Fonction périodique exercices corrigés

Fonction périodique exercices corrigés

Fonction périodique exercices corrigés. (Première s/ 1ère année bac)

Exercice 1 (Fonction périodique exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

ƒ(x) = 1/2sin(2x) − cos x

  1. Montrer que est une période de la fonction ƒ.
  2. Montrer que pour tout x ∈ :

ƒ′(x) = 2(1 − sin x)(1/2 + sin x)

3. Étudier les variations de ƒ sur I = [−π, π].

4. Résoudre dans J = [−5π/2, 7π/3] l’inéquation suivante : ƒ(x) ≤ 0.

5. Construire la courbe (Cƒ) sur l’intervalle J.

6. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre de solutions de l’équation :

xJ, m + cosx(1 − sin x) = 0

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

ƒ(x) = sin2x − 2cos x − 1

  1. Montrer que la fonction ƒ est paire.
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur I = [0, π].
  3. Étudier la concavité de la courbe (Cƒ) sur I et déterminer les points d’inflexion de (Cƒ).
    1. Déterminer les points d’intersection de la courbe (Cƒ) avec l’axe des abscisses sur l’intervalle I.
    2. Construire la courbe (Cƒ) sur [−2π, 2π].
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Correction des exercices (Fonction périodique exercices corrigés)

Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique définie sur par :

ƒ(x) = 1/2sin(2x) − cos x

  1. Montrons que est une période de ƒ :

(∀x) , x + 2π (1)

∎Soit x.

ƒ(x + 2π) = 1/2sin(2(x + 2π)) − cos(x + 2π)

= 1/2sin(2x + 4π) − cos (x)

= 1/2sin(2x) − cos(x) = ƒ(x) (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que la fonction ƒ est périodique.

2. La fonction ƒ est dérivable sur comme la somme de deux fonctions dérivables :

x1/2sin(2x) et x → −cos x.

Soit x.

ƒ′(x) = 1/2 × 2 × cos (2x) + sin x

= cos(2x) + sin x

= −2sin2x + sin x + 1

= −(2sin x + 1)(sin x − 1)

= 2(1 − sin x)(1/2 + sin x)

Donc

(∀x) , ƒ′(x) = 2(1 − sin x)(1/2 + sin x).

3. Les variations de ƒ sur [−π, π] :

Soit x ∈ [−π, π] .

ƒ′(x) = 0 ⇔  2(1 − sin x)(1/2 + sin x) = 0

⇔  sin x = 1 ou sin x = − 1/2 = sin (−π/6)

⇔  x = π/2 + 2kπ / k ou { x = −π/6 + 2kπ / k ou x = 7π/6 + 2kπ / k

comme x ∈ [−π, π] alors x ∈ {−5π/6, −π/6, π/2} . Donc d’après le cercle trigonométrique on en déduit le tableau suivant :

4. On résout dans [−5π/2, 7π/3] l’inéquation : ƒ(x) ≤ 0.

On résout l’équation ƒ(x) = 0 dans [−5π/2, 7π/3] .

Soit x ∈ [−5π/2, 7π/3] .

ƒ(x) = 0 ⇔  1/2sin(2x) − cos x = 0

⇔ sin x. cos x − cos x = 0

⇔ cos x(sin x − 1) = 0

⇔ cos x = 0 ou sin x = 1

⇔ x = π/2 + kπ / k ou x = π/2 + 2kπ / k

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [−5π/2, 7π/3] .

− 5π/2π/2 + kπ 7π/3

⇔ −5/21/2 + k7/3

⇔ −5/2 − 1/2 k7/3 − 1/2

⇔ −3k11/6

comme k, alors : k ∈ {−3, −2, −1, 0, 1} . Donc

  • Si k = −3, alors x = −5π/2.
  • Si k = −2, alors x = −3π/2.
  • Si k = −1, alors x = −π/2.
  • Si k = 0, alors x = π/2.
  • Si k = 1, alors x = 3π/2.

−5π/2π/2 + 2kπ 7π/3

⇔ −5/2 1/2 + 2k 7/3

⇔ −5/2 − 1/22k7/3 − 1/2

⇔ −32k 11/6

⇔ −3/2k 11/12

comme k , alors : k ∈ {−1, 0} . Donc

  • Si k = −1 alors : x = π/2 − 2π = −3π/2.
  • Si k = 0, alors : x = π/2.

