Fonction périodique exercices corrigés. (1ère année bac)
Exercice 1 (Fonction périodique exercices corrigés)
Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :
ƒ(x) = 1/2sin(2x) − cos x
- Montrer que 2π est une période de la fonction ƒ.
- Montrer que pour tout x ∈ ℝ :
ƒ′(x) = 2(1 − sin x)(1/2 + sin x)
3. Étudier les variations de ƒ sur I = [−π, π].
4. Résoudre dans J = [−5π/2, 7π/3] l’inéquation suivante : ƒ(x) ≤ 0.
5. Construire la courbe (Cƒ) sur l’intervalle J.
6. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre de solutions de l’équation :
x ∈ J, m + cosx(1 − sin x) = 0
Exercice 2
Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :
ƒ(x) = sin2x − 2cos x − 1
- Montrer que la fonction ƒ est paire.
- Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur I = [0, π].
- Étudier la concavité de la courbe (Cƒ) sur I et déterminer les points d’inflexion de (Cƒ).
- Déterminer les points d’intersection de la courbe (Cƒ) avec l’axe des abscisses sur l’intervalle I.
- Construire la courbe (Cƒ) sur [−2π, 2π].
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Correction des exercices (Fonction périodique exercices corrigés)
Exercice 1
Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :
ƒ(x) = 1/2sin(2x) − cos x
- Montrons que 2π est une période de ƒ :
∎
(∀x ∈ ℝ) , x + 2π ∈ ℝ (1)
∎Soit x ∈ ℝ.
ƒ(x + 2π) = 1/2sin(2(x + 2π)) − cos(x + 2π)
= 1/2sin(2x + 4π) − cos (x)
= 1/2sin(2x) − cos(x) = ƒ(x) (2)
D’après (1) et (2) on en déduit que la fonction ƒ est périodique.
2. La fonction ƒ est dérivable sur ℝ comme la somme de deux fonctions dérivables :
x → 1/2sin(2x) et x → −cos x.
Soit x ∈ ℝ.
ƒ′(x) = 1/2 × 2 × cos (2x) + sin x
= cos(2x) + sin x
= −2sin2x + sin x + 1
= −(2sin x + 1)(sin x − 1)
= 2(1 − sin x)(1/2 + sin x)
Donc
(∀x ∈ ℝ) , ƒ′(x) = 2(1 − sin x)(1/2 + sin x).
3. Les variations de ƒ sur [−π, π] :
Soit x ∈ [−π, π] .
ƒ′(x) = 0 ⇔ 2(1 − sin x)(1/2 + sin x) = 0
⇔ sin x = 1 ou sin x = − 1/2 = sin (−π/6)
⇔ x = π/2 + 2kπ / k ∈ ℤ ou { x = −π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 7π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ
comme x ∈ [−π, π] alors x ∈ {−5π/6, −π/6, π/2} . Donc d’après le cercle trigonométrique on en déduit le tableau suivant :
4. On résout dans [−5π/2, 7π/3] l’inéquation : ƒ(x) ≤ 0.
On résout l’équation ƒ(x) = 0 dans [−5π/2, 7π/3] .
Soit x ∈ [−5π/2, 7π/3] .
ƒ(x) = 0 ⇔ 1/2sin(2x) − cos x = 0
⇔ sin x. cos x − cos x = 0
⇔ cos x(sin x − 1) = 0
⇔ cos x = 0 ou sin x = 1
⇔ x = π/2 + kπ / k ∈ ℤ ou x = π/2 + 2kπ / k ∈ ℤ
On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [−5π/2, 7π/3] .
∎
− 5π/2 ≤ π/2 + kπ ≤ 7π/3
⇔ −5/2 ≤ 1/2 + k ≤ 7/3
⇔ −5/2 − 1/2 ≤ k ≤ 7/3 − 1/2
⇔ −3 ≤ k ≤ 11/6
comme k ∈ ℤ, alors : k ∈ {−3, −2, −1, 0, 1} . Donc
- Si k = −3, alors x = −5π/2.
- Si k = −2, alors x = −3π/2.
- Si k = −1, alors x = −π/2.
- Si k = 0, alors x = π/2.
- Si k = 1, alors x = 3π/2.
∎
−5π/2 ≤ π/2 + 2kπ ≤ 7π/3
⇔ −5/2 ≤ 1/2 + 2k ≤ 7/3
⇔ −5/2 − 1/2 ≤ 2k ≤ 7/3 − 1/2
⇔ −3 ≤ 2k ≤ 11/6
⇔ −3/2 ≤ k ≤ 11/12
comme k ∈ ℤ, alors : k ∈ {−1, 0} . Donc
- Si k = −1 alors : x = π/2 − 2π = −3π/2.
- Si k = 0, alors : x = π/2.
