Fonction périodique exercices corrigés

Fonction périodique exercices corrigés. (1ère année bac)

Exercice 1 (Fonction périodique exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 1/2sin(2x) − cos x

1. Montrer que 2π est une période de la fonction ƒ.
2. Montrer que pour tout x ∈ ℝ :

ƒ′(x) = 2(1 − sin x)(1/2 + sin x)

3. Étudier les variations de ƒ sur I = [−π, π].

4. Résoudre dans J = [−5π/2, 7π/3] l’inéquation suivante : ƒ(x) ≤ 0.

5. Construire la courbe (C_ƒ) sur l’intervalle J.

6. Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre de solutions de l’équation :

x ∈ J, m + cosx(1 − sin x) = 0

Exercice 2

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = sin²x − 2cos x − 1

1. Montrer que la fonction ƒ est paire.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction ƒ sur I = [0, π].
3. Étudier la concavité de la courbe (C_ƒ) sur I et déterminer les points d’inflexion de (C_ƒ).
   1. Déterminer les points d’intersection de la courbe (C_ƒ) avec l’axe des abscisses sur l’intervalle I.
   2. Construire la courbe (C_ƒ) sur [−2π, 2π].

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Correction des exercices (Fonction périodique exercices corrigés)

Exercice 1

Soit ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 1/2sin(2x) − cos x

1. Montrons que 2π est une période de ƒ :

∎

(∀x ∈ ℝ) , x + 2π ∈ ℝ (1)

∎Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x + 2π) = 1/2sin(2(x + 2π)) − cos(x + 2π)

= 1/2sin(2x + 4π) − cos (x)

= 1/2sin(2x) − cos(x) = ƒ(x) (2)

D’après (1) et (2) on en déduit que la fonction ƒ est périodique.

2. La fonction ƒ est dérivable sur ℝ comme la somme de deux fonctions dérivables :

x → 1/2sin(2x) et x → −cos x.

Soit x ∈ ℝ.

ƒ′(x) = 1/2 × 2 × cos (2x) + sin x

= cos(2x) + sin x

= −2sin²x + sin x + 1

= −(2sin x + 1)(sin x − 1)

= 2(1 − sin x)(1/2 + sin x)

Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ′(x) = 2(1 − sin x)(1/2 + sin x).

3. Les variations de ƒ sur [−π, π] :

Soit x ∈ [−π, π] .

ƒ′(x) = 0 ⇔  2(1 − sin x)(1/2 + sin x) = 0

⇔  sin x = 1 ou sin x = − 1/2 = sin (−π/6)

⇔  x = π/2 + 2kπ / k ∈ ℤ ou { x = −π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ ou x = 7π/6 + 2kπ / k ∈ ℤ

comme x ∈ [−π, π] alors x ∈ {−5π/6, −π/6, π/2} . Donc d’après le cercle trigonométrique on en déduit le tableau suivant :

4. On résout dans [−5π/2, 7π/3] l’inéquation : ƒ(x) ≤ 0.

On résout l’équation ƒ(x) = 0 dans [−5π/2, 7π/3] .

Soit x ∈ [−5π/2, 7π/3] .

ƒ(x) = 0 ⇔  1/2sin(2x) − cos x = 0

⇔ sin x. cos x − cos x = 0

⇔ cos x(sin x − 1) = 0

⇔ cos x = 0 ou sin x = 1

⇔ x = π/2 + kπ / k ∈ ℤ ou x = π/2 + 2kπ / k ∈ ℤ

On cherche parmi ces solutions ceux qui appartiennent à [−5π/2, 7π/3] .

∎

− 5π/2 ≤ π/2 + kπ ≤ 7π/3

⇔ −5/2 ≤ 1/2 + k ≤ 7/3

⇔ −5/2 − 1/2 ≤ k ≤ 7/3 − 1/2

⇔ −3 ≤ k ≤ 11/6

comme k ∈ ℤ, alors : k ∈ {−3, −2, −1, 0, 1} . Donc

• Si k = −3, alors x = −5π/2.
• Si k = −2, alors x = −3π/2.
• Si k = −1, alors x = −π/2.
• Si k = 0, alors x = π/2.
• Si k = 1, alors x = 3π/2.

∎

−5π/2 ≤ π/2 + 2kπ ≤ 7π/3

⇔ −5/2 ≤ 1/2 + 2k ≤ 7/3

⇔ −5/2 − 1/2 ≤ 2k ≤ 7/3 − 1/2

⇔ −3 ≤ 2k ≤ 11/6

⇔ −3/2 ≤ k ≤ 11/12

comme k ∈ ℤ, alors : k ∈ {−1, 0} . Donc

• Si k = −1 alors : x = π/2 − 2π = −3π/2.
• Si k = 0, alors : x = π/2.

