ≤ sin√n123 − sin√n41/41/3−sin√n1/2

donc

1/42+cosn/3−sin√n3/2

d’où

(∀n) , 1/4un3/2

ceci signifie que la suite (un)n est bornée.

Sens de variations (Les suites numériques 2 bac cours)
Définition 4

Soit (un)n une suite numérique.

  • On dit que (un)n est croissante si pour tout n, un+1un.
  • On dit que (un)n est décroissante si pour tout n, un+1 un.
  • On dit que (un)n est constante si pour tout n, un+1 = un.
  • On dit que (un)n est monotone si la suite (un)n est croissante et décroissante.
Suite arithmétique, suite géométrique
Suite arithmétique
Définition 5

Une suite (un)n est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que

(∀n) , un+1 − un = r

Le nombre r est appelé la raison de la suite.

Propriété 6

Si la suite (un)n est une suite arithmétique de raison r alors pour tout (n, p) ∈ 2 :

un = up + (n − p)r et up + up+1 + … + un = (n − p + 1)(up + un)/2

Suite géométrique
Définition 7

On dit que la suite (un)n est géométrique s’il existe un réel q tel que :

(∀n ) , un+1 = q.un

Le nombre q est appelé la raison de la suite.

Propriété 8

Si la suite (un)n est une suite géométrique de raison q ≠ 1 alors pour tout (n, p) ∈ 2 :

un = up.qn−p et up + up+1 + … + un = up.1−qn−p+1/1−q (np)

Limite d’une suite numérique

Suite de limite infinie
Définition 9
  • On dit que la suite (un)n a pour limite +∞ si tout intervalle de type ]A, +∞[ où A0, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ce qui revient à dire :

(∀A0) , (∃N) , (∀nN) , un ∈ ]A, +∞[ .

On dit alors que la suite (un)n diverge vers +∞ et on notera

limn→+∞ un = +∞ ou lim un = +∞

  • On dit que la suite (un)n a pour limite −∞ si tout intervalle de type ]−∞, −A[ où A0, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ce qui revient à dire :

(∀A0) , (∃N) , (∀n N) , un ∈ ]−∞, −A[ .

On dit alors que la suite (un)n diverge vers −∞ et on notera

limn→+∞ un = +∞ ou lim un = −∞

Exemple 10

On considère la suite numérique (un)n définie par :

un = n2

Montrons que : limn→+∞ un = +∞ .

Soit A0. On a alors :

un ∈ ]A, +∞[ ⇔ un A n2An√A

Posons N = E(√A) + 1, alors N√A et N. Donc

nN ⇒  n√An2Aun ∈ ]A, +∞[ .

C’est-à-dire

limn→+∞ un = +∞

Limite infinie des suites usuelles
Propriété 11

limn→+∞ √n = +∞, limn→+∞ n = +∞, limn→+∞ n2 = +∞ 

Propriété 12 (Admis)    

Soit (un)n et (vn)n deux suites numériques telles que pour tout n : unvn.

  • Si limn→+∞ un = +∞, alors limn→+∞ vn = +∞.
  • Si limn→+∞ vn = −∞, alors limn→+∞ un = −∞.
Convergence d’une suite numérique
Définition 13

On dit qu’un réel l est la limite d’une suite (un)n si tout intervalle ouvert centré en l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Autrement dit :

(∀ε0) , (∃N0) , (∀εnN) , ∣un − l∣ < ε.

Et on écrit : limn→+∞ un = +∞ ou lim un = +∞.

Définition 14

On dit qu’une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle. Dans le cas contraire on dit que la suite est divergente.

Exemple 15

Soit (un)n la suite numérique définie par :

un = 3n−1/n+1

Montrons que : limn→+∞ un = 3.

Soit ε0, pour tout n, on a : ∣un − 3∣ = ∣3n−1/n+1 − 3∣ = 4/n+1.

Pour avoir ∣un − 3∣ < ε, il suffit que : 4/n+1 < ε, donc : n4/ε − 1.

On pose : N = E(∣4/ε − 1∣) + 1, d’où N ≻ ∣4/ε − 1∣ et N. On a pour tout nN : n ≻ ∣4/ε − 1∣ .

Donc

(∀ε0) , (∃N 0) , (∀εnN) , ∣un − 3∣ < ε.

C’est-à-dire

limn→+∞ un = 3.

Remarque 16

Une suite qui est divergente n’admet pas nécessairement de limite infinie.

Par exemple, la suite de terme générale (−1)n prend alternativement les valeurs −1 et 1. Elle n’admet donc pas de limite finie, ni infinie. Elle est donc divergente.

Propriété 17

La limite d’une suite numérique, lorsqu’elle existe est unique.