Donc les solutions de l’équation ƒ(x) = 0 dans [−5π/2, 7π/3] sont : −5π/2, −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2

D’après le cercle trigonométrique on en déduit le tableau de signe suivant

Donc l’ensemble des solutions de l’équation ƒ(x) ≤ 0 est :

S = [−5π/2, −3π/2] ∪ [−π/2, π/2] ∪ [3π/2, 7π/3]

5. On construit d’abord la restriction de la courbe (Cƒ) sur I puis on complète la construction sur J en utilisant la périodicité de la fonction ƒ. On obtient la courbe suivante :

6. Soit xJ.

m + cos x(1 − sin x) = 0 ⇔  m + cos x − cos x. sin x = 0

⇔ m + cos x − 1/2sin(2x) = 0

⇔ 1/2sin(2x) − cos x = m

⇔ ƒ(x) = m

Graphiquement on déduit les solutions de l’équation (E) : ƒ(x) = m.

  • Si m ∈ ]3√3/4, +∞[, alors l’équation (E) n’admet aucune solution réel.
  • Si m = 3√3/4 , alors l’équation (E) admet deux solutions distinctes.
  • Si m ∈ ]0, 3√3/4[ alors l’équation (E) admet 4 solutions distinctes.
  • Si m = 0 alors l’équation (E) admet 5 solutions distinctes.
  • Si m ∈ ]−3√3/4, 0[ alors l’équation (E) admet 6 solutions distinctes.
  • Si m = −3√3/4 alors l’équation (E) admet 3 solutions distinctes.
  • Si m ∈ ]−∞, −3√3/4[ alors l’équation (E) n’admet aucune solution réel.
Exercice 2

On considère ƒ la fonction numérique définie sur par :

ƒ(x) = sin2x − 2cos x − 1

  1. Montrons que la fonction ƒ est paire.

On a : Dƒ = .

  • (∀xDƒ) , −x Dƒ .
  • Soit x Dƒ.

ƒ(−x) = sin2(−x) − 2cos(−x) − 1 = sin2x − 2cos x − 1 = ƒ(x)

Donc la fonction ƒ est paire.

D’autre part, on a

(∀x) , x + 2π

et pour tout x :

ƒ(x + 2π) = sin2(x + 2π) − 2cos(x + 2π) − 1

= sin2x − 2cosx − 1

= ƒ(x)

Ceci signifie que  est une période de la fonction ƒ. Donc on peut restreindre l’étude de la fonction ƒ sur DE = [0, π] ∩ Dƒ = [0, π].

2. La fonction ƒ est dérivable et surtout sur I = [0, π] .

Soit x I.

ƒ′(x) = 2cos x sin x + 2sin x

= 2sin x. (cos x + 1)

Donc

(∀x I), ƒ′(x) = 2sin x.(cos x + 1)

Soit x I.

ƒ′(x) = 0 2sin x. (cos x + 1) = 0

⇔ sin x = 0 ou cos x = − 1

x = kπ / k ou x = π + 2kπ / k

comme xI alors les solutions de l’équation ƒ′(x) = 0 dans I sont : 0 et π.

3. La concavité de la courbe (Cƒ) sur I.

La fonction ƒ est deux fois dérivables sur I.

Soit x I.

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Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).
    2. En déduire que (Cƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
  1. Montrer que limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3, puis interpréter géométriquement chaque résultat.
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 3/x2√x2+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T1) et (T2) à (Cƒ) aux points d’abscisses x1 = 1 et x2 = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (Cƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x2

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
    1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
    2. Justifier que (Cƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
    1. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
    2. Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 1/(1+x2)√1+x2 − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur .

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

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Correction du devoir surveillé
Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

  1. a) Calculons limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x)

limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ 2 − √x2+3/x = −∞, car : limx→0+ √x2+3/x = +∞ 

et

limx→0 ƒ(x) = limx→0 2 − √x2+3/x = +∞, car : limx→0 √x2+3/x = −∞ 

b) Comme limx→0+ ƒ(x) = +∞ et limx→0 ƒ(x) = −∞, alors (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3.

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Vous pouvez aussi consulter :

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

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