Donc les solutions de l’équation ƒ(x) = 0 dans [−5π/2, 7π/3] sont : −5π/2, −3π/2, −π/2, π/2, 3π/2

D’après le cercle trigonométrique on en déduit le tableau de signe suivant

Donc l’ensemble des solutions de l’équation ƒ(x) ≤ 0 est :

S = [−5π/2, −3π/2] ∪ [−π/2, π/2] ∪ [3π/2, 7π/3]

5. On construit d’abord la restriction de la courbe (C_ƒ) sur I puis on complète la construction sur J en utilisant la périodicité de la fonction ƒ. On obtient la courbe suivante :

6. Soit x ∈ J.

m + cos x(1 − sin x) = 0 ⇔  m + cos x − cos x. sin x = 0

⇔ m + cos x − 1/2sin(2x) = 0

⇔ 1/2sin(2x) − cos x = m

⇔ ƒ(x) = m

Graphiquement on déduit les solutions de l’équation (E) : ƒ(x) = m.

• Si m ∈ ]3√3/4, +∞[, alors l’équation (E) n’admet aucune solution réel.

• Si m = 3√3/4 , alors l’équation (E) admet deux solutions distinctes.

• Si m ∈ ]0, 3√3/4[ alors l’équation (E) admet 4 solutions distinctes.

• Si m = 0 alors l’équation (E) admet 5 solutions distinctes.

• Si m ∈ ]−3√3/4, 0[ alors l’équation (E) admet 6 solutions distinctes.

• Si m = −3√3/4 alors l’équation (E) admet 3 solutions distinctes.

• Si m ∈ ]−∞, −3√3/4[ alors l’équation (E) n’admet aucune solution réel.

Exercice 2

On considère ƒ la fonction numérique définie sur ℝ par :

ƒ(x) = sin²x − 2cos x − 1

1. Montrons que la fonction ƒ est paire.

On a : D_ƒ = ℝ.

• (∀x ∈ D_ƒ) , −x ∈ D_ƒ .
• Soit x ∈ D_ƒ.

ƒ(−x) = sin²(−x) − 2cos(−x) − 1 = sin²x − 2cos x − 1 = ƒ(x)

Donc la fonction ƒ est paire.

D’autre part, on a

(∀x ∈ ℝ) , x + 2π ∈ ℝ

et pour tout x ∈ ℝ :

ƒ(x + 2π) = sin²(x + 2π) − 2cos(x + 2π) − 1

= sin²x − 2cosx − 1

= ƒ(x)

Ceci signifie que 2π est une période de la fonction ƒ. Donc on peut restreindre l’étude de la fonction ƒ sur D_E = [0, π] ∩ D_ƒ = [0, π].

2. La fonction ƒ est dérivable ℝ et surtout sur I = [0, π] .

Soit x ∈ I.

ƒ′(x) = 2cos x sin x + 2sin x

= 2sin x. (cos x + 1)

Donc

(∀x ∈ I), ƒ′(x) = 2sin x.(cos x + 1)

Soit x ∈ I.

ƒ′(x) = 0 ⇔ 2sin x. (cos x + 1) = 0

⇔ sin x = 0 ou cos x = − 1

⇔ x = kπ / k ∈ ℤ ou x = π + 2kπ / k ∈ ℤ

comme x ∈ I alors les solutions de l’équation ƒ′(x) = 0 dans I sont : 0 et π.

3. La concavité de la courbe (C_ƒ) sur I.

La fonction ƒ est deux fois dérivables sur I.

Soit x ∈ I.

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Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 2 − √x²+3/x

1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x).
2. En déduire que (C_ƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.

(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 3/x²√x²+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T₁) et (T₂) à (C_ƒ) aux points d’abscisses x₁ = 1 et x₂ = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (C_ƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (C_ƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x²

1. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
   1. Montrer que : lim_x→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (C_ƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
   2. Justifier que (C_ƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
   1. Montrer que : lim_x→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (C_ƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
   2. Étudier la position relative de (C_ƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
2. a) Montrer que :

(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 1/(1+x²)√1+x² − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur ℝ.

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 2 − √x²+3/x

1. a) Calculons lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x)

lim_x→0⁺ ƒ(x) = lim_x→0⁺ 2 − √x²+3/x = −∞, car : lim_x→0⁺ √x²+3/x = +∞ 

et

lim_x→0⁻ ƒ(x) = lim_x→0⁻ 2 − √x²+3/x = +∞, car : lim_x→0⁻ √x²+3/x = −∞ 

b) Comme lim_x→0⁺ ƒ(x) = +∞ et lim_x→0⁻ ƒ(x) = −∞, alors (C_ƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : lim_x→+∞ ƒ(x) = 1 et lim_x→−∞ ƒ(x) = 3.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les suites numériques 1 bac exercices corrigés
• Logique et raisonnement exercices corrigés 1 bac