Opérations sur les limites
Propriété 18

Soit (un)n et (vn)n deux suites numériques convergentes. Alors :

  • La suite (un + vn)n est convergente et de plus : limn→+∞ (un + vn) = limn→+∞ (un) + limn→+∞ (vn).
  • La suite (unvn)n est convergente et de plus : limn→+∞ (unvn) = limn→+∞ (un) × limn→+∞ (vn).
  • Si limn→+∞ (vn) ≠ 0, alors la suite (un/vn)n est convergente et de plus : limn→+∞ (un/vn) = limn→+∞ (un)/limn→+∞(vn).
Exemple 19
  • Soit (un)n* la suite numérique définie pour tout n* par : un = 3 − 1/n + 4/√n .

limn→+∞ un = limn→+∞ 3 − limn→+∞ 1/n + limn→+∞ 4/√n = 3, car : limn→+∞ 1/n = 0 et limn→+∞ 1/√n = 0

  • Soit (vn)n la suite numérique définie pour tout n par : vn = 2√n+7/3n−2 .
  • Soit (wn)n la suite numérique définie pour tout n par : wn = 2√n−7/7√n+3.
Opérations sur les limites
Limite d’une somme
Limite d’un produit
Limite d’un inverse
Exemple 20

Calculer la limite de chacune des suites suivantes définies par :

limn→+∞ (n − 3√n) , limn→+∞ 5n2+4/4n2+3n et limn→+∞ (√n+2 − √n)

Limites et ordre
Propriété 21

Soit (un)n et (vn)n deux suites numériques convergentes. Alors :

Si la suite (un)n est positive alors : limn→+∞ un0.

Si unvn à partir d’un certain rang, alors : limn→+∞ un ≤ limn→+∞ vn.

Théorème de convergence monotone
Théorème 22
  • Toute suite croissante majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante minorée est convergente.
Exemple 23

On considère la suite (un)n définie par :

{ u0 = 0 et (∀n), un+1 = √2+un

  • Montrons par récurrence que pour tout n : 0 u0 2.
    • Pour n = 0, on a u0 = 0, donc : 0u02.
    • Soit n. Supposons que 0 un2 et montrons que 0 un+12.

0un 2 22 + un4√2√2+un 20 un+1 2

  • D’après le principe de récurrence on conclut que :

(∀n) , 0 u0 2

  • Étudions la monotonie de la suite (un)n .

Soit n.

un+1 − un = √2+un − un

= (√2+un − un)(√2+un + un)/√2+un + un

= 2+un−un2/√2+un + un

= −un2+un+2/√2+un + un

= (2 − un)(un + 1)/√2+un + un

Comme un ∈ [0, 2], alors (2 − un)(un + 1)/√2+un + un 0 pour tout n, donc un+1 − un 0. Ceci signifie que la suite (un)n est croissante et comme elle est majorée par 2, donc elle est convergente.

Propriété 24  
  • Tous suite croissante non majorée tend vers +∞.
  • Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.

Critères de convergence

Existence de la limite par encadrement
Théorème 25

Soit (un)n , (vn)n et (wn)n trois suites définies sur .

Si à partir d’un certain rang, unvn wn et limn→+∞ un = limn→+∞ wn = l alors limn→+∞ vn = l. Ce résultat est appelé ″ Théorème de gendarmes″.

Exemple 26

Soit (un)n la suite numérique définie par :

un = √n.sinn/n+1

Soit n.

1 ≤ sin n1−√n√n.sin n√n−√n/n+1√n.sin n/n+1√n/n+1−√n/n+1un√n/n+1

Comme limn→+∞ −√n/n+1 = limn→+∞ −√n/n(n+1/n) = limn→+∞ −1/√n(1+1/n) = 0 et limn→+∞ √n/n+1 = 0. Donc, d’après le théorème de gendarmes on conclut que :

limn→+∞ un = 0

Limite d’une suite géométrique
Propriété 27

Soit q un nombre réel non nul.

  • Si q1 alors limn→+∞ qn = +∞.
  • Si −1 < q < 1 alors limn→+∞ qn = 0.
  • Si q = 1 alors limn→+∞ qn = 1.
  • Si q−1 alors la suite (qn)n n’admet pas de limite.
Exemple 28
  • On a limn→+∞ (√3/2)n = 0 car −1 < √3/2 < 1.
  • On a limn→+∞ (5/2)n = 0 car 5/21.
  • La suite ((−7/2)n)n n’a pas de limite quand n tend vers +∞.

Suite de la forme un+1 = ƒ(un)

Propriété 29

Soit ƒ une fonction continue sur un intervalle I telle que : ƒ(I) ⊂ I.

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Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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