Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés

Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés.(1ère S/ 1ère année bac)

Exercice 1 (Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par : ƒ(x) = x⁴ − 4∣x∣.

1. Montrer que ƒ est paire.
2. a) Montrer que :

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = (a + b)(a² + b²) − 4 où a, b ∈ ℝ⁺ et a ≠ b.

b) Déduire que ƒ est strictement décroissante sur [0, 1] et qu’elle est strictement croissante sur [1, +∞[.

3. a) Dresser le tableau de variations de ƒ sur ℝ.

b) Montrer que : (∀x ∈ ℝ*) , 3 + x⁴ ≥ 4x.

4. Soient a, b et c des nombres réels strictement positifs.

Montrer que :

abc = 4 ⇒ (3 + a²)(3 + b²)(3 + c²) ≥ 128

Exercice 2 (Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés)

Soit h la fonction définie sur ℝ par :

h(x) = −x + 2√x+1

1. 1. Vérifier : D_h = [−1, +∞[.
   2. Résoudre dans [−1, +∞[ l’équation (E) : h(x) = 0.
2. 1. Vérifier que : (∀x ∈ [−1, +∞[) , h(x) = 2 − (√x+1 − 1)².
   2. En déduire que h est majorée par 2 sur [−1, +∞[.
3. On pose : g(x) = −x² + 2x + 1 et ƒ(x) = √x+1.
   1. Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]), 0 ≤ ƒ(x) ≤ 1 et (∀x ∈ [0, +∞[) , ƒ(x) ≥ 1.
   2. Dresser le tableau de variations de g.
   3. Montrer que : (∀x ∈ [−1, +∞[) , (g o ƒ)(x) = h(x), puis déduire la monotonie de h sur chacun des intervalles [−1, 0] et [0, +∞[ .
4. Dresser le tableau de variations de h puis en déduire ses extremums.

Exercice 3 (Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés)

Soit h la fonction définie sur ℝ par :

h(x) = x⁴−1/x⁴+1

1. Montrer que ƒ est paire.
2. Montrer que ƒ majorée par 1 et minorée par −1.
3. Soit g la fonction numérique définie sur ℝ∖ {−1} par :

g(x) = x−1/x+1

a) Donner le tableau de variations de g.

b) Déterminer : g([0, 2[).

4. Soit h la fonction numérique définie par : h(x) = x⁴.

a) Montrer que h est strictement croissante sur ℝ⁺.

b) Vérifier que : ƒ = g o h puis déduire la monotonie de ƒ sur ℝ⁺.

c) Donner le tableau de variations de ƒ sur ℝ.

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Devoir surveillé sur les fonctions numériques 1 bac

Exercice 1

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

1. Déterminer D_ƒ.
2. 1. Montrer que ƒ est minorée par 0.
   2. 0 est-il un minimum de ƒ ? justifier votre réponse.
3. 1. Montrer que ƒ est majorée par 2.
   2. 2 est-il un maximum de ƒ ? justifier votre réponse.
4. Montrer que ƒ est strictement décroissante sur D_ƒ.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 2x/x²+1

1. 1. Montrer que ƒ est impaire.
   2. Montrer que : (∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≤ 1 et (∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
2. ƒ est elle surjective ? est-elle injective ? Justifier votre réponse.
3. 1. Montrer que : ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2(1−ab)/(a²+1)(b²+1) , où a, b ∈ ℝ⁺ et a ≠ b.
   2. Montrer que ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ et qu’elle est strictement croissante sur [0, 1].
4. 1. Dresser le tableau de variations de ƒ sur ℝ.
   2. Montrer que : (∀(a, b) ∈ ℝ²) , a + b ≥ √3 ⇒ (a+b)²+1/a+b ≥4√3/3.
5. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [1, +∞[. On pose J = ]0, 1].

Montrer que g est une bijection de I sur J et donner sa bijection réciproque g⁻¹.

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

1. On détermine D_ƒ.

D_ƒ = {x ∈ ℝ/ x + 7 ≥ 0 et x + 3 ≥ 0}

= {x ∈ ℝ/ x ≥ −7 et x ≥ −3}

= [−3, +∞[.

2. 1) Montrons que ƒ est minorée par 0. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0.

Soit x ∈ [−3, +∞[ .

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

= (x + 7)−(x + 3)/√x+7+√x+3

= 4/√x+7+√x+3 ≥ 0

Donc

(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0

Ceci signifie que la fonction ƒ est minorée par 0.

2. 2) Résolvons l’équation ƒ(x) = 0 dans [−3, +∞[.

Soit x ∈ [−3, +∞[.

ƒ(x) = 0 ⇔  √x+7 − √x+3 = 0

⇔ √x+7 = √x+3

⇔ x + 7 = x + 3

⇔ 7 = 3 (Ce qui est impossible)

Alors l’équation n’admet aucune solution dans [−3, +∞[. C’est-à-dire

(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≠ 0.

D’où 0 n’est pas un minimum de ƒ.

3. 1) Montrons que ƒ est majorée par 2. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≤ 2.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 2x/x²+1

1. a) Montrons que ƒ est impaire.

∎ Pour tout x ∈ ℝ on a − x ∈ ℝ.

∎ Soit x ∈ ℝ.

ƒ(−x) = 2×(−x)/(−x)²+1 = −2x/x²+1 = −ƒ(x)

Ceci signifie que la fonction ƒ est impaire.

b) ∎ Soit x ∈ ℝ.

ƒ(x) − 1 = 2x/x²+1 − 1

= 2x−(x²+1)/x²+1

= 2x−x²−1/x²+1

= −(x²−2x+1)/x²+1

= −(x−1)²/x²+1 ≤ 0

Donc

(∀x ∈ ℝ) , ƒ(x) ≤ 1

∎ Soit x ∈ ℝ*.

