Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés

Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés

Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés.(1ère S/ 1ère année bac)

Exercice 1 (Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés)

Soit ƒ la fonction définie sur par : ƒ(x) = x4 − 4x∣.

  1. Montrer que ƒ est paire.
  2. a) Montrer que :

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = (a + b)(a2 + b2) − 4a, b+ et a ≠ b.

b) Déduire que ƒ est strictement décroissante sur [0, 1] et qu’elle est strictement croissante sur [1, +∞[.

3. a) Dresser le tableau de variations de ƒ sur .

b) Montrer que : (∀x*) , 3 + x4 4x.

4. Soient a, b et c des nombres réels strictement positifs.

Montrer que :

abc = 4 ⇒ (3 + a2)(3 + b2)(3 + c2) ≥ 128

Exercice 2

Soit h la fonction définie sur par :

h(x) = −x + 2√x+1

    1. Vérifier : Dh = [−1, +∞[.
    2. Résoudre dans [−1, +∞[ l’équation (E) : h(x) = 0.
    1. Vérifier que : (∀x ∈ [−1, +∞[) , h(x) = 2 − (√x+1 − 1)2.
    2. En déduire que h est majorée par 2 sur [−1, +∞[.
  1. On pose : g(x) = −x2 + 2x + 1 et ƒ(x) = √x+1.
    1. Vérifier que : (∀x ∈ [−1, 0]), 0 ≤ ƒ(x) ≤ 1 et (∀x ∈ [0, +∞[) , ƒ(x) ≥ 1.
    2. Dresser le tableau de variations de g.
    3. Montrer que : (∀x ∈ [−1, +∞[) , (g o ƒ)(x) = h(x), puis déduire la monotonie de h sur chacun des intervalles [−1, 0] et [0, +∞[ .
  2. Dresser le tableau de variations de h puis en déduire ses extremums.
Exercice 3

Soit h la fonction définie sur par :

h(x) = x4−1/x4+1

  1. Montrer que ƒ est paire.
  2. Montrer que ƒ majorée par 1 et minorée par −1.
  3. Soit g la fonction numérique définie sur ∖ {−1} par :

g(x) = x−1/x+1

a) Donner le tableau de variations de g.

b) Déterminer : g([0, 2[).

4. Soit h la fonction numérique définie par : h(x) = x4.

a) Montrer que h est strictement croissante sur +.

b) Vérifier que : ƒ = g o h puis déduire la monotonie de ƒ sur +.

c) Donner le tableau de variations de ƒ sur .

Cliquer ici pour télécharger Les fonctions numériques 1er bac exercices corrigés

Devoir surveillé sur les fonctions numériques 1 bac

Exercice 1

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

  1. Déterminer Dƒ.
    1. Montrer que ƒ est minorée par 0.
    2. 0 est-il un minimum de ƒ ? justifier votre réponse.
    1. Montrer que ƒ est majorée par 2.
    2. 2 est-il un maximum de ƒ ? justifier votre réponse.
  2. Montrer que ƒ est strictement décroissante sur Dƒ.
Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur par :

ƒ(x) = 2x/x2+1

    1. Montrer que ƒ est impaire.
    2. Montrer que : (∀x ) , ƒ(x) ≤ 1 et (∀x*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).
  1. ƒ est elle surjective ? est-elle injective ? Justifier votre réponse.
    1. Montrer que : ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2(1−ab)/(a2+1)(b2+1) , où a, b+ et a ≠ b.
    2. Montrer que ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ et qu’elle est strictement croissante sur [0, 1].
    1. Dresser le tableau de variations de ƒ sur .
    2. Montrer que : (∀(a, b) ∈ 2) , a + b ≥ √3 ⇒ (a+b)2+1/a+b ≥4√3/3.
  2. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [1, +∞[. On pose J = ]0, 1].

Montrer que g est une bijection de I sur J et donner sa bijection réciproque g−1.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur les fonctions numériques 1 bac sm

Correction du devoir surveillé

Exercice 1

Soit ƒ la fonction définie par :

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

  1. On détermine Dƒ.

Dƒ = {x/ x + 7 ≥ 0 et x + 3 ≥ 0}

= {x/ x ≥ −7 et x ≥ −3}

= [−3, +∞[.