Donc les solutions de l’équation ƒ(x) = 0 dans [−5π/2, 7π/3] sont : −5π/2, −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2
D’après le cercle trigonométrique on en déduit le tableau de signe suivant
Donc l’ensemble des solutions de l’équation ƒ(x) ≤ 0 est :
S = [−5π/2, −3π/2] ∪ [−π/2, π/2] ∪ [3π/2, 7π/3]
5. On construit d’abord la restriction de la courbe (Cƒ) sur I puis on complète la construction sur J en utilisant la périodicité de la fonction ƒ. On obtient la courbe suivante :
6. Soit x ∈ J.
m + cos x(1 − sin x) = 0 ⇔ m + cos x − cos x. sin x = 0
⇔ m + cos x − 1/2sin(2x) = 0
⇔ 1/2sin(2x) − cos x = m
⇔ ƒ(x) = m
Graphiquement on déduit les solutions de l’équation (E) : ƒ(x) = m.
- Si m ∈ ]3√3/4, +∞[, alors l’équation (E) n’admet aucune solution réel.
- Si m = 3√3/4 , alors l’équation (E) admet deux solutions distinctes.
- Si m ∈ ]0, 3√3/4[ alors l’équation (E) admet 4 solutions distinctes.
- Si m = 0 alors l’équation (E) admet 5 solutions distinctes.
- Si m ∈ ]−3√3/4, 0[ alors l’équation (E) admet 6 solutions distinctes.
- Si m = −3√3/4 alors l’équation (E) admet 3 solutions distinctes.
- Si m ∈ ]−∞, −3√3/4[ alors l’équation (E) n’admet aucune solution réel.
Exercice 2
On considère ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :
ƒ(x) = sin2x − 2cos x − 1
- Montrons que la fonction ƒ est paire.
On a : Dƒ = ℝ.
- (∀x ∈ Dƒ) , −x ∈ Dƒ .
- Soit x ∈ Dƒ.
ƒ(−x) = sin2(−x) − 2cos(−x) − 1 = sin2x − 2cos x − 1 = ƒ(x)
Donc la fonction ƒ est paire.
D’autre part, on a
(∀x ∈ ℝ) , x + 2π ∈ ℝ
et pour tout x ∈ ℝ :
ƒ(x + 2π) = sin2(x + 2π) − 2cos(x + 2π) − 1
= sin2x − 2cosx − 1
= ƒ(x)
Ceci signifie que 2π est une période de la fonction ƒ. Donc on peut restreindre l’étude de la fonction ƒ sur DE = [0, π] ∩ Dƒ = [0, π].
2. La fonction ƒ est dérivable ℝ et surtout sur I = [0, π] .
Soit x ∈ I.
ƒ′(x) = 2cos x sin x + 2sin x
= 2sin x. (cos x + 1)
Donc
(∀x ∈ I), ƒ′(x) = 2sin x.(cos x + 1)
Soit x ∈ I.
ƒ′(x) = 0 ⇔ 2sin x. (cos x + 1) = 0
⇔ sin x = 0 ou cos x = − 1
⇔ x = kπ / k ∈ ℤ ou x = π + 2kπ / k ∈ ℤ
comme x ∈ I alors les solutions de l’équation ƒ′(x) = 0 dans I sont : 0 et π.
3. La concavité de la courbe (Cƒ) sur I.
La fonction ƒ est deux fois dérivables sur I.
Soit x ∈ I.
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Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s
Exercice 1
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = 2 − √x2+3/x
- Calculer limx→0+ ƒ(x) et limx→0− ƒ(x).
- En déduire que (Cƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 3/x2√x2+3
puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.
b) Écrire les équations des deux tangentes (T1) et (T2) à (Cƒ) aux points d’abscisses x1 = 1 et x2 = − 1 respectivement.
4. Déterminer les points d’intersections de (Cƒ) avec l’axe des abscisses.
5. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).
Exercice 2
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par :
ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x2
- Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
- Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
- Justifier que (Cƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
- Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
- Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
- a) Montrer que :
(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 1/(1+x2)√1+x2 − 1
b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur ℝ.
c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.
5. Construire la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).
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Correction du devoir surveillé
Exercice 1
On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :
ƒ(x) = 2 − √x2+3/x
- a) Calculons limx→0+ ƒ(x) et limx→0− ƒ(x)
limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ 2 − √x2+3/x = −∞, car : limx→0+ √x2+3/x = +∞
et
limx→0− ƒ(x) = limx→0− 2 − √x2+3/x = +∞, car : limx→0− √x2+3/x = −∞
b) Comme limx→0+ ƒ(x) = +∞ et limx→0− ƒ(x) = −∞, alors (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.
2. Montrons que : limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3.
Vous pouvez aussi consulter :