ƒ(1/x) = 2/x/1/x²+1

= 2/x/x²+1/x²

= 2x/x²+1 = ƒ(x).

Donc

(∀x ∈ ℝ*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).

2. ƒ n’est pas surjective car 2 n’a pas d’antécédent par ƒ. D’autre part ƒ(2) = ƒ(1/2) mais 2 ≠ 1/2 ce qui montre que ƒ n’est pas injective.

3. a) Soient a et b deux éléments de ℝ⁺ tels que : a ≠ b. Calculons ƒ(a)−ƒ(b)/a−b :

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2a/a²+1−2b/b²+1/a−b

= 2a(b² + 1)−2b(a² + 1)/(a² + 1)(b² + 1)(a − b)

= 2ab²+2a−2ba²−2b/(a² + 1)(b² + 1)(a − b)

= −2ab(a − b)+2(a − b)/(a² + 1)(b² + 1)(a − b)

= (a − b)(−2ab + 2)/(a² + 1)(b² + 1)(a − b)

= 2(1 − ab)/(a² + 1)(b² + 1)

Donc

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2(1 − ab)/(a² + 1)(b² + 1) , où a, b ∈ ℝ⁺ et a ≠ b.

b) La monotonie de ƒ sur [1, +∞[ et [0, 1].

∎ Soient a et b deux éléments de [1, +∞[ tels que : a ≠ b.

On a ab ≥ 1, et comme a ≠ b alors ab ≻ 1, de plus 2(1 − ab) < 0. Puisque (a² + 1)(b² + 1) ≻ 0. Donc

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b < 0 , où a, b ∈ [1, +∞[ et a ≠ b

Ceci signifie que ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ .

∎ Soient a et b deux éléments de [0, 1] tels que : a ≠ b.

On a 0 ≤ a ≤ 1 et 0 ≤ b ≤ 1, et comme a ≠ b alors 0 ≤ ab < 1, de plus 0 < 2(1 − ab) ≤ 2. Donc

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b ≻ 0 , où a, b ∈ [0, 1] et a ≠ b

Ceci signifie que ƒ est strictement croissante sur [0, 1].

4. a) La fonction ƒ est strictement croissante sur [0, 1] et puisque elle est impaire alors ƒ est strictement croissante sur [−1, 0]. D’autre part, ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ et puisque elle est impaire alors ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, −1].

b) Montrons que : (∀(a, b) ∈ ℝ²) , a + b ≥ √3 ⇒  (a + b)²+1/a+b ≥ 4√3/3.

Soit (a, b) ∈ ℝ² .

a + b ≥ √ 3

⇒_{ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[} ƒ(a + b) ≤ ƒ(√3)

⇒ 2(a + b)/(a + b)²+1 ≤ 2√3/4

⇒  (a + b)²+1/2(a + b) ≥ 4/2√3

⇒  (a + b)²+1/a+b ≥ 4/√3

⇒  (a + b)²+1/a+b ≥ 4√3/3

Donc

(∀(a, b) ∈ ℝ²) , a + b ≥ √3 ⇒ (a+b)²+1/a+b ≥4√3/3.

5. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [1, +∞[ . On pose J = ]0, 1].

Montrons que g est une bijection de I sur J.

Soit y ∈ ]0, 1]. Résolvons dans I l’équation g(x) = y.

Soit x ∈ [1, +∞[ .

ƒ(x) = y ⇔  2x/x²+1 = y

⇔  2x = yx² + y

⇔  −yx² + 2x − y = 0

Calculons le discriminant ∆ de l’équation (E) : −yx² + 2x − y = 0.

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Devoir surveillé sur l’étude des fonctions

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 2 − √x²+3/x

1. 1. Calculer lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x).
   2. En déduire que (C_ƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
2. Montrer que lim_x→+∞ ƒ(x) = 1 et lim_x→−∞ ƒ(x) = 3, puis interpréter géométriquement chaque résultat.
3. a) Montrer que :

(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 3/x²√x²+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T₁) et (T₂) à (C_ƒ) aux points d’abscisses x₁ = 1 et x₂ = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (C_ƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (C_ƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x²

1. Calculer lim_x→+∞ ƒ(x) et lim_x→−∞ ƒ(x).
2. 1. Montrer que : lim_x→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (C_ƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
   2. Justifier que (C_ƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
3. 1. Montrer que : lim_x→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (C_ƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
   2. Étudier la position relative de (C_ƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
4. a) Montrer que :

(∀x ∈ ℝ*) , ƒ′(x) = 1/(1+x²)√1+x² − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur ℝ.

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (C_ƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

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Correction du devoir surveillé

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur ℝ* par :

ƒ(x) = 2 − √x²+3/x

1. a) Calculons lim_x→0⁺ ƒ(x) et lim_x→0⁻ ƒ(x)

lim_x→0⁺ ƒ(x) = lim_x→0⁺ 2 − √x²+3/x = −∞, car : lim_x→0⁺ √x²+3/x = +∞ 

et

lim_x→0⁻ ƒ(x) = lim_x→0⁻ 2 − √x²+3/x = +∞, car : lim_x→0⁻ √x²+3/x = −∞ 

b) Comme lim_x→0⁺ ƒ(x) = +∞ et lim_x→0⁻ ƒ(x) = −∞, alors (C_ƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : lim_x→+∞ ƒ(x) = 1 et lim_x→−∞ ƒ(x) = 3.

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Vous pouvez aussi consulter :

• Les fonctions numériques 1er bac
• Étude des fonctions 1 bac exercices corrigés