2. 1) Montrons que ƒ est minorée par 0. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0.

Soit x ∈ [−3, +∞[ .

ƒ(x) = √x+7 − √x+3

= (x + 7)−(x + 3)/√x+7+√x+3

= 4/√x+7+√x+3 ≥ 0

Donc

(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≥ 0

Ceci signifie que la fonction ƒ est minorée par 0.

2. 2) Résolvons l’équation ƒ(x) = 0 dans [−3, +∞[.

Soit x ∈ [−3, +∞[.

ƒ(x) = 0  √x+7 − √x+3 = 0

√x+7 = √x+3

x + 7 = x + 3

7 = 3 (Ce qui est impossible)

Alors l’équation n’admet aucune solution dans [−3, +∞[. C’est-à-dire

(∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≠ 0.

D’où 0 n’est pas un minimum de ƒ.

3. 1) Montrons que ƒ est majorée par 2. C-à-d : (∀x ∈ [−3, +∞[) , ƒ(x) ≤ 2.

Exercice 2

Soit ƒ la fonction définie sur par :

ƒ(x) = 2x/x2+1

  1. a) Montrons que ƒ est impaire.

∎ Pour tout x on a − x.

∎ Soit x.

ƒ(−x) = 2×(−x)/(−x)2+1 = −2x/x2+1 = −ƒ(x)

Ceci signifie que la fonction ƒ est impaire.

b) ∎ Soit x.

ƒ(x) − 1 = 2x/x2+1 − 1

= 2x−(x2+1)/x2+1

= 2x−x2−1/x2+1

= −(x2−2x+1)/x2+1

= −(x−1)2/x2+1 0

Donc

(∀x) , ƒ(x) ≤ 1

∎ Soit x*.

ƒ(1/x) = 2/x/1/x2+1

= 2/x/x2+1/x2

= 2x/x2+1 = ƒ(x).

Donc

(∀x*) , ƒ(1/x) = ƒ(x).

2. ƒ n’est pas surjective car 2 n’a pas d’antécédent par ƒ. D’autre part ƒ(2) = ƒ(1/2) mais 2 ≠ 1/2 ce qui montre que ƒ n’est pas injective.

3. a) Soient a et b deux éléments de + tels que : a ≠ b. Calculons ƒ(a)−ƒ(b)/a−b :

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2a/a2+1−2b/b2+1/a−b

= 2a(b2 + 1)−2b(a2 + 1)/(a2 + 1)(b2 + 1)(a − b)

= 2ab2+2a−2ba2−2b/(a2 + 1)(b2 + 1)(a − b)

= −2ab(a − b)+2(a − b)/(a2 + 1)(b2 + 1)(a − b)

= (a − b)(−2ab + 2)/(a2 + 1)(b2 + 1)(a − b)

= 2(1 − ab)/(a2 + 1)(b2 + 1)

Donc

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b = 2(1 − ab)/(a2 + 1)(b2 + 1) , où a, b+ et a ≠ b.

b) La monotonie de ƒ sur [1, +∞[ et [0, 1].

∎ Soient a et b deux éléments de [1, +∞[ tels que : a ≠ b.

On a ab1, et comme a ≠ b alors ab1, de plus 2(1 − ab) < 0. Puisque (a2 + 1)(b2 + 1) ≻ 0. Donc

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b < 0 , où a, b ∈ [1, +∞[ et a ≠ b

Ceci signifie que ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ .

∎ Soient a et b deux éléments de [0, 1] tels que : a ≠ b.

On a 0 a1 et 0b 1, et comme a ≠ b alors 0 ab < 1, de plus 0 < 2(1 − ab) ≤ 2. Donc

ƒ(a)−ƒ(b)/a−b0 , où a, b ∈ [0, 1] et a ≠ b

Ceci signifie que ƒ est strictement croissante sur [0, 1].

4. a) La fonction ƒ est strictement croissante sur [0, 1] et puisque elle est impaire alors ƒ est strictement croissante sur [−1, 0]. D’autre part, ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ et puisque elle est impaire alors ƒ est strictement décroissante sur ]−∞, −1].

b) Montrons que : (∀(a, b) ∈ 2) , a + b√3 ⇒  (a + b)2+1/a+b 4√3/3.

Soit (a, b) ∈ 2 .

a + b√ 3

ƒ est strictement décroissante sur [1, +∞[ ƒ(a + b) ≤ ƒ(√3)

2(a + b)/(a + b)2+1 2√3/4

⇒  (a + b)2+1/2(a + b) ≥ 4/2√3

⇒  (a + b)2+1/a+b4/√3

⇒  (a + b)2+1/a+b 4√3/3

Donc

(∀(a, b) ∈ 2) , a + b ≥ √3 ⇒ (a+b)2+1/a+b ≥4√3/3.

5. Soit g la restriction de ƒ à l’intervalle I = [1, +∞[ . On pose J = ]0, 1].

Montrons que g est une bijection de I sur J.

Soit y ∈ ]0, 1]. Résolvons dans I l’équation g(x) = y.

Soit x ∈ [1, +∞[ .

ƒ(x) = y ⇔  2x/x2+1 = y

⇔  2x = yx2 + y

⇔  −yx2 + 2x − y = 0

Calculons le discriminant ∆ de l’équation (E) : −yx2 + 2x − y = 0.

Cliquer ici pour télécharger la correction du devoir surveillé

Devoir surveillé sur l’étude des fonctions

Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

    1. Calculer limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x).
    2. En déduire que (Cƒ) admet une asymptote verticale qu’on déterminera.
  1. Montrer que limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3, puis interpréter géométriquement chaque résultat.
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 3/x2√x2+3

puis dresser le tableau de variations complet de ƒ en justifiant votre réponse.

b) Écrire les équations des deux tangentes (T1) et (T2) à (Cƒ) aux points d’abscisses x1 = 1 et x2 = − 1 respectivement.

4. Déterminer les points d’intersections de (Cƒ) avec l’axe des abscisses.

5. Construire (Cƒ) dans un repère orthonormé (O, i , j).

Exercice 2

On considère la fonction ƒ définie sur par :

ƒ(x) = 1 − x + x/√1+x2

  1. Calculer limx→+∞ ƒ(x) et limx→−∞ ƒ(x).
    1. Montrer que : limx→+∞ ƒ(x) − (2 − x) = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de +∞ une asymptote oblique (D) que l’on déterminera.
    2. Justifier que (Cƒ) est au dessous de (D) sur l’intervalle [0, +∞[ .
    1. Montrer que : limx→−∞ ƒ(x) + x = 0, puis en déduire que la courbe (Cƒ) admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique (∆) que l’on déterminera.
    2. Étudier la position relative de (Cƒ) par rapport à (∆) sur l’intervalle ]−∞, 0].
  2. a) Montrer que :

(∀x*) , ƒ′(x) = 1/(1+x2)√1+x2 − 1

b) Calculer ƒ′(0) puis justifier que ƒ est strictement décroissante sur .

c) Dresser le tableau de variations complet de ƒ.

5. Construire la courbe (Cƒ) dans un repère orthonormé ( O , i , j ).

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s
Correction du devoir surveillé
Exercice 1

On considère la fonction ƒ définie sur * par :

ƒ(x) = 2 − √x2+3/x

  1. a) Calculons limx→0+ ƒ(x) et limx→0 ƒ(x)

limx→0+ ƒ(x) = limx→0+ 2 − √x2+3/x = −∞, car : limx→0+ √x2+3/x = +∞ 

et

limx→0 ƒ(x) = limx→0 2 − √x2+3/x = +∞, car : limx→0 √x2+3/x = −∞ 

b) Comme limx→0+ ƒ(x) = +∞ et limx→0 ƒ(x) = −∞, alors (Cƒ) admet une asymptote verticale d’équation x = 0.

2. Montrons que : limx→+∞ ƒ(x) = 1 et limx→−∞ ƒ(x) = 3.

Cliquer ici pour télécharger Devoir surveillé sur l’étude des fonctions 1ère s (Correction du devoir surveillé)

Vous pouvez aussi consulter :
Partager

Yahya Matioui

Titulaire d'un master en métiers d'enseignement de mathématiques et diplômé de l'Ecole Normale Supérieure de Rabat, a une longue expérience de l'enseignement des mathématiques notamment au lycée et dans les cursus supérieurs. Il est également auteur de nombreux ouvrages.

Voir tous les articles de Yahya Matioui →